高等代数第四章及其习题答案

《高等代数第四章及其习题答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数第四章及其习题答案（38页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第四章部分习题提示与解答 1 2 0 , 0 n a a A a , , , 1 , 2 , , .ija a i j i j n 5、已知 其中 ，当 A n , nn B ijb考虑与 能交换的任意 阶矩阵 一方面 , nn AB ijia b . nn BA ij jab B A A B , i ij ij ja b b a ( ) 0 , , 1 , 2 , , .i j ija a b i j n 另一方面 由 有 即 ij ijaa 0 , , , 1 , 2 , , .ijb i j i j n B 当 时，因 ，故 从而 为对角阵 、本题为第 5题的推广 11 22 00 00

2、 , 00 rr aE aE A aE 其中 已知 ,ijaa , , 1 , 2 , , .i j i j r iE in 1 . r i i nn 当 为 级单位阵， A . nn B ijb B A 1 1 1 2 1 12 , r r r r r B B B B B B B 考虑能与 进行交换的任意矩阵 对 按 的形式进行分块有 ijB ijnn 其中 为 矩阵 . 一方面， 1 1 1 1 1 2 1 1 12 ( ) , r i i j r r r r r r r a B a B a B A B a B a B a B a B 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 ( ) ,

3、 rr j i j r r r r r a B a B a B B A a B a B a B a B A B B A , i ij j ija B a B 另一方面， 由 有 ( ) 0 , , 1 , 2 , , .i j ija a b i j r ij 0,ijB 即 于是当 时， 11 0 , 0 rr B B B ,ii iBA 1 0 . 0 r A B A 从而 记 则 0 0 0 0 0 1 0 0 00 ij E i j 7、已知 为第 行 列元素为 1，其余元素为 0的矩阵 . 1 1 ,i j nnn n A A a B B A 其中 , ijAB 分别为 A 的第 i

4、 行行向量，第 j 列列向量 0 0 0 , , 0 , 1 , 0 , , 0 0 0 ij jj Ei 行 , ， 0 0 0 , , 0 , , 0 , , 0 , 1 0 0 TT ij i i Ei 行 . j列 j列 1 1 1 0 , , 0 , , 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 , , .1 0 0 0 0 0 0 TT ij i i j n j jn j jn A E A A A a a iaa 行 1 1 1 2 0 0 , , 0 , , 0 , 1 , 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 i ij n i jj ni i i

5、 ni a A E B B B a a a a ij ijE A AE 1 1, 1 , 1 , 1 1, 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 i ii ij ij j j j ii jj j j jn ii ni a a A E E A a a a a a a a a 由 有 0 , 1 , , 1 , 1 , , ,kia k i i n 0 , 1 , , 1 , 1 , , ,jka k j j n .ii jjaa 于是 即证明 2）， 1）为 2）的特例 . , 1 , 1 , 1 , , , n n n i j i j i j i j i j i

6、 j i jnn i j i j i j B k E b A B k A E B A b E A ,A B B A ijb , , 1 , , .ij ijA E E A i j n 3）因 又 故由 的任意性有 再由 2）知 , , 1 , , .ii jja a i j n 0 , 1 , , 1 , 1 , , ,kia k i i n 0 , 1 , , 1 , 1 , , ,jka k j j n 11 22 11 00 10 00 1 , 00 01 nn a a Aa a A n A ( , 1 , , )ijE i j n .ij ijAE E A 即 为数量矩阵 . 与所有

7、级矩阵可交换，故 一定与 可交换，于是 注：因 A 2 0A ij nnAa n 1 , T nx x x n 2( ) 0 .T T T TA x A x x A A x x A x ,y Ax 10、已知 为实对称矩阵 , 且 , 不妨设 为 阶矩阵， 为任意 量，则 记 维列向 y n y 1 , , ,nyy 1 , n i ij j j y a x 则 为 维的列向量，设 的分量为 即 且 1 , , . T ny y y 于是 1 2 1 1 ( ) , , 0 , n TT ni i n y A x A x y y y y y y 0 , 1 , ,iy i n 0y A x x

8、 0 , 1 , ,jA j n 0 0 1 0 0 j j 行 , 12( , , , ) 0 ,nA 0nAE 0.A 从而 , 即 ，由 的任意性知 ，其中 从而 即 ，即 2 1 , 0 , 1 , 2 , , , , 1 , 2 , , . n k k i ij i j i s x k a s i j n 22 11 ( ) ( ( ) ) .i j i j i j i j n i j n a x x x x 12 1 1 1 12 1 1 1 ( ) . n ij ij n n n n x x x xx x x x 13、已知 要证 而 1 11 1 1 ( ) . 1 n ij

9、ijn nn xx xx xx 12 1 1 1 12 1 1 1 , n n n n n x x x B x x x 1 11 1 1 , 1 n T n nn xx B xx 222 1 , n T i j ij i j i j l l BB a s s x 2 2( ) .T ij i j ij a B B B x x 范德蒙行列式 记 则 而 于是 14、 0B 12( , , , )nB B B B jB ( 0)jB 只须注意到 ，则至少存在 的一列向量（例如 ）非零 12( , , , ) 0nA B B B 0jAB 0Ax 0A 而由 有 ，即方程组 有非零解，从而 0A 0

10、Ax 0 x， 0(0 , 0 , , )Bx ， 0AB 反之， 意味着 有非零解， 令 显然 不妨设为 n A 0Ax n 1 n x x x x , 1 , , i in ， 0 , 1 , ,iA i n ， 0nAE ， 0A 15、已知 阶矩阵 满足 （对任一 维向量 ），故可取 为单位列向量 于是 从而 即 25、 1）设 ,ij ijn n n nA a B b 为两个上三角形矩阵，则 1 , n ij ij ik k jnn k A B c c a b 且 0( ) , 0( ) . ik k ja i k b k j ij 1 1 1 1 0 ( ) jnn ij ik k

11、 j ik k j ik k j k k j k j ik k j k c a b a b a b a b i j k AB 证法一：当 时， 故 为上三角形矩阵 ,AB 1 1 1 1 11 ,00abAB AB 证法二：对 进行分块： 其中， , 2 , 2 1 2 1 1 2 1 11 , , , , , , , nn i j i j nn i j i j a a b b A a B b 11AB、 1n显然 为上三角形矩阵（ 级） 下面用归纳法来证明 2n 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 a a

12、b b a b a b a bAB a b a b ， 当 时， 结论成立 1n n设当级数为 时结论成立，下证当级数为 时结论 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 a b a b a BAB A B A B ， 11AB AB 由归纳法假设知 为上三角形矩阵，故 为上三 成立。 角形矩阵。 ij nnAa ,2 11 1 2 1 1 1 , , , , 0 n ij n i j a A a a A a A 2）设 为一可逆的上三角形矩阵，则 1 1 11 1 10 apA A 1 1 11 1pA a m 令 ，则有 对级数 用归纳法。 2m 1 12 11

13、1 1 1 2 1 1 1 2 2 22 1 22 , 0 0 a aaa aaAA a a ，当 时， 结论成立 1mn mn 11 1 1 11 11 1 1 1 0 aA aA A 设当 时结论成立 11A 1n 11A 其中， 为 级可逆上三角形，则由归纳法假设知 为可逆上三角形阵，于是结论成立。 对 B rr C rn ()Cr16、已知 为 矩阵， 为 矩阵，秩 0,BC 0.B ,BC C .BE 1）若 则 2）若 则 ( ) 0B C C B E C ( ) ,Cr 证：显然 2）可化为 1）的情形，事实上， 对 1），因秩 故 C 的行向量组线性无关， 1 , nCC 1(

14、 , , )nC C C 设 的列向量组为 ，即 C C 1 , rCC rr 1( , , )rC C C 11 1 ( , , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 0 r n r n rn BC B C C C B C C C BC BC BC 0BC 0C 0B 取 的列向量组中极大组（不妨设为 组成一个 矩阵 ，则由已知 故 ，又 ，从而 ） 0m m m n n n E E B E B p E A E A p p B E pA 29、证明： 取 ，则 0 0 m m m n n n E E B E B A E A E E A B 0 0 m m m n n n E E

15、 B E B A E A E E A B m n n EB E A B AE 0 0 m m m n n n E B E E B A B A E A E E ， m m n EB E B A AE 类似地， 30、证明： = 0 1 ( ) nn n n m n n m mm AA E A B E B E B E B A E B A A n ( ) 1A 1 2 1 , , ,n n a A b b A k A a 补充习题 1： 为 阶矩阵，秩 ，要证 已知 ( ) 1A A 1 , TnA A A 证明：因秩 ，则 的任两行成比例，从而对 有 11, 1 , 2 , 3 , , , 1 ,

16、iiA k A i n k 故 1 2 1 2 1 1 1 , nn A k A k AA k A k 11 , , , , 1 , , ,n i iA b b a k i n 1 1 , , .n n a A b b a 记 则 11 2 11 1 1 1 1 , , , , , , . nn nn n i i n i n n ii i aa A b b b b aa a b a b b a b a A ()C ()A ()B ( , ).C A B 有关矩阵的秩的习题 秩 秩 ，其中 1、证明秩 ()Ar ( ) ,Bs A 1 , , ,rAA B 证明：设秩 ，秩 则 可由其列向量组的

17、极大组线性表出，不妨设此极大 的所有列向量均可由其列向量组 的所有列向量 组为 的极大组线性表出，不妨设此极大组为 1 , , ,sBB ( , )C A B 11, , , , ,rsA A B B于是 的所有列向量均可由 ()C 11( , , , , , ) ,rsA A B B r s ()C ()A ()B 线性表出，从而秩 秩 即秩 秩 秩 ()AB ()A ()B2、（书 17题）证明秩 秩 秩 ( , )C A B C证法一：令 ，则对 施加列的初等变换： B A ( , ) :C A B B D 把 的列逐一加到相应的 的列上去，可得： ()D ()C ()A ()B于是秩

18、秩 秩 秩 AB D ()AB ()D ()A ()B 但 为 的部分列，故秩 秩 秩 秩 11( , , ) , ( , , ) ,nnA A A B B B 证法二：设 , iiAB A B i 这里 分别为 与 第 列的列向量 . ( ) ,Ar ( ) .Bs 1 ,i irAA 1 , nAA 记秩 秩 设 为 的极大组， 1 ,i isBB 1 , nBB 为列向量组 的极大组， ( 1 , , )jk j r ( 1 , , )jl j s 存在不全为零的常数 及不全为零 使得 于是 的常数 11 , , 1 , , jj rs i j i i j i jj A k A B l

19、B i n 从而 11 , 1 , , , jj rs i i j i j i jj A B k A l B i n AB 11, , , , ,i ir i isA A B B 即 的所有列向量可由 线性表出， ()AB 11( , , , , , ) .i i r i i sA A B B r s于是秩 秩 ,AB nn 0,AB 3、（书 18题）设 为 矩阵，证明：如果 ()A ( ) .Bn则秩 秩 0AB 1( , , )nB B B ( 1 , , ) jB j n 证明：因 ，故 的列向量 0Ax 0Ax 为方程组 的解向量。于是由 n ()A ()B n ( ),A 的基础

20、秩 知秩 秩 解系的秩为 ()A ()Bn 即 秩 秩 , 1 , 2 , , , jB j n 0Ax （因 均可由 的基础解系线性表出） . A nn ( 2),n 4、（书 27题）证明：如果 为 阵 则 , ( ) , ( ) 1 , ( ) 1 , 0 , ( ) 1 . n A n A A n An 当 秩 当 秩 当 秩 秩 nA A A E ()An 0,A 0,A 证明：因 ，故当秩 时 从而 A ( ) .An 即 可逆，且秩 ( ) 1An A 0,A 0,AA 当秩 时，显然 奇异， 于是 则由书 18题知秩 ()A ( ) ,An秩 ()An ( ) ( 1 ) 1

21、.A n n 从而秩 秩 ( ) 1An A 1n 0,A ( ) 1.A 又由秩 知， 存在一个 级子式不为 0，从而 故 ( ) 1An 132P A 1n 当秩 时，由 定理 6知 的所有 级子式全为 0， A ijA A ija 而 的元素 为 的元素 的代数余子式 ( 1)ij 1n（为 乘上一 级子式）， 0A ( ) 0.A 故 ，即秩 A nn 2AE ( ) ( ) .A E A E n 秩 秩 6、设 为 阵，证明：若 ，则 ( ) ( ) (2 ) ( )A E A E A A n 秩 秩 秩 秩 2 1A 证明：一方面， （由书 17题及 ）， 另一方面，因 2( ) ( ) 0 ,E A A E A E 故由书 18题有 ( ) ( ) .E A A E n 秩 秩 因此 ( ) ( ) .A E A E n 秩 秩 A nn 2 ,AA7、（书补充题 4）设 为 阵，且 证明： ( ) ( )A A E n 秩 秩 证明：类似上题可证 一方面，因 2( ) 0A A E A A 故由 18题有 ( ) ( ) ,A A E n 秩 秩 另一方面， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,A A E A E A E n 秩 秩 秩 秩 秩 （由 17题）于是 ( ) ( ) .A A E n 秩 秩