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1、对一道经典的三角函数高考试题的多视角探究简要：摘 要：本文从不同的视角出发，对2022年全国新课标卷的一道填空题进行研究、剖析，使学生在学习过程中懂原理、会方法，思维得到不断提升，同时也能很好地培养学生数学核心素摘 要：本文从不同的视角出发，对2022年全国新课标卷的一道填空题进行研究、剖析，使学生在学习过程中懂原理、会方法，思维得到不断提升，同时也能很好地培养学生数学核心素养.关键词：高考;三角函数;探究?黑龙江教育(高教研究与评估)?(月刊)创刊于2022年，是由黑龙江教育杂志社主办的高教刊物。曾荣获黑龙江省社科十佳期刊。最值是函数图象的重要特征，也是函数的重要性质，函数性质在高考中属于必
2、考内容，求函数的最值，在于研究函数的图象和利用其性质进行求解.三角函数的最值问题的求解也是如此，既可以迁移函数最值的求解方法，也可以根据三角函数自身的定义、图象和性质进行研究.在高考备考中，如能从不同的视角出发，对三角试题进行研究、分析，就能让学生在学习过程中更好地掌握方法，培养数学核心素养.本文以2022年全国新课标卷的一道填空题为例，阐述解决三角函数最值问题的多种视角，彰显其作为高考试题所散发出来的魅力.1 题目呈现题目 (2022年全国新课标卷)函数f(x)=2sinx+sin2x，那么f(x)的最小值.2 解法赏析2.1 导数的视角解析 因为f(x)=2sinx+sin2x的最小正周期
3、为T=2，所以f (x)=2(cosx+cos2x)=2(2cos2x+cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1).令f (x)=0，即2cos2x+cosx-1=0.所以cosx=12或cosx=-1.当cosx=12，即x=3或x=53时，函数f(x)取得极值.当cosx=-1，即x=时，函数f(x)取得极值.又因为f(53)=-3 32，f(3)=3 32，f(0)=f2=0，f()=0，所以比拟大小可知，函数f(x)最小值为-3 32.评析 利用导数求函数的极值，再比拟极值与端点的函数值大小确定函数最值，是求函数最值常用的方法.此题利用函数的周期性在一个周期内求三角函数的极值
4、和周期起始点与终点的函数值，比拟大小获得函数的最小值.2.1.2 换元法思想解析 令t=sinx，t-1，1，那么f(t)=2t+2t1-t2，那么ft=4t2t2-34当x-1，-320，32时，ft当x-32，032，1时，ft0，ft单调递增.那么ft在t=-32或32取极小值.因为f32=3 32，f-32=-3 32，所以fx的最小值为-3 32.评析 利用换元法将三角函数转化为我们熟悉的函数，再进行求导，判断函数在定义域上的单调性以及求函数的极值，进而获得函数的最值，它变换了函数表达形式，让解题更符合习惯，换元是一种很好的转化方式，但是在运用换元法时要注意换元后变量的范围.2.2
5、平面几何的视角解析 fx=2sinx+sin2x=2sinx1+cosx.如图1，以AB为直径作单位圆，点C为圆上的任意一点，CDAB于点E.设COB=x，那么sinx=yC=CE，1+cosx=1+xC=AE，故fx=2sinx1+cosx=2SACD，当且仅当x=CAD=60时，SACD取得最大值3 34.由于fx=2sinx+sin2x为奇函数，故当且仅当x=-60时，fx的最小值是-3 32.评析 由于三角函数具有单位圆的定义，所以在解决相关问题时也可考虑构造单位圆，利用单位圆内的有向线段表示各个三角函数值，再利用数形结合转化为三角形面积求最值问题，这个求最值的过程很好地利用了三角函数
6、的单位圆定义.2.3 不等式视角2.3.1 均值不等式法解析 fx=2sinx+sin2x=2sinx1+cosx=4sinxcos2x2=8sinx2cos3x2=83 3sin2x2cos2x2cos2x2cos2x283 3sin2x2+cos2x2+cos2x2+cos2x244=83916=3 32.當且仅当x=3时，等号成立，此时fx的最大值为3 22，由于该函数为奇函数，所以fx的最小值为-3 22.评析 “根本不等式是求积型函数最大值的一种模型，可以有条件地将所求拓展为多元根本不等式.除了条件的要求之外，在模型的构造技巧上有一定的难度，掌握消元的技巧即和为定值是关键，学生在求解
7、函数最值问题时有必要掌握好这一常规工具.2.3.2 琴生不等式法解析 当x0，2时，fx=sinx是上凸函数，由Jensen不等式得，fx=2sinx+sin2x=sinx+sinx+sin(-2x)3sinx+x+(-2x)3=3 32.当且仅当x=3时等号成立，此时fx的最大值为3 22，由于该函数为奇函数，所以fx的最小值为-3 22.评析 此方法利用高等数学中的琴生不等式求解.Jensen不等式是函数凸凹性的重要结论，在最值问题中具有广泛的应用.在高考中借助高等数学背景考查高中数学知识越来越热门，因此了解一些高等数学知识对解题无疑是如虎添翼.3 试题价值精心设计的高考试题，不仅能为考生
8、提供从不同视角思考问题、分析问题的途径，也能检测考生的分析问题、解决问题的能力，正所谓是“横看成岭侧成峰，远近上下各不同.对知识的理解也是如此，有了这样的考题，就能让我们通过试题的多姿多彩领悟到了生命的内涵与价值.精心设计的高考试题能从多个不同视角思考问题、理解问题，也能更好地表达教育、考试的公平.精心设计的高考试题能成为后续学习的范例，为后续的教与学以及考试、命题提供可模拟、可变式、可拓展、可借鉴的典范，具有很强的操作、参考价值.精心设计的高考试题同样也承载着学生数学核心素养培养的重任，它为学生的数学逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的培养提供必要的载体.这就是高考试题的价值表达.参考文献：1吴志鹏，潘敬贞.一道经典的三角形高考试题赏析J.理科考试研究，2022(07)：7-9.
对一道经典的三角函数高考试题的多视角探究
