随机变量的数字期望

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1、 一、随机变量的数字期望 1、离散型随机变量的数学期望 例 2.24 一个年级有 100个学生，年龄组成为 :17 岁的 2人 ;18岁的 2人 ;19岁的 30人 20岁的 56人 ;21岁 的 10人 ,求该年级学生的平均年龄。 1 1 7 2 1 8 2 1 9 3 0 2 0 5 6 2 1 1 0100X 2 2 3 0 5 6 1 01 7 1 8 1 9 2 0 2 1 1 9 . 7 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 定义 2.13 设 X 是离散型随机变量的概率分布为 ,2,1, 1 ipxXP i 如果 i i i px 1 绝对收敛， 则定义 X

2、 的 数学期望 （又称 1 )( i ii pxXE均值 ）为 例 甲 , 乙两人进行打靶 , 所得分数分别记为 ,1X ,2X 它们的分布律分别为 , 8.02.00 2101 kp X 1.03.06.0 2102 kp X 试评定他们的成绩的好坏 . 解 我们来计算 1X 的数学期望 , 得 8.18.022.0100)( 1 XE (分 ). 这意味着 , 如果甲进行很多次的射击 , 那么 , 所 得分数的算术平均就接近 1.8. 例 甲 , 乙两人进行打靶 , 所得分数分别记为 ,1X ,2X 它们的分布律分别为 , 8.02.00 2101 kp X 1.03.06.0 2102

3、kp X 试评定他们的成绩的好坏 . 解 而乙所得分数的 数学期望为 ).(5.01.023.016.00)( 2 分XE 很明显 , 乙的成绩远不如甲的成绩 . 例 2.25 一批产品有一、二、三等品及废品共 4 级，相应比例为 60%,20%,10%,10%若各等级产品的 产值分别为 6元 ,5.5元 ,4元及 -1元，求产品的平均 产值， 解 设一个产品的产值为 X元，依题意， X的概率分 布如图 X -1 4 5.5 6 p 0.1 0.1 0.2 0.6 （元） 5 1.01)( XE 1.04 2.05.5 6.06 例 2.26 已知盒内有 5个球，其中 2个白球， 3 个黑球，

4、从中一次摸出 3个球，计算摸到的白球 个数 X的数学期望 EX。 解 :X只取、 1、 2各值， 根据古典概型公式 容易求出各概率值： 3 3 3 5 1 0 , 10 cPX c 12 23 3 5 6 1 , 10 ccPX c 21 23 3 5 3 2 10 ccPX c 2 0 i i EX i p 1 6 30 1 2 1 0 1 0 1 0 1.2 例 2.27 设甲袋内有 3个白球与 3个黑球，乙袋 内有 3个白球，现从甲袋内任意摸出 3个球放入乙 袋。求 （ 1）乙袋内黑球个数 X的数学期望； （ 2）从乙袋内再任取一球是黑球的概率 解 （ 1） X只取 0、 1、 2、 3

5、各值 03 33 3 6 0 ccPX c 1 20 12 33 3 6 1 ccPX c 920 21 33 3 6 2 ccPX c 9 20 30 33 3 6 3 ccPX c 120 0 1 2 3 1 2 0 9 2 0 9 2 0 1 2 0 所以计算出概率得 X的概率分布为 3 0i E X i P X i 1 9 9 1 30 1 2 3 20 20 20 20 2 3 0i P B P X i P B X i 3 0 1 6 i i P X i 3 0 6i i P X i 1164EX （ 2） 设事件 B=“ 从乙袋内任摸一球为黑球”由于事 件 B发生的概率与乙袋内黑球

6、的个数也就是从甲袋 中取出的黑球个数有关， 0X 1 , 2 , 3X X X 是一个完备事件组， 根据全 概率公式 补例 1 掷一枚骰子， X表示出现的点数，求 EX. 解： X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 EX=1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6 + 4 1/6 + 5 1/6 + 6 1/6 =3. 5 补 例 2设 X的分布律为 X -1 0 1 P 0.3 0.2 0.5 求 EX. 解： EX= -1 0.3 + 0 0.2 + 1 0.5 =0.2 练习： X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求 EX.

7、 2、连续型随机变量的数学期望 定义 2.14 设 X 是连续型随机变量， 其密度函数为 ),( xf 如果 dxxxf )( 绝对收敛， 定义 X的 数学期望 为 .)()( dxxxfXE 例 已知随机变量 X 的分布函数 , 4,1 40,4/ 0,0 )( x xx x xF 求 ).( XE 解 随机变量 X 的分布密度为 )()( xFxf 故 dxxxfXE )()( , ,0 40,4/1 其它 x 40 41 dxx 4 0 2 8 x 2 解 求 EX 例 2.28 设随机变量 X的概率密度函数为 01 ( ) 2 1 2 0 xx f x x x 其他 ()E X x f

8、 x d x 33 212- 3 0 3 1 xx x 1 10 2 dxx 21 )2( dxxx 补例 设随机变量 ),( xfX ,12/7)( XE 且 , ,0 10,)( 其它 xbaxxf 求 a 与 b的值 解 由题意知 dxxf )( dxxxfXE )()( ,12723 ba 解方程组得 ,1a .2/1b 10 )( dxbaxx 10 )( dxbax ba 2 ,1 例 2.29 设随机变量 X的概率密度函数为 22 c o s () 2 0 xx fx 其他 求 EX ()E X x f x d x 解 22 2 2 c o s x xdx 2 2 2 1 c o

9、 s 2 2 xx d x 22 22 11 c o s 2x d x x x d x 2 2 2 122 22 2 2 2 22 xx sin x sin x d x 1 2 20 4 2 c os x 例 2.30 设随机变量 X的概率密度函数为 x f ( x ) x x 2 1 1 01 讨论 EX的存在性 解 E X x f ( x ) d x x d x x 21 1 dx x 1 1 因此 EX不存在 此例说明 ，并不是所有随机变量的期望都是存在的 、随机变量函数的数学期望 设 x是一个随机变量， g(x)是 x的一个实值函数 , 如果当随机变量 X取 x值， 另一个随机变量 Y

10、取值 g(x) 则称随机变量 Y是 X的函数， 记作 g(x). 如果一个函 这个函数本身也是随机变量且它 是作为自变量是随机变量的函数。 这里我们首先讨论如何根据随机变量 X的分布计 算 X的函数 Y=g(x)的数学期望 数的自变量，那么 定理 2.8 设 X 是一个随机变量， ),( XgY 且 )(YE 存 在 , 于是 (1) 若 X 为离散型随机变量， 其概率分布为 ,2,1, ipxXP ii 则 Y 的数学期望为 ;)()()( 1 i i i pxgXgEYE (2) 若 X 为连续型随机变量， 其概率密度为 ),( xf 则 Y的数学期望为 .)()()()( dxxfxgX

11、gEYE 推论 （ 1）对于任意实数 a， Ea=a。 （ 2）如果 EX存在，对任意实数 a，都有 E X a E X a , E a X a E X （ 3）若 的期望都存在，则对任意实数 nX , ., X1 都有 na , a .a12 n n n nE a X . . . a X a E X . . . a E X 1 1 1 1 特别的 nn ii ii E X E Xnn 11 11 例 2.31设随机变量 X的概率分布由表所示 X 1 2 3 4 P 0.4 0.3 0.2 0.1 解 . . . . 1 0 4 2 0 3 3 0 2 4 0 1 2 E Y E X 21 2

12、221 , XYXY 3 3 3 4 XY EX 4.01 2 3.02 2 2.03 2 1.04 2 5 22 XEEY 2EX 1EY 5 3 3 3 4 XEEY 3 3 4 EX 3 4 )1.042.033.024.01( 3333 例 2.32 是随机变量 X服从期间 a,b上的均匀分 布，求 EX与 . EX2 解 依题意， X的概率密度函数为 E X x f ( x )d x a x b, f ( x ) ba , 1 0其他 E X x f ( x )d x 22 ba x dxba 2 b a x dx ba b a x a a b b . ( b a ) 3 2 2 3

13、3 b a x a b , ( b a ) 2 222 ba 3 22 baba 例 2.33 设 X服从期间 上的均匀分布 ,求 2,0 E ( s i n X ) , E X , E ( X E X ) .22 解 依题意， X的概率密度函数为 xE X d x 22 2 0 2 x, f ( x ) , 1 02 2 0其他 E ( s i n X ) s i n x f ( x ) d x s i n x dx 2 0 2 243 E ( X E X ) E ( X ) 22 . 2 3 ( x ) dx 22 0 2 x 3 2 06 0 2c os 2 1 x 0 引例： 现有甲、

14、乙两位射手，甲射手射击中命 中的环数用 X表示，乙射手射击中命中的环数用 Y 表示，甲、乙两射手射击中命中的环数分布分别 为： 现在问甲、乙两位射手谁的射击水平更稳定些？ 二、随机变量的方差 定义 2.15 设随机变量 X平方的数学期望存在 EX 2即 ,则称 D X E ( X E X ) 2为随机变量 X的 方差 ， 称 DX 为 X的 标准差 . 根据随机变量函数的期望公式，若离散型随机变 量 X的概率函数为 iiP X x p , i , , . . . . . . , 12 则 ii i D X ( X E X ) p 2 若连续性随机变量 X的概率密度函数为 则 f ( x ) D

15、X ( x E X ) f ( x ) dx 2 2、方差性质 设随机变量 X的方差 DX存在，则对任意实数 a，都有 （ 1） Da 0 （ 2） D ( X a ) D X （ 3） D ( a X ) a D E 2 特别的 D ( X ) D X （ 5） 22 )( EXEXDX 221221 )( DXbDXabXaXD （ 4） 例 2.35 X表示掷一颗均匀骰子掷出的点数求 X的 期望和方差。 EX 1 1 2 3 4 5 66 7 2 EX 2 2 2 2 2 2 21 1 2 3 4 5 66 916 D X EX EX 22 35 12 解： X 1 2 3 4 5 6

16、P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 例 2.36 设连续型随机变量 X的概率密度函数为 x , x f ( x ) x , x , 01 2 1 2 0其他 求 X的方差 DX E X x f ( x ) d x 22 D X E X ( E X ) 22 ()E X x f x d x 2110 )2( dxxxx d xx 1 21 210 2 )2( dxxxx d xx 6 7 167 6 1所以 例 2.39 已知随机变量 X服从二项分布 且 ,求 X的概率函数与分布函数 . B ( n , p ) E X . 24 解 EX n p . , D X n p q .

17、2 4 0 4 8 解得 q=0.2， p=1-q=0.8， n=3 于是 X的概率函数与分布函数分别是 k k kP X k C . . , k , , , . 33 0 8 0 2 0 1 2 3 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 , x , . , x F ( x ) ,.x . , x ,X 00 0 0 0 8 0 1 0 1 0 4 1 2 0 4 8 8 2 3 13 例 2.40 设随机变量 X服从期望为 1的指数分布， 求概率 p X E X , P X E X 2 解 由于 E X / 11 1 22E X D X ( E X ) /

18、( / ) 221 1 2 1p X E X P X 1 1 e 22P X E X P X 2 e 例 2.41 设随机变量 X服从期望值为 0，方 差为 的正态分布 ,已知 求 的值。 2 22P X 4P X 解 设 X的分布函数为 F(x), 则 22P X F ( ) 22P X 1 P x 根据题设条件 查正态分布表知 ( 0 .8 4 ) 0 .7 9 9 5 , ( 0 .8 5 ) 0 .8 0 2 3 0 .8 4 )0( 2 )( )(1 )(1(4)( 8.0)( 四、随机变量的矩 定义 2.16 设 X是一个随机变量 ,如果 则称 nEX 为 X的 n阶原点矩 为 X的 n阶中心矩 2,1,)( nEXX nn 2,1,)()( nEXXEX nn