1994考研数三真题及解析

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1、19941994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 5 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,满分满分 1515 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1)x x22 x2dx _.2(2)已知f(x)1,则limx0 x_.f(x02x)f(x0 x)(3)设方程e y cos x确定y为x的函数,则xy2dy_.dx00(4)设A 0ana100a2000000,其中ai 0,i 1,2,an10,n,则A1_.(5)设随机变量X的概率密度为2x,0 x 1,f(x)0,其他，以Y表示对X的

2、三次独立重复观察中事件X 1出现的次数,则PY 22_.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 5 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,满分满分 1515 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一项符只有一项符合题目要求合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).)x2 x1(1)曲线y earctan的渐近线有 ()(x1)(x2)x21(A)1 条 (B)2条 (C)3条 (D)4 条(2)设常数 0,而级数an12n收敛,则级数(1)n1nann 2 ()(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与有关(3)设A是m

3、n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B AC的秩为r1,则()(A)r r1 (B)r r1(C)r r1 (D)r与r1的关系由C而定1(4)设0 P(A)1,0 P(B)1,P(A B)P(A B)1,则 ()(A)事件A和B互不相容 (B)事件A和B相互对立(C)事件A和B互不独立 (D)事件A和B相互独立(5)设X1,X2,Xn是来自正态总体N(,2)的简单随机样本,X是样本均值,记S211nn1(X X)2,S21ni2(Xi X)2,i1ni1nnS231n1(Xi)2,S241n(X2i),i1i1则服从自由度为n1的t分布的随机变量是 ()(A)t X S (B)t

4、X 1S2n1n1(C)t X X S (D)t 3S4nn三、三、(本题满分本题满分 6 6 分分)计算二重积分(x y)dxdy,其中D(x,y)x2 y2 x y1.D四、四、(本题满分本题满分 5 5 分分)设函数y y(x)满足条件y4y4y 0,求广义积分y(0)2,y(0)4,0y(x)dx.五、五、(本题满分本题满分 5 5 分分)已知f(x,y)x2arctanyx y2arctanx2fy,求xy.六、六、(本题满分本题满分 5 5 分分)设函数f(x)可导,且f(0)0,F(x)x1F(x)0tnf(xntn)dt,求limx0 x2n.七、七、(本题满分本题满分 8 8

5、 分分)已知曲线y ax(a 0)与曲线y lnx在点(x0,y0)处有公共切线,求:(1)常数a及切点(x0,y0)；2(2)两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积Vx.八、八、(本题满分本题满分 6 6 分分)假设f(x)在a,)上连续,f(x)在a,内存在且大于零,记F(x)证明F(x)在a,内单调增加.九、九、(本题满分本题满分 1111 分分)设线性方程组f(x)f(a)(x a),xax1a1x2a12x3 a13,23x1a2x2a2x3 a2,23x1a3x2a3x3 a3,x a x a2x a3.434142(1)证明:若a1,a2,a3,a4两两不相等,则此

6、线性方程组无解；(2)设a1 a3 k,a2 a4 k(k 0),且已知1,2是该方程组的两个解,其中1 1,1,1121 1写出此方程组的通解.十、十、(本题满分本题满分 8 8 分分)001设A x1y有三个线性无关的特征向量,求x和y应满足的条件.100十一、十一、(本题满分本题满分 8 8 分分)假设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立,且同分布PXi 0 0.6,PXi1 0.4(i 1,2,3,4),求行列式X 3X1X3X2X4的概率分布.十二、十二、(本题满分本题满分 8 8 分分)假设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(,1),内径小于 10 或大于 12

7、 的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润T(单位:元)与销售零件的内径X有如下关系:1,X 10,T 20,10 X 12,5,X 12.问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大?419941994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 5 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】ln3【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为0；被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分

8、.所以知原式22xxxdxdx 222 x222 x202 x2dx22012dx22 x20 ln(2 x2)ln6ln2 ln3.(2)【答案】1【解析】根据导数的定义,有f(x0)limx0f(x0 x)f(x0).x所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式,从而求得极限值.由于f(x02x)f(x0 x)x0 xf(x02x)f(x0)f(x0 x)f(x0)limx0 xf(x02x)f(x0)f(x0 x)f(x0)(2)limlim 2 f(x0)f(x0)1.x0 x02xxlim所以原式 limx0 x11.f(x02x)f(x0 x)1yexysin x(3)【答案】y x

9、exy2y【解析】将方程e y cos x看成关于x的恒等式,即y看作x的函数.方程两边对x求导,得xy2yexysin xe(y xy)2yy sin x y .xexy2yxy【相关知识点】两函数乘积的求导公式：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x).50 1a1(4)【答案】00001a200001an11 an000A 010A10【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式BB1,0a1且a2 1a11an1a21an0 1a1所以,本题对A分块后可得A1 00(5)【答案】001a200001an11 an0.00964111【解析】已知随机变量X的概率密度,所以概率PX 2

10、2xdx,求得二项分204布的概率参数后,故Y B(3,).141 39由二项分布的概率计算公式,所求概率为PY 2C.4 464232【相关知识点】二项分布的概率计算公式：6kk若YB(n,p),则P YkCnp(1 p)n k,k0,1,n,二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 5 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】(B)【解析】本题是关于求渐近线的问题.2xx 1由于limexarctan,x(x 1)(x2)421故y4为该曲线的一条水平渐近线.122xx 1又limexarctan.x0(x 1)(x2)故x0为该曲线的一条垂直渐近

11、线,所以该曲线的渐近线有两条.故本题应选(B).【相关知识点】水平渐近线：若有limf(x)a,则ya为水平渐近线；x铅直渐近线：若有limf(x),则xa为铅直渐近线；xa斜渐近线：若有alimxf(x),blimf(x)ax存在且不为,则yaxb为斜渐xx近线.(2)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因(1)n|an|111121an2a,n22222 n22nn122(ab)得到的.)2(第一个不等式是由a0,b0,ab2n11又a收敛,2收敛,(此为p级数：p当p1时收敛；当p1时发散.)n 1n 12nn 1n(1)n|an|121收敛.所以an2收敛,由比较判别法,得22

12、nn 12n 1n故原级数绝对收敛,因此选(C).(3)【答案】(C)【解析】由公式r(AB)min(r(A),r(B),若A可逆,则r(AB)r(B)r(EB)rA1(AB)r(AB).从而r(AB)r(B),即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩,所以选(C).7(4)【答案】(D)【解析】事实上,当0 P(B)1时,P(A|B)P(A|B)是事件A与B独立的充分必要条件,证明如下：若P(A|B)P(A|B),则P(AB)P(AB),P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB),P(B)1P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(AB)P(B)P(A),由独立的定义,即得A与B相互独立.若A与

13、B相互独立,直接应用乘法公式可以证明P(A|B)P(A|B).P(A|B)1 P(A|B)P(A|B).由于事件B的发生与否不影响事件A发生的概率,直观上可以判断A和B相互独立.所以本题选(D).(5)【答案】(B)【解析】由于X1,X2,用模式可知,Xn均服从正态分布N(,2),根据抽样分布知识与t分布的应X n1nN(0,1),其中X Xi,ni1(Xi1ni X)22(n1),2X nn1(Xi X)2n1i1t(n1).t(n1).即X 1(Xi X)2n(n1)i1nX S2n1因为t分布的典型模式是:设XN(0,1),Y2(n),且X,Y相互独立,则随机变量T X服从自由度为n的t

14、分布,记作TY/nt(n).因此应选(B).三、三、(本题满分本题满分 6 6 分分)11322【解析】方法方法 1 1：由x y x y 1,配完全方得xy.222822令x11 rcos,y rsin,引入极坐标系(r,),则区域为223D(r,)0 2,0 r.2故(x y)dxdy D20d320(1rcosrsin)rdr32132d(cossin)d40220232133dsincos.00422211322方法方法 2 2：由x y x y 1,配完全方得xy.222引入坐标轴平移变换：u x2211,v y,则在新的直角坐标系中区域D变为圆域223D1(u,v)|u2v2.2而

15、x y u v1,则有dxdy dudv,代入即得(x y)dxdy(u v1)dudv ududvvdudvdudv.DD1D1D1D1由于区域D1关于v轴对称,被积函数u是奇函数,从而ududv 0.D1同理可得3,又vdudv 0dudv D,12D1D1故3(x y)dxdy.2D四、四、(本题满分本题满分 5 5 分分)【解析】先解出y(x),此方程为常系数二阶线性齐次方程,用特征方程法求解.2方程y4y4y 0的特征方程为44 0,解得12 2.故原方程的通解为y (C1C2x)e2x.由初始条件y(0)2,y(0)4得C1 2,C2 0,9因此,微分方程的特解为y 2e再求积分即

16、得2x.0y(x)dx 2e2xdx0 limb0be2xd2x lim e2x1.b0b【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程y pyqy 0：首先写出方程y pyqy 0的特征方程：r pr q 0,在复数域内解出两个特征根r1,r2；分三种情况：(1)两个不相等的实数根r1,r2,则通解为y C1erx12C2er2x;rx(2)两个相等的实数根r1 r2,则通解为y C1C2xe1;x(3)一对共轭复根r1,2i,则通解为y eC1cosxC2sinx.其中C1,C2为常数.五、五、(本题满分本题满分 5 5 分分)【解析】由复合函数求导法,首先求f,由题设可得xy21y

17、 222xy y x 11xyx2fy 2xarctanxxyx2yy3y 2xarctan2 2xarctan y.222xx yx yx再对y求偏导数即得2fxy12x2x2 y2.1212222x yx y y x1x2x【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u(x,y),v(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数z f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z f(x,y),(x,y)在点(x,y)的两个偏导数存在,且有1 0zz uz vuv f1 f2；xu xv xxxzz uz vuv f1 f2.yu yv yyy六、六、(本题满分本题满分

18、5 5 分分)【解析】运用换元法,令x t u,则nnF(x)t0 xn11xnf(x t)dt f(u)du F(x)xn1f(xn).n0nn由于limx0F(x)0为“”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,运用洛必达2n0 x法则,可得F(x)F(x)xn1f(xn)limlim2n limx0 xx02nx2n1x02nx2n11f(xn)1f(xn)f(0)limnlim,nx0 x02nx2nx 0由导数的定义,有原式1f(0).2n【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若F(t)(t)(t)f(x)dx,(t),(t)均一阶可导,则F(t)(t)f(t)(t)f(t

19、).七、七、(本题满分本题满分 8 8 分分)【解析】利用(x0,y0)在两条曲线上及两曲线在(x0,y0)处切线斜率相等列出三个方程,由此,可求出a,x0,y0,然后利用旋转体体积公式 baf2(x)dx求出Vx.(1)过曲线上已知点(x0,y0)的切线方程为y y0 k(x x0),其中,当y(x0)存在时,k y(x0).由y ax知y a2 x.由y lnx知y 1.2x由于两曲线在(x0,y0)处有公共切线,可见1a1,得x02.a2 x02x01 11111y a ln y 1 ln分别代入两曲线方程,有.002222aaaa将x0于是a 211,x02 e2,ea从而切点为(e,

20、1).(2)将曲线表成y是x的函数,V是两个旋转体的体积之差,套用旋转体体积公式,可得旋转体体积为Vxe20e212e2222(x)dx(lnx)dx e ln xdx1e241e2ee2xxln x2ln xdx1222e2e24 12212.【相关知识点】由连续曲线y f(x)、直线x a,x b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为：V 八、八、(本题满分本题满分 6 6 分分)【解析】方法方法 1:1:baf2(x)dx.F(x)f(x)(xa)f(x)f(a)xa21xa2 f(x)(xa)f(x)f(a),令(x)f(x)(xa)f(x)f(a)(x a),由(x)

21、f(x)(xa)f(x)f(x)(xa)f(x)0(x a),知(x)在a,上单调上升,于是(x)(a)0.故F(x)(x)xa2 0.所以F(x)在a,内单调增加.方法方法 2:2:F(x)f(x)(xa)f(x)f(a)xa21f(x)f(a)f(x).xaxaf(x)f(a)f(),(a x).xa1 f(x)f().于是有F(x)xa由拉格朗日中值定理知由f(x)0知f(x)在a,上单调增,从而f(x)f(),故F(x)0.1 2于是F(x)在a,内单调增加.u uvuv【相关知识点】1.分式求导数公式：2vv2.拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足在闭区间a,b上连续；在开区间a,

22、b内可导,那么在a,b内至少有一点(a b),使等式f(b)f(a)f()(ba)成立.九、九、(本题满分本题满分 1111 分分)【解析】(1)因为增广矩阵A的行列式是范德蒙行列式,a1,a2,a3,a4两两不相等,则有A (a2a1)(a3a1)(a4a1)(a3a2)(a4a2)(a4a3)0,故r(A)4.而系数矩阵A的秩r(A)3,所以方程组无解.(2)当a1 a3 k,a2 a4 k(k 0)时,方程组同解于23x1kx2k x3 k,23x1kx2k x3 k.因为1k1k 2k 0,知r(A)r(A)2.由nr(A)32 1,知导出组Ax 0的基础解系含有 1 个解向量,即解空

23、间的维数为 1.由解的结构和解的性质,1 1 210是Ax 0的基础解系.1211 12 12于是方程组的通解为1k1k0,其中k为任意常数.1 2【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是mn矩阵,线性方程组Ax b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AA b的秩,即r(A)r(A).(或者说,b可由A的列向量1,2,等同于1,2,n线表出,亦,n与1,2,n,b是等价向量组)设A是mn矩阵,线性方程组Ax b,则1 3（1）有唯一解r(A)r(A)n.（2）有无穷多解r(A)r(A)n.（3）无解r(A)1 r(A).b不能由A的列向量1,2,n线表出.2.解的结构：

24、若1、2是对应齐次线性方程组Ax 0的基础解系,知Ax b的通解形式为k11k22,其中1,2是Ax 0的基础解系,是Ax b的一个特解.3.解的性质：如果1,2是Ax 0的两个解,则其线性组合k11 k22仍是Ax 0的解；如果是Ax b的一个解,是Ax 0的一个解,则仍是Ax b的解.十、十、(本题满分本题满分 8 8 分分)【解析】由A的特征方程,按照第二列展开,有1E A x1y (1)(1)2(1)0,110得到A的特征值为121,3 1.由题设有三个线性无关的特征向量,因此,1必有两个线性无关的特征向量,01从而r(E A)1.这样才能保证方程组(E A)X 0解空间的维数是 2,

25、即有两个线性无关的解向量.由初等行变换,将E A第一行加到第三行上,第一行乘以x后加到第二行上有1 1011000 x y,E A x0y0101 00由r(E A)1,得x和y必须满足条件x y 0.十一、十一、(本题满分本题满分 8 8 分分)【解析】记Y1 X1X4,Y2 X2X3,则X Y1Y2,随机变量Y1和Y2相互独立且同分布,由A与B独立可得出P(AB)P(A)P(B),故PY11 PX1X41 PX11,X41 PX11PX41 0.16,1 4PY101PY11 0.84.由行列式的计算公式,随机变量X Y1Y2,有三个可能取值：1,0,1.PX 1 PY1 0,Y21 PY

26、1 0PY21 0.840.16 0.1344,PX 1 PY11,Y20 PY11PY200.1344,PX 01PX 1PX 1 0.7312.所求的行列式的概率分布列于下表:X1 0 1PX x0.1344 0.7312 0.1344十二、十二、(本题满分本题满分 8 8 分分)【解析】依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法,有E(T)PX 1020P10 X 125PX 12(10)20(12)(10)51(12)25(12)21(10)5.此时数学期望依赖于参数,为使其达到最大值,令其一阶导数为 0,有(10)(12)dE(T)1 25(12)21(10)21e225e2,d222令dE(T)21 0,得ed22(10)22225e2(12)22 0,)(12)21(1025即e2e2.22解上面的方程得011125ln10.9.221得到唯一驻点010.9,因为此问题是实际问题,所以平均利润函数必然有最大值,而且这个最大值是唯一的.由题意知,当010.9毫米时,平均利润最大.1 5