随机向量的函数及其应用赵树杰

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1、随机向量的函数及其应用 赵树杰 2012.09.19 引言 序 序 随机信号通过系统或经过处理后，输出 的随机信号与输入的随机信号之间就形成函 数或变换关系。我们需要研究由已知的输入 随机信号的统计特性得到输出随机信号的统 计特性。这个问题的数学基础就是随机变量、 随机向量的函数问题。 引言 讨论三个问题 我们知道，随机信号统计特性的完整数学 描述可以是它的概率密度函数 (PDF), 所以下面 主要讨论随机变量函数、随机向量函数的概率 密度函数关系。 讨论三个问题 1. 随机变量的函数； 2. 随机向量的函数； 3. 正态随机向量的特性与变换。 引言 说明 附 说明 1. 限于讨论实的、连续的

2、随机变量、随 机向量； 2. 证明、推演简略或略； 3. 概率密度函数若省略随机变量、随机向 量的取值区间，默认为取值区间为 到 ； 4. 所用符号可能与教材不一致。 附 请教几个问题。 一 随机变量的函数 1. 函数 2. 雅可比变换 1. 随机变量的函数 设 是一个随机变量 (RV)，则 就 是随机变量 的函数； 也是一个随机变量。 2. 一维雅可比变换 若已知随机变量 的概率密度函数 ，则随机变量 的概率密度函数 ，可由一维雅可比变换得到。 函数 ，如果反函数 存在， 且对 连续可导，则有 X )( XgY Y X X )(xf )( XX x Y )(yf )(xgy )( yhx y

3、 一 随机变量的函数 2. 雅可比变换 称为一维雅可比变换。式中 是雅可比； 表示取绝对值； ， 。 .1)1( 其他0 )()( YY yJyhxfyf y yhJ d )(d .2)1( | XXY xxg ),(m in XXY xxg ),(m ax 一 随机变量的函数 3. 举例 3. 举例 例 1.1 设随机变量 ，函数 (线性函数 )，求 随机变量 的 PDF。 解： 由函数 , 则反函数 ， 雅可比 。于是得 即 。通常称为归一化处理。 ),( 2XXNX X XXY Y XXxy /)( XX yx XXX yyJ d/)(d 2ex p2 1)( 221 yyf )1,0(

4、 NY 一 随机变量的函数 3. 举例 例 1.2 设随机变量 的 PDF为 是均值 , 方差 , 对称于均值的三角 分布。函数 (线性函数 ,其中 是常数 )。 求 随机变量 的 PDF。 解： 由函数 , 则反函数 , 雅可比 。 X 其他 常数 ） 0 ,0(|11)( 2 aaxax aaxf 0X 6/22 aX cXY c Y cxy cyx 1J 一 随机变量的函数 3. 举例 于是得随机变量 的 PDF为 是均值 , 方差 , 对称于均值的三角 分布 (注意随机变量 的取值区间 )。 和 的图形如图 1.1所示。 Y 其他 常数 ） 0 ,0(|11)( 2 acaycacy

5、aayf cY 6/22 aY )(xf )(yf Y 一 随机变量的函数 3. 举例 图 1.1 和 的图形 如果再令函数 则随机变量 是均值 , 方差 的、对称 于均值的三角分布。 a/1 a a0 ca ca )(xf )(yf c )(xf )(yf )2( aca )6/()( acYZ 0Z 12 ZZ 一 随机变量的函数 3. 举例 例 1.3 设随机变量 , 函数 (非线 性函数 )。求 随机变量 的 PDF。 解： 函数 , 反函数 ；雅可比的绝对值 。于是 )1,0(X 2XY Y 2xy 21yx )2/(1| 21yJ 00 0 2 1 )( 2121 21 y yyx

6、fyxf yyf 一 随机变量的函数 3. 举例 由 表达式 , 最终得 随机变量 是服从 自由度为 的 分布 , 如图 1.2所示。 图 1.2 分布曲线 ( ) 00 0 2 e x p 2 1 )( 21 y y y yyf )(xf Y 1 2 )(yf 0 y 2 1N 一 随机变量的函数 4. 两个结论 (1) 若函数 是线性函数 (变换 ), 则随机变量 所 属的分布同随机变量 所属的分布 , 但随机变量 分布的 参数将变化 , 见例 1.1 , 例 1.2 ；特别是 ( 是任意 常数 ) 这种最简单的线性函数 (变换 ) 时 , 的分布参数仅 均值 , 其他分布参数同 的分布参

7、数 , 见例 1.2。所以， 的图形是 的图形沿横坐标平移 。 （ 2） 若函数 是非线性函数 (变换 ), 则随机变 量 所属的分布将不同于随机变量 所属的分布 , 见例 1.3。 4. 两个结论 )(XgY Y X cXY c cXY )(yf )(xf c Y Y X )(XgY Y X 一 随机变量的函数 5. 函数的均值和方差 5. 随机变量函数的均值和方差 若函数 , 则随机变量 的均值 和 方差 可由如下方法求得。 (1) 方法 ： 由一维雅可比变换求出 , 则 (2) 方法 ： 将 和 )(XgY Y xxfyyf d)(d)( Y 2Y )(yf YY yyyfY d)( Y

8、Y yyfy YY d)()( 22 )(xgy )3.1( )4.1( 一 随机变量的函数 5. 函数的均值和方差 代入式 则得 代入式 则得 结果说明，要求随机变量的函数 的均值 和方差 , 并不一定要求出 的 , 而只需知道随机变量 的 就够了。 类似地，任意 阶矩为 )(yf XX xxfxgY d)()( XX xxfxg YY d)()( 22 )5.1( )6.1( )3.1( )4.1( )(XgY Y 2Y Y X )(xf k XX xxfxgy kYy k d)()()(E )7.1( 一 随机变量的函数 5. 函数的均值和方差举例 例 1.4 若随机变量 , 求随机变量

9、 (非线性函数 )的均值 和方差 。 解： 由题及例 1.3知 2e x p2 1)( 221 xxf )1,0(X 2XY Y 2Y 00 0 2 ex p 2 1 )( 21 y yy yyf 一 随机变量的函数 5. 函数的均值和方差举例 (1) 按定义求随机变量 的均值 和方差 。 Y Y 2Y yyyyyyyfY d2ex p2 1d)( 0 21 0 121212 12 1d2e x p2 1 21 0 21 21 yyy 1d2ex p2 1)(E 0 21 2222 yy yyy YY 1d2ex p21 0 23 21 yyy 21252121 2521 一 随机变量的函数

10、5. 函数的均值和方差举例 (2) 按函数求随机变量 的均值 和方差 。 结果相同 Y Y 2Y xxxxxfxY d2e x p2 1d)( 221 22 0 2 2 21 d2e x p22 1 xxx 121212 122 1 2 21 xxfxg YY d)()( 22 xxx d2e x p2 11 22122 2122122232 12 21 一 随机变量的函数 6. 应用概述 6. 应用概述 建立信号模型 , 研究信号的统计特性。 决定信号处理的系统和方式。 线性检波器 , 平方律检波器 , 线性放大器 , 对数放大 器；常规滤波 , 自适应滤波 , 。具体：杂波抑制时 , 瑞

11、利杂波 , 对数 -正态杂波 , 韦布尔杂波等 , 统计特性不一样 , 处理方式与系统也不一样。 信号处理系统硬软件设计，需要统计特性。 信号处理系统性能研究 , 也需信号的统计特 性。 Nknshx kkkk ,2,1| 二 随机向量的函数 1. 函数 2. 维雅可比变 换 1. 随机向量的函数 设 是 维随机向量 , 则 就是随机向量 的函数 , 也是 维随机向量。 2. 维雅可比变换 若已知随机向量 的 维联合概率密度函数 , 则随机向量 的 维联合概率密 度函数 , 可由 维雅可比变换得 到。 T21 )( NXXX X N )(XgY X Y ),( 21 Nxxxf N N X N

12、 Y ),( 21 Nyyyf N N N 二 随机向量的函数 2. 维雅可比变换 随机向量的函数 如果反函数 存在 , 且对 连续可导 , 简记 , 则有 称为 维雅可比变换。式中 为雅可比行列式 , 且为 Nkxxxgy Nkk ,2,1),( 21 )1.2( ),2,1( Nky k |)(,),(),( 2211 Jhxhxhxf NN Nkyyyhx Nkk ,2,1),( 21 )2.2( )( kk hx ),( 21 Nyyyf )3.2( N J N 二 随机向量的函数 2. 维雅可比变换 )4.2( N N N N NN y h y h y h y h y h y h y

13、 h y h y h J )( )( )( )( )( )( )( )( )( 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 N 二 随机向量的函数 3. 应用概述 3. 应用概述 (例子 ) 若接收信号 为 其中 , 信号 是随机振幅与随 机相位信号 , 和 已知 , 且相互统计独立； 噪声 是零均值、功率谱密度为 的 加性高斯白噪声 。 信号处理后 , 会得到复信号 Tttnatstx 0)(),()( ； )(tx )c o s (),( 0 taats ； )(af )(f )(tn 2)( 0NPn QI jxx 二 随机向量的函数 3. 应用概述 为进一步处理 (状态判决 , 特

14、征提取 , 和差归 一化 , 性能分析等 ), 需求出包络 和相位 及其统计特性 , 。 怎么求统计特性 , ？ 利用正态随机变量的特性和二维雅可比变 换来求得。 )(lf 0)( 212Q2I lxxl 20)a r c t a n ( IQ xx )(f )(lf )(f 二 随机向量的函数 3. 应用概述 由前面的 式和 式 , 得 则 条件正态 互不相关 二维雅可比变换 边缘分布 统计平均 200co sI llx l 200s inQ llx ),|( I axf ),|( Q axf ),|,( QI axxf ),|,( alf ),|( alf ),|( af 0)( llf

15、20)( f 三 正态随机向量的特性与变换 1. 定义 1. 正态随机向量的定义 设 维任意非零常值向量 ； 若 维随机向量 满足 是正态随机变量 , 则称 为 维 正态随机向量。 N T21 )( Naaa a N T21 )( NXXX X Nk kk XaX 1T Xa )1.3( T21 )( NXXX X N 三 正态随机向量的特性与变换 2. 概率密度函数 2. 维联合概率密度函数 若 维正态随机向量 的均 值向量为 协方差矩阵为 则其 维联合概率密度函数为 N T21 )( NXXX X )2.3( T)( 21 NXXX X T)(E XXX XXC )3.3( )()(2 1

16、ex p |)2( 1),( 1T 21221 XXX X xCxCNNxxxf )4.3( N N 三 正态随机向量的特性与变换 3. 的均值和方差 3. 各分量线性组合所得 的均值和方差 维正态随机向量 各分量 的线性组合 是正态随机变量。 若 ， ，则 (1) 的均值 T21 )( NXXX XN )5.3( N k kk XaX 1 X X Nk XkX kaX 1)(E )6.3( X X kXkX )(E 22)(E kk XXkX 三 正态随机向量的特性与变换 3. 的均值和方差 (2) 的方差 定义：分量 与 之间的相关系数 则 的方差 当分量 与 之间互不相关时 , 则 )8

17、.3( )9.3( X X iX jX NjiXX ji XX XjXi ij ji ji ,2,1, )(E X 2)(E 1 1 2 N k N k XkkkX k aXa jik X N k N i Xijj N j iXk aaa ij 1 1 1 22 iX jX )0( ij 2 1 22 kX N k kX a )10.3( 三 正态随机向量的特性与变换 4. 边缘分布的正态 性 4. 正态随机向量的每个分量都是正态随机 变量 证明： 设 维任意非零常值向量 的 第 个分量 , 其余分量 ,则 根据正态随机向量的定义 , 是正态 随机变量。 实际上 , 维正态随机向量 的任意 个

18、分量的线性组合也是正态随机变量。 )11.3( NkXXaX N k kkk ,2,1 1 T Xa X T21 )( Naaa a k 1ka ),2,1(0 kjNja j ； ),2,1( NkX k XN 1(M )NM N 三 正态随机向量的特性与变换 5. 等价性 5. 正态随机向量各分量之间的互不相关性 与统计独立性具有等价性 设 是 维随机向量。 (1) 若各分量之间是相互统计独立的 , 则各 分量之间是互不相关的。 证明： 利用各分量之间相互统计独立时 , 维联合 概率密度函数等于各自一维概率密度函数之积 , 可得各分量两两之间的协方差等于零 , 结论得证。 T21 )( N

19、XXX X N N 三 正态随机向量的特性与变换 5. 等价性 (2) 若各分量之间是互不相关的 , 则不一定是 相互统计独立的；但对正态随机向量 , 各分量之 间的互不相关性与相互统计独立性是等价的。 证明： 正态随机向量时 , 若各分量之间是互不相关 的 , 则协方差矩阵 是对角阵 , 求出 和 代 入正态随机向量的概率密度函数表达式 , 得 式中 , 是正态随机变量 的 PDF。结论得证。 N )4.3( XC 21| XC 1XC )(),( 121 N k kN xfxxxf )11.3( )( kxf kX 三 正态随机向量的特性与变换 5. 等价性 (3) 若 维正态随机向量各分

20、量之间是互不 相关的 (也是相互统计独立的 ), 当各分量的均值 , 方差 时 , 是独立同分布 情况。此时，正态随机向量的 维联合概 率密度函数为 N N k X Xk N X N xxxxf 1 2 22 221 2 )(e x p 2 1),( )12.3( X kX ),2,1(22 NkXX k N)IID( 三 正态随机向量的特性与变换 6. 线性变换不变性 6. 正态随机向量线性变换的不变性 (1) 设 是 维正态随机向量 , 若 是 非零常值矩阵 , 则 是 维正态随机向量。 证明： 向量 是 维随机向量 , 其每个分量 是正态随机向量 各分量 的线性组合 , 所以 是正态随机

21、变量； )13.3( NM T21 )( NXXX X N A AXY M Y M jYj ( ),2,1( NkX k ),2,1 M ),2,1( MjY j X 三 正态随机向量的特性与变换 6. 线性变换不变性 设 维任意非零常值向量 , 则 式中 , 随机变量 是随机向量 各分量的线性组 合 , 也是正态随机向量 各分量的线性组合 , 所 以 是正态随机变量。于是 , 根据正态随机向量 的定义 , 维随机向量 是正态随机向量。 (2) 正态随机向量 的均值向量 和协方差 矩 阵 分别为 )14.3( Mj jjYaY 1T Ya M X T21 )( Maaa a Y Y Y Y M

22、 Y YC Y XY A TAACC XY )15.3( )16.3( 三 正态随机向量的特性与变换 7. 平方和的 分布 7. 正态随机向量各分量独立时平方和的 分布 (1) 随机变量的特征函数 设随机变量 的概率密度函数为 , 则复值 随机变量 的均值 , 定义为 的特征函数 , 记为 , 即 随机变量 的概率密度函数 与它的特征 函数 构成傅里叶变换对 , 即有 )17.3( 2 2 X )(xf Xje X )(XG xxfG xX de)()( j X )(xf )(XG de)(2 1)( j xXGxf )18.3( 三 正态随机向量的特性与变换 7. 平方和的 分布 (2) 维

23、正态随机向量各分量之间互不相关 (也 统计独立 )时 , 各分量平方和 的 分布 分量 的均值为 方差为 时 , 则分量 的特征函数为 N 2 2 kX NkX kXk ,2,1)E( Nk 2kXY 1 a) ),2,1(2 NkXY kk NkXX k ,2,122 2 22 2 221 2 2j1 )2/(ex p 2ex p2j1 1)( X XX X X X Y kk k G Nk ,2,1 )19.3( 三 正态随机向量的特性与变换 7. 平方和的 分布 利用相互统计独立的 个随机变量 之和 的特征函数 等于各 随机变量的特征函数 之积的性质 , 得 2 )(kYG ,2,1( k

24、Yk 2 22 1 2 1 22 2 2j1 )2/( e x p 2 e x p 2j1 1 )( X XX N k X N k X N X Y kk G )20.3( N ),N )(YG N k k N k k XYY 1 2 1 三 正态随机向量的特性与变换 7. 平方和的 分布 由傅里叶逆变换公式 式中 , 是第一类 阶修正贝塞尔函数 , 得 2 )21.3( )j( 1ex p j 1I FT aba n 02ex p)( 21 211212 y b yIayby n n nI n 0 2 e x p 00 2 1 )( 2 21 1 2 122 1 2 1 2 2 2 y y I

25、 y y y yf X N k X N X N k X N k X N X kk k )22.3( 三 正态随机向量的特性与变换 7. 平方和的 分布 随机变量 是服从具有 个自由度的非中心 分布 , 非中心参数为 。 2 0 2 e x p 00 2 1 )( 2 21 1 2 122 1 2 1 2 2 2 y y I y y y yf X N k X N X N k X N k X N X kk k )22.3( Y N 2 N k Xk1 2 三 正态随机向量的特性与变换 7. 平方和的 分布 退化情况 当各分量 的均值 , 方 差 时 , 则 随机变量 是服从具有 个自由度的非中心

26、分布 , 非中心参数为 。 2 b) 0 2 ex p 00 2 1 )( 2 212 122 2 2 2 2 y yN I yN y N y yf X X N X X X N X )23.3( Y kX 2 2XN ),2,1( NkkXX ),2,1(22 NkkXX N 三 正态随机向量的特性与变换 7. 平方和的 分布 退化情况 当各分量 的均值 , 方差 时 , 则 随机变量 是服从具有 个自由度的 分布。 2 c) 00 0 2 e x p )2(2 1 )( 2 122 2 y y y N y yf X NN X )24.3( Y kX 2 0X 22 kXX N ),2,1(

27、Nk 三 正态随机向量的特性与变换 7. 平方和的 分布 退化情况 当各分量 的均值 , 方差 时 , 则 随机变量 是服从具有 个自由度的 分布。 2 d) 00 0 2 ex p )2(2 1 )( 122 y y y N y yf NN )25.3( Y kX 2 0X 12 X N ),2,1( Nk 三 正态随机向量的特性与变换 8. 说明 8. 说明 为什么对正态随机变量 , 正态随机向量特别 感性趣 ? 各种干扰信号统计特性； 信号的特性 (功率谱 )； 正态特性 系统的频率响应特性； 四 几个问题 1. 一维雅可比变换 1. 一维雅可比变换 函数： ；反函数： ， 问题： ，

28、的两种求法结果一样吗？ 其他0 )()( XX xxfxf )( XgY )(yhx Jyh )( 其他0 |)()( YY yJyhxfyf XXY xxg ),(m in XXY xxg ),(m ax )()( xxf 其他0 |)(|)()( YY yyhyhfyf )(),(m in ggY )(),(m a x ggY Y Y 四 几个问题 2. 随机变量函数的均值和方差 2. 随机变量函数的均值和方差的计算条件 函数： ；反函数： ， 均值： 方差： 问题：这样的计算方法是否需要单值变换的 约束条件？ (吴祈耀等 .统计无线电技术 .) 其他0 )()( XX xxfxf )(

29、XgY )(yhx Jyh )( 其他0 |)()( YY yJyhxfyf XX xxfxgY d)()( XX xxfxg YY d)()( 22 四 几个问题 3. 正态随机变量与正态随机向量的关系 3. 个正态随机变量与 维正态随机向量 的关系 维正态随机向量 的每个分 量 都是正态随机变量；但 个正 态随机变量 构成的 维随机向量 不一定是正态随机向量：当正态随机 变量 之间是相互统计独立时 , 构成 的是正态随机向量；当正态随机变量 之间是相关的 , 则构成的不一定是正态随机向量。 N N N T21 NXXX X ),2,1( NkY k N),2,1( NkX k N ),2,1( NkY k T21 NYYY Y ),2,1( NkY k 四 几个问题 3. 正态随机变量与正态随机向量的关系 问题： (1) 结论对吗？ (2) 怎样从正态随机向量的定义证明 ? (结论的第二部分 )。 (3) 相互统计独立的 个正态随机变量 构成的 维正态随机向量各分量 之间一定是相互统计独立的，对吗？ (4) 维正态随机向量的每个分量都是 正态随机变量 , 又不一定能由 个相关的正态随 机变量构成 , 那么各分量之间相关的 维正态随 机向量是如何构成的 (正态随机信号相关采样 )? N N ),2,1( NkY k N N N