静定结构的位移计算于英

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1、2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 1 第十四章 静定结构的位移计算 计算结构位移的目的 变形体的虚功原理 结构位移计算的一般公式 静定结构在荷载作用下的位移计算 图乘法 静定结构在支座移支时的位移计算 互等定理 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 2 第一节 计算结构位移的目的 1、变形和位移的区别： 变形 是指结构形状或尺寸的改变； 位移 是指结构上各点或截面位置的改变。 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 3 结构的位移 A AA 位移 转角位移 线位移 A Ax Ay A点线位移 A点水平位移 A点竖向位移 A截面转角 P Ax Ay 2021/4/

2、5 第 14章 静定结构位移计算 4 2、引起位移的主要原因有： 荷载作用、温度变化、 支座移动和制造误差。 A AA P Ax Ay 引起结构位移的原因 t 制造误差 等 荷载 温度 改变 支座移动 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 5 2、引起位移的主要原因有： 荷载作用、温度变化、 支座移动和制造误差。 3、计算结构位移的目的： （ 1）验算结构的刚度。结构变形不得超过规范规定的容 许值。 （ 2）为超静定结构的内力计算打基础。 （ 3）结构在施工过程中的挠度验算。 （ 4) 结构动力计算和稳定计算也需要计算结构的位移。 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 6

3、铁路工程技术规范规定 : 3、 计算结构位移的目的 (1) 刚度要求 在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度； 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 1/700 和 1/900跨度 高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移 1/800 层高。 (2) 超静定结构计算 （ 3）施工要求 （ 4）动力和稳定计算 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 7 如屋架在竖向荷 载作用下，下弦 各结点产生虚线 所示位移。 将各下弦杆做得 比实际长度短些， 拼装后下弦向上 起拱。 在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。 建筑起拱 2021/4/5 第 14章 静

4、定结构位移计算 8 4、计算方法： 本章只讨论 线性变形体系 的位移计算，计算方法 是单位荷载法，其理论基础是 虚功原理 。 线性变形体系和叠加原理的使用条件是： 材料 处于弹性阶段，应力与应变成正比；小变形。 因 此可以应用 叠加原理计算结构的位移 。 2、引起位移的主要原因 3、计算结构位移的目的 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 9 （ 2） 实功 ：力在本身引起的位移上作功，恒为正值 （ 3） 虚功 ：力在其它原因引起的位移上所作的功（力 在虚位移上作的功），可正可负 力与位移同向，虚功为正，力与位移反向，虚功为负。 虚位移：与作功的力无关。是结构的支承条件和变形条 件允

5、许的微小位移。 引起位移的原因：可以是一组力，温度变化、支座位移 等，也可以是假想的位移，故称为 “ 虚 ” 。 第二节 变形体的虚功原理 一、功、实功和虚功 （ 1）功：力对物体作用的累计效果的度量 功 =力 力作用点沿力方向上的位移 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 10 第二节 变形体的虚功原理 一、功、实功和虚功 功：力对物体作用的累计效果的度量 功 =力 力作用点沿力方向上的位移 实功： 力在自身所产生的位移上所作的功 P PW 2 1 虚功： 力在非自身所产生的位移上所作的功 tPW P Ct t 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 11 第二节 变形体虚

6、功原理 一、功、实功和虚功 1P 11 12 2P21 22 1P 2P 12 力状态 位移状态 （虚力状态） （虚位移状态） 注意： （ 1）属 同一 体系； （ 2）均为可能状态。即位移 应满足 变形协调条件 ； 力状态应满足 平衡条件 。 （ 3）位移状态与力状态 完全无关 ； 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 12 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 13 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 14 在功的计算公式 W=P中，涉及到两方面因素： 与力有关的因素： 例如，一个力、一个力偶、一对力、一对力偶。 把这些与力有关的因素称为 广义力 ； 与广义

7、力相应的位移因素： 例如，与集中力相应的广义位移是该力的作用点 的总位移在力的方向上的分量； 广义力与相应广义位移的关系是： 它们的乘积是 虚功 。 二、广义力、广义位移 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 15 二、广义力、广义位移 一个力系作的总虚功 W=P P-广义力 ; -广义位移 P PW 例 : 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶 MW M 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 16 P 1 P 2 A B M M 3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶 MMMMW BABA )( 4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力 P P

8、A B P P PPW BA BA )( 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 17 （ 1）内力虚功： 当给体系一虚位移时，除了外 力（荷载、反力）在虚位移上作虚功外，内力 在相应变形上也要作虚功。内力在相应变形上 所作的虚功称为内力虚功。 （ 2） 变形体的虚功原理可描述为： 变形体处于 平衡的必要和充分条件是 ， 对于任何虚位移 ， 外力所作虚功总和 ， 等于各微段上的内力在其 变形上所作的虚功总和 ， 称为虚功方程 。 即： 外力虚功内力虚功 三、变形体虚功原理 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 18 外力虚功 的计算 : 微段外力 : 微段变形可看成由如下几部

9、分组成 : （ 3）变形体虚功方程的展开式 M dMM N dNN Q dQQ q ds 微段剪切 ds 微段拉伸 ds ds 微段弯曲 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 19 虚功有两种常见表达形式：由于产生虚功的力 和位移无关 ， 因此 ， 即可以把位移看作是虚设 的 ， 也可以把力看作是虚设的 。 （ 1） 位移是虚设的 ， 虚功可以描述为：实际存 在的力虚设的位移 ， 由于位移是虚设的 ， 这种 形式下的虚功原理又叫做虚位移原理 ， 可以用 于求未知力 。 （ 2） 力是虚设的 ， 虚功可以描述为：实际存在 的位移虚设的力 ， 由于力是虚设的 ， 这种形式 下的虚功原理又

10、叫做虚力原理 ， 可以用于求未 知位移 。 四、虚功原理的应用 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 20 第三节 结构位移计算的一般公式 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 21 （ 1）计算两种状态的外力虚功和内力虚功： （ 2）结构位移计算的一般公式： 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 22 例 : 1)求 A点水平位移 所加单位广义力与所求广义位移相对应 ,该单位 广义力在所求广义位移上做功 . （ 3）单位力状态的确定 P A B 2)求 A截面转角 3)求 AB两点相对水平位移 4)求 AB两截面相对转角 1P 1P 1P 1P 2021/4/5

11、 第 14章 静定结构位移计算 23 B A ? AB (b) 试确定指定广义位移对应的单位广义力。 A ?A (a) P=1 P=1 P=1 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 24 A B C d ?BC (c) dP 1 dP 1 A B C 2d 1d (d) ? ACAB1 1 d 1 1 d 2 1 d2 1 d 试确定指定广义位移对应的单位广义力。 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 25 A B ? AB (e) P=1 P=1 C (f) C 左右 =？ P=1 P=1 试确定指定广义位移对应的单位广义力。 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计

12、算 26 P=1 ?A (g) A ?AB (h) A B P=1 P=1 试确定指定广义位移对应的单位广义力。 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 27 一 .单位荷载法 k iP 1P 求 k点竖向位移 . 由变形体虚功方程 : 变形协调的 位移状态 (P) 平衡的力 状态 (i) We =Wi We =P iP Wi =NiP +QiP +MiP ds iP =NiP +QiP +MiP ds 适用于各种杆件体系 (线性 ,非线性 ). 第四节 静定结构在荷载作用下的位移计算 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 28 一 .单位荷载法 k iP 1P 求 k点竖向

13、位移 . 变形协调的 位移状态 (P) 平衡的力 状态 (i) iP =NiP +QiP +MiP ds -适用于各种杆件体系 (线性 ,非线性 ). 对于由 线弹性 直杆 组成的结构，有： EI M GA Qk EA N P PP P PP , , dsEI MMGA QkQEA NN iPPPip ii 适用于线弹性 直杆体系 , 第四节 静定结构在荷载作用下的位移计算 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 29 1.梁与刚架 二 .位移计算公式 dsEI MM iPip 2.桁架 dsEA NN iPip EA lNN iP 3.组合结构 EI lNNdsEI MM iPiPi

14、p 4.拱 dsEA NNEI MM iPiPip 这些公式的适 用条件是什么 ? 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 30 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 31 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 32 解： 例 2:求图示桁架 (各杆 EA相同 )k点水平位移 . P a a k 1 0 0 P P P2 NP 1 1 1 2 2 Ni EA lNN iPkx )()21(2222 )1)()1)( 1 EA Pa aP aPaP EA 练习 :求图示桁架 (各杆 EA相同 )k点竖向位移 . a a P k 1 1 1 0 2 0 0 P2 P N

15、P Ni EA lNN iPkx )()221( 2)2)(2(1 1 EA Pa aPaP EA 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 33 EI sMMiP dP 复习 EA lNNiP P EA lNNEI sMM PiP Pd 刚架与梁： 桁架： 拱或组合结构： 静定结构的位移计算公式 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 34 在杆件数量多的情况下 ,不方便 . 下面介绍 计算位移的图乘法 . EI sMM PiP d 第五节 图乘法 刚架与梁的位移计算公式为： 图乘条件 ：（ 1） EI为常量或分段为常量； （ 2）杆轴为直线或分段为直线；（ 3） MP、 M

16、中至少有一个为直线或分段为直线。 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 35 一、图乘法公式推导 sEIMM P d sMMEI P d1 xMxEI P dt a n1 xxMEI P dt a n cc yEIxEI 1t a n (对于等 截面杆 ) (对于直杆 ) xMMEI P d1 )t a n( xM 图乘法求位移公式为 : EIy cip dt a n xEI 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 36 二、几种常见图形的面积和形心位置的确定 二次抛物线 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 37 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 3

17、8 三、图乘应注意的几个问题 （ 1）当 MP与 在杆轴同侧时，取正号；异侧时，取负号。 （ 2）取 坐标的图必须是直线变化，或分段为直线变化。 M cy )(d 332211P yyyxMM )(d 2211P yyxMM al211 bl212 dcy 31321 dcy 32312 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 39 三、图乘应注意的几个问题 al211 bl212 dcy 31321 cdy 31322 )(d 2211P yyxMM .， 2211 为负值为负值此时 yy 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 40 例 3 )( 3 8 4 5 48 5

18、823 22 2 2 CV EI ql lqll EI EI ql qll EI B 3 2 24 1 2 1 ) 8 1 3 2 ( 1 （ ） )( 24 2 1 83 21 3 2 A EI ql ql l EI 解 ： 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 41 M 图 2 1 EI ql qll EI B 3 2 24 1 2 1 ) 8 1 3 2 ( 1 （ ） PM 图 2 8 1ql B A q 1 例 3:求图示梁 (EI=常数 ,跨长为 l)B截面转角 B 解 : 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 42 例 4. 试求图示梁 B端转角、跨中竖向位移

19、。 解 : s EI MM P B d EI y c A BP 2/l 2/l EI B A B1M 4/Pl 1 MP Mi )( 16 1 2 1 42 11 2 EI Pl Pl l EI 为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正 ? 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 43 P l/2 l/2 C 已知 EI 为常数，求 A截面竖向位移及转角位移。 A 练习 B 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 44 例 5. 试求图示结构 B点竖向位移 . 解 : sEIMM PBV d EI y c Pl MP Mi )( 3 4 ) 3 2 2 1 ( 1 3 EI Pl

20、 llPlllPl EI 1 l P EI B EIl l 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 45 四、图形分解 B求 1 A B mkN 20 mkN 40 m10 EI 40 20 MP Mi A B mkN 20 A B mkN 40 40 20 3/23/1 )( 3 500 ) 3 1 2010 2 1 3 2 4010 2 1 ( 1 EI EI B 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 46 1 MP Mi )( 24 )1 3 2 42 1 2 1 83 2 ( 1 3 22 EI ql ql l ql l EI B A B 4/2ql l EI q 4

21、 2ql 8/2ql q 8/2ql 例 :求图示梁 (EI=常数 ,跨长为 l)B截面转角 B 解： 作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 47 )( 16 ) 43 1 2 1 22 1 42 1 22 43 2 2 1 22 1 ( 1 2 EI Pl PllPlll Pll EI B 4/PlM P 1 Mi )(16)21421(1 2 EI PlPll EIB 取 yc的图形必 须是直线 ,不能是曲 线或折线 . A B 2/l EI 2/l P 2/1 例： B求 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 48 四、图形分解 B求 1

22、 A B mkN 20 mkN 40 m10 EI 40 20 MP Mi 3/22/1 )( 3 500 ) 2 1 2010 3 2 2010 2 1 ( 1 EI EI B )( 3 500 ) 3 2 20 20(110 2 11 EI EI B 当两个图形均 为直线图形时 ,取那 个图形的面积均可 . 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 49 1 A B mkN 20 mkN 40 m10 EIMP Mi )( 100 )20 3 2 60(110 2 11 EI EI B )( 100 ) 2 1 1020 3 2 6010 2 1 ( 1 EI EI B 40 20

23、60 20 40 20 )( 100 ) 2 1 1020 3 2 6010 2 1 ( 1 EI EI B 例： B求 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 50 )( 16 ) 43 1 2 1 22 1 42 1 22 43 2 2 1 22 1 ( 1 2 EI Pl PllPlll Pll EI B 4/PlM P 图、图形分解 B求 1 Mi )(16)21421(1 2 EI PlPll EIB 取 yc的图形必 须是直线 ,不能是曲 线或折线 . A B 2/l EI 2/l P 2/1 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 51 四、图形分解 B求 1 A

24、 B mkN 20 mkN 40 m10 EIMP Mi )( 100 )20 3 2 60(110 2 11 EI EI B )( 100 ) 2 1 1020 3 2 6010 2 1 ( 1 EI EI B 40 20 60 20 40 20 )( 100 ) 2 1 1020 3 2 6010 2 1 ( 1 EI EI B 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 52 P P a a a Pa Pa MP P=1 M a/2 a/2 EI Pa Pa aaaPa EI aa 24 23 2 22 2) 23 2 2 ( 1 3 4 3 2 CV 例：求图示梁中点 C的挠度。

25、解： 3a/4 C 作荷载弯矩图和 单位荷载弯矩图 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 53 五、图乘法小结 1. 图乘法的应用条件： （ 1）等截面直杆， EI为常数； （ 2）两个 M图中应有一个是直线； （ 3） 应取自直线图中。 cy 2. 若 与 在杆件的同侧， 取正值； 反之，取负值。 cy cy 3. 如图形较复杂，可分解为简单图形 . 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 54 例 1. 已知 EI 为常数，求 C、 D两点相对水平位移 。 CD 六、应用举例 A l q B h q 8/2ql h 1 1 h MP iM )( 12 83 21 3 2

26、EI qh l hl ql EIEI y c CD 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 55 已知 EI 为常数，求 C、 D两点相对水平位移 ,并画出变形图。 CD MP l 1 1 l iM )( 12 11 ) 83 2 2 1 3 2 2 1 ( 1 4 2 22 EI ql l ql llqlllqll EIEI y c CD 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A l q B l C Dql q 2ql ql 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 56 32/2ql 例 4. 图示梁 EI 为常数，求 C点竖向位移 。 六、应用

27、举例 iM 2/l A l/2 q BC l/2 MP 2/2ql 1 C )( 384 17 ) 23 1 822 1 23 2 222 1 22 1 3223 2 ( 1 4 2 22 EI ql lqll lqlllqll EI EI y c c 8/2ql q 8/2ql2/2ql 2/2ql 8/2ql 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 57 )(10067.11016032803144211 6 3 EIEIEI y c CD 例：求 C点 水平位移。 EI=常数 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 58 例：求 A端转角位移 和 C点竖向位移 。 A C

28、V EI=常数 )(3 . 5 m mm105.3 2 5.15.1105.4 3 25.1 3 25.11048 2 15.1 3 261048 2 1 105 1 3 333 7CD 弧度437A 106.91316104821105 1 （ ） 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 59 求 B点水平位移。 练习 解： 作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 MP )( 8 5 4 1 2 3 2 2 11 3 EI Pl llPl EI llPl EIEI y c B Pl A B l l EI4 P EI EI 1 注意 :各杆刚度 可能不同 iM l 2021/4/5 第 14章

29、静定结构位移计算 60 1 A B mkN 20 mkN 40 m10 EI 40 20 MP Mi A B mkN 20 A B mkN 40 40 20 3/23/1 )( 3 500 ) 3 1 2010 2 1 3 2 4010 2 1 ( 1 EI EI B 解 : 例 :求图示梁 (EI=常数 ,跨长为 l)B截面转角 B 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 61 A BP 2/l 2/l EI B A l/2 q BC l/2 练习 求简支梁跨中 C截面竖位移。 C 求悬臂梁 B截面竖位移。 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 62 A BP 2/l 2/

30、l EI B A l/2 q BC l/2 练习 求简支梁跨中 C截面竖位移。 C 求悬臂梁 B截面竖位移。 ql2/2 M 图 M 图 PM 图 1 l 3l/4 PM 图 Pl/4 l/4 C )(4843224212 3 CV EI Plllpl EIEI y c )(8432311 42 BV EI qlllql EIEI y c 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 63 P l/2 l/2 C M P Pl C P=1 l/2 M 5Pl/6 例：求图示梁 C点的挠度。 )(48521313222211EI 3 c C EI PlPlPlll EI y Pl/2 解 ：

31、作荷载弯矩图和 单位荷载弯矩图 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 64 已知 EI 为常数，求 B截面转角。 MP 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A B kN/m2 m4 kN6 m2 m3 1 124 Mi )( 3 8 ) 2 1 44 3 2 1 3 1 124 2 1 ( 1 EI EIEI y c B 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 65 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 66 1c 2c 3c K K KC 1 K 1R 2R 3R 变形体虚功方程为 : 外力虚功 =内力虚功 外力虚功 =1kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3

32、内力虚功 =0 其中 : 计算公式为 : ii CRKC 第六节 静定结构支座移支时的位移计算 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 67 C B A P=1 1AX 1CY 1AY 解： 虚设力状态，求反力如右图所示。 1c 2c 3c C B A l l )()111( 321321CH CCCCCC CH 例 1：求图示结构 C点水平位移 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 68 解： 虚设力状态，求反力如右图所示。 ( ) r ad .)( 00 7 502 11 BxByiiA hlcR 已知 l=12 m , h=8 m , m 04.0Bx m 06.0By

33、 ?A , 求 例 2： 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 69 a b l/2 l/2 h 1 1 0 A Y 1 B h X 0 B Y 1 A h X 弧度hacR 解：设虚拟单位荷载，由平衡条件，求支座反力 如右图所示。 例 3： 求图示结构由于支座移动产生的位移。 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 70 第七节 互等定理 1. 功的互等定理 : 12 2P 2 第 二 状态 第一 状态 21 由虚功原理 12112 PW s EI MM EA NN GA QQk d)( 212121 21221 PW s EI MM EA NN GA QQk d)( 12

34、1212 212121 PP 在线弹性变形体系中，第一状态的外力在第二状态 的位移上所的做虚功，恒等于第二状态的外力在第 一状态的位移上所做的虚功。 这就是功的互等定理。 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 71 2. 位移互等定理 : 12 12 P 2 第二状态 第一状态 21 由功的互等定理有： 2112 11 2112 第一状态的单位力，引起第二状态的单位力作用点处 沿力方向的位移，恒等于第二状态的单位力，引起第 一状态的单位力作用点处沿力方向的位移 。 这就是位 移互等定理。 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 72 12 12 P 2 第 II 状态 第 I 状态 21 2112 单位广义力是量纲为一的量 ； 互等不仅是指 数值相等 ，且 量纲也相同 。 如图示长 l ， EI 为常数的简支梁 EI l B 16 2 21 EI lf c 16 2 12 第 II 状态 12 PA C B Cf第 I 状态 B A C 11 P B 跨中 数值、量纲都相等 2021/4/5 第 14章 静定结构位移计算 73 3. 反力互等定理 : 由功的互等定理有： 11 1221 rr 1221 rr 支座 1 发生单位广义位移所引起的支座 2中的 反力恒等于支座 2 发生单位广义位移时所引起的 支座 1中的反力。 这就是反力互等定理。