非对称弯曲与特殊梁-第二讲

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1、第 11 章 非对称弯曲与特殊梁 本章 主要 研究 ： 一般非对称弯曲正应力 一般薄壁梁的弯曲切应力 薄壁梁的截面剪心 复合梁与曲梁 弯曲 应力 1 惯性积 与主惯性矩 2 非对称弯曲正应力 3 薄壁梁的弯曲切应力 4 薄壁梁的截面剪心 5 复合梁 的 弯曲应力 6 曲梁弯曲 应力简介 1 惯性积 与主惯性矩 附录 G 截面 惯性积 惯性积平行轴定理 转轴公式与主惯性矩 截面惯性积 惯性积 Ayz AyzI d4L 截面对 y, z 轴的 惯性积 当 y 或 z 轴为 截面对称轴时 0yzI 跳过算例 试计算图示截面 的惯性积 Iyz b bb - zhyz zyyzI 0 )/(0 dd 2

2、4 22 hbI yz b zbhy )(1 算例 b yyz zyyzI 0 0 1 dd 惯性积 平行轴定理 平行轴定理 Cy0z0 形心直角坐标系 Oyz 任意直角坐标系 Ayz AyzI d CCzyyz zAyII 00 0d 0 A Ay A CCyz AzzyyI d00 的关系与建立 00 zyyz II Azy AzyI d0000 0d 0 A Az 注意： 的坐标形心 ),( Czy CC 二者平行 跳过算例 算例 )m1040m ) ( 2 010m ) ( - 1 010( 2 00 26-3-3- yzI 000 zyI mm -1 0Cz mm 20Cy CCzy

3、yz zAyII 00 48- m1016 yzI 试计算 惯性积 Iyz 转轴公式与主惯性矩 转轴公式 的关系与建立 11 zyyz II s i nco s1 zyy s i nco s1 yzz Azy yzzyI ) d As i nco s)(s i nco s(11 c o s2si n 2 211 yzzyzy IIII si n 2 c o s2 2 2 1 1 yz zyzy z y I IIII I I p11 IIIII zyzy ： 始边 y轴， 为正 主轴与主惯性矩 yz yz II I 2t a n 2 si n 2 c o s2 2 2 yzzyzy z y II

4、III I I 满足惯性积为零的坐标 轴 主轴 , zy记为 对主轴的惯性矩 主惯 性矩 记为 zy II , 通过形心的主轴 主形心轴 相应惯性矩 主形心惯性矩 s in 2 c o s 22yzy z y zIIII 0 主形心轴 主形心轴 跳过算例 算例 确定主形心轴与主形心惯性矩， h=2b bbbbbII z y 48si n 4 8 1848c o s4 89 2 182 1 9 2 182 1 44444 41 5 2 00 b.I y 41 2 5 80 b.I z 1836 43 0 bhbI y 9 2 36 43 0 bbhI z AzyII CCyzzy 00 00 0

5、02t a n 2 yz zy II I 2424- 7 8- 1892 )18(-2 44 4 /b/b /b 18- 4b Azyhb CC 24 22 2 非对称弯曲正应力 平面弯曲正应力分析 非对称弯曲正应力一般公式 平面弯曲正应力分析 平面假设 单向受力假设 假设 E 综合考虑三方面 ( a ) E 中性 层 曲率半径 ( b ) 0d A A ( c ) 0d A Az ( d ) d A zMAy 联立求解式 (a)(d) z z EI M 1 z z I yM- 变形与应力 ： 详见 中性轴 与主形 心轴 z 重合 中性轴垂直于弯矩作用面的变形形式 平面弯曲 中性轴 ： 结论

6、非对称弯曲正应力一般公式 非对称弯曲正应力 z z y y I yM I zM z z y y I yM I zM y z z y M M I I y z t a n 最 大 应 力 位 于 离 中 性 轴 最 远 点 a, b 处 应力一般公式 公式的简化 中性轴方位 0广义弯曲公式推导 斜弯曲 t a nt a n z y y z z y I I M M I I c o sMM y s inMM z 时，zy II 中性轴不垂直于弯矩作用面的变形形式 斜弯曲 几个概念及其间关系 对 称 弯 曲 非对称弯曲 弯曲 平面弯曲 （ M 矢量 / 主形心轴时 ） 斜 弯 曲 （ M矢量不 / 主形

7、心轴时 ） 平面弯曲 斜弯曲 两个互垂平面弯曲的组合 中性轴不垂直于弯矩作用面的变形形式 斜弯曲 中性轴垂直 于弯矩作用面的变形形式 平面弯曲 几个概念间的关系 非对称弯曲分析计算步骤 确定截面形心、主形心轴与主形心惯性矩 内力分析，求出 My 与 Mz 确定中性轴方位，以确定最大正应力点位置 计算最大弯曲正应力 3 薄壁梁的弯曲切应力 薄壁梁弯曲切应力公式 例题 薄壁梁弯曲切应力公式 y、 z 轴主形心轴 假设 切应力平行与中心线切线 切应力沿壁厚均匀分布 弯曲切应力公式 )( )()( S sI SFs z z I z- 整个截面对 z 轴的惯性矩 Sz-截面 对 z 轴的静矩 推导 详见

8、 例 3-1 确定工字形截面梁的剪流分布 例 题 解： 1. 翼缘剪流计算 z z I SFq )(S f zz I hFh I F 22 SS 2. 腹板剪流计算 2 2 1S w 422)( y hhb I Fyq z z z I ySFq )(S w 2)( hbyS z yhyh 22121 3. 剪流方向判断 0d 0S MF 0d 1 F 0d 2 F f 指向腹板 w 与 FS 同向 4. 剪流分布图 zI hbhFq 8 )(4 1S m a xw, 下翼缘的剪流 均指 向腹板； 上翼缘的剪流 均背离腹板 腹板上的剪流与剪 力 FS 同向 “ 视 ” 截面如管道 ， “ 视 ”

9、 剪流如管流 ， 连 续流动；由 qw推及其他 解： 1. 问题分析 切应力分布对称于 y 轴， A 处切 应力为零 ,等价于开口薄壁截面 例 3-2 确定闭口薄壁圆截面梁的切应力分布 2. 切应力分析 z z I SF )()( S z z I SF )()( S AyS z d)( s i ndc o s)( 0 2000 RRRS z 30RI z 0 Ssin R F 0 Sm a x R F 4 薄壁梁的截面剪心 剪心 概念 剪心 位置的确定 剪心 概念 现象与问题 要使梁仅弯不 扭，横向载荷 (F,q) 应满足何 种条件？ 点击 画面 剪心演示 平面弯曲的外力条件 梁 z 轴发生平

10、面弯曲 z zy y I SFsq )()( S Fsy位置 ： ez=? l yzy ssqeF d)(S z l z z I sS e d)( 要使梁 z 轴发生平面 弯曲 , 外力 ( F, q ) 作用 线 y 轴，并距其 ez 处 根据合力矩定理： 梁 y 轴发生平面弯曲 y yz z I SFsq )()( S Fsz位置 ： ey=? 根据合力矩定理 : y l y y I sS e d)( 要使梁 y 轴发生平面弯曲，外力 ( F, q )作用线 z 轴，并距其 ey 处 剪心定义 剪心位置仅与截面的形状及尺寸有关，与外 力无关，属于截面 几何性质 剪心概念 z l z z I

11、 sS e d)( y l y y I sS e d)( 剪心性质 当横向外力作用线通过剪心时，梁将 只弯不 扭 ，故剪心又称 弯心 剪力 Fsy, Fsz 作用 线的交点 E (ey, ez) 问题回顾 何以伴随扭转？ 存在附加扭力偶矩 对称截面的剪心 剪心位于对称轴上 剪心与形心重合 单对称截面 双对称截面 剪心 位置的确定 槽形截面剪心 剪心 位于 z 轴 z zy I SFq )()( S 确定 ez 设梁 绕 z 轴发 生平面弯曲 2 1 3 2212 hbhI z 21 S h I F z y 12 6 12 bhh b qF 01 )d( )6( 3 1 2 1S 1 bhh b

12、FF y hFeF zy 1S 1 2 1 6 3 bh be z 根据合力矩定理： z y I hFq 2)( 1S y z F hFe S 1 剪心 位于 z 轴， ez=？ z zy I SFq )()( S 0 00 dc o s)( RRS 2 30RI z s in30R 圆弧形薄壁截面剪心 0 S s i n2)( R Fq y 0 00S d)( RqReF zy 4 0Re z 4 0S RF y 5 复合梁 的 弯曲应力 复合梁弯曲正应力 转换截面法 例题 复合梁弯曲正应力 复合梁 由两种或两种以上材料所 构成的整体梁 复合梁 y 111 yEE 复合梁弯曲基本方程 平面假

13、设与单向 受力假设成立 yEE 2 22 z 轴位于中性轴 平面假设 中性层 (轴 ) 0dd 21 2211 AA AA MAyAy AA 21 2211 dd 确定中性轴位置 确定中性层曲率 I1 ,I2 截面 A1, A1对中性轴 z 的惯性矩 0dd 21 2211 AA AyEAyE 021 nSS 式中： n=E2 / E1弹性模量比 zIE M nIIE M 1211 )( 1 2211 1 1 IEIE yME 2211 2 2 IEIE yME 正应变沿截面高度线性分布，但正应力 分布出现非连续，呈现 分区线性分布 弯曲正应力公式 zI Myn 2zI My 1 或写作 转换

14、截面法 21eq nSSS ,z 中性轴通过等效截面的形心 C 截面转换 静矩等效 惯性矩等效 z,z InIII 21eq 当 n = E2/E1 时， 将 截面 2 的 横向尺寸 乘以 n，得 “等效截面” 结论：通过等效截面确定 中性轴位置 与 弯曲刚度 zIE1 0 eq, zS由 计算弹性模量比 n 画等效截面图 由等效截面的形心，确定中性轴位置 计算弯曲正应力 zI 按等效截面计算惯性矩 复合梁弯曲应力分析计算步骤 zI Myn 2zI My 1 例题 例 5-1 图示截面复合梁， M=30kN.m， Ew=10GPa， Es=200GPa， 求木与钢横 截面上的弯曲正应力 解 ：

15、 1. 模量比计算 20 1 200 10 s w E En 选钢为基本材料 2. 等效截面几何性质 m 1830 .y 45 m 10392 .I z zI My 1 m a xs, zI ynM m a xw, 3. 横截面上的应力 M P a 796m a xs, . zI yhM )-( M P a 511 . 6 曲梁弯曲 应力简介 曲梁弯曲 应力 大曲率梁与小曲率梁 曲梁弯曲 应力 未变形时轴线即为曲线的杆件 曲杆 以弯曲为主要变形的曲杆 曲梁 曲梁 曲梁弯曲正应力 根据平面与单向受力 假设 ， 并综合考虑几 何 、 物理与静力学三 方面 ， 进行分析 分析原理与方法 应力分布特点

16、 中性轴不通过横截面形心 沿截面高度 按双曲线规律分布 横截面内、外侧边缘处的正应力最大 zS My A A Ar d 应力计算 Sz截面对中性轴 z 的静矩 AeS z 积分计算查 阅表 10-1 中性层曲率半径 : rRe yr 大曲率与小曲率梁 大曲率梁 小曲率梁 小曲率梁应力 zI My 大、小曲率梁 的曲梁 10c/R 的曲梁 10c/R 正应力沿截面高度线性分布 中性轴通过截面形心 可近似认为： 谢 谢 A A 0d 中性轴通过截面形心 ( e ) )s i nc o s( yzE /2 中性轴与主形心轴 z重合 z z EI M 1 z z I yM- ( b ) 0d A A

17、( c ) 0d A Az ( d ) d A zMAy (a ) E (a)(b) (e)(c) (f)(d) ( f ) Ey 0yzI FxssF x d)d()( ,0 x F ss d d )( 1)( z z z I MSA I MyAF )(dd z z I S x M ss )( d d )( 1)( )( )()( S sI SFs z z Iz- 整个截面对 z 轴的惯性矩 Sz-截面 对 z 轴的静矩 广义弯曲公式推导 试验表明： 平面假设 与 单向受力假设 成立 1）几何方面 平面假设 应变呈平面分布 令 a y b z c 2）物理方面 p E 当 时 ， yz 3）

18、静力学方面 0A dA 0A A Ay d A z d A d A 0 zA yA y dA M z dA M z y z z y z y y I I M I I M yz AI y z d A 面积 A对 y, z轴的 惯 性积 22, z y y y z y z z y z y z y z y z y z M I M I M I M I I I I I I I 广义弯曲正应力公式 22 z y y y z y z z y z y z y z y z y z M I M I M I M Iyz I I I I I I 中性轴方位 设中性轴与 +y轴夹角为 则中性轴过形心，且 t a n z y y y z y z z y z M I M I M I M I 广义弯曲正应力公式 22 z y y y z y z z y z y z y z y z y z M I M I M I M Iyz I I I I I I 中性轴方位 设中性轴与 +y轴夹角为 则中性轴过形心，且 t a n z y y y z y z z y z M I M I M I M I