高中数学从普查到抽样

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1、 数 字 化 的 时 代 产品的合格率 农作物的产量 从普查到抽样 产品的销售量 某地的气温 自然资源 就业状况 电视台的收视率 0 5 10 15 20 25 30 上海 南京 天津 沈阳 哈尔滨 缺水量/ 我国是世界上的第 13个 贫水国 ,人均淡水占量排 世界第 109位 我国土地沙漠化非常严重 ,全国沙漠化土地面积已超过 174000平方公里 ,并以每年 3400平方公里的速度扩张 . 你知道这些数据是怎么来的吗？ 通过调查获得的 . 怎么调查？ 是对考察对象进行全面调查还是抽样调查？ 妈妈 :“儿子，帮妈妈买盒火柴去。” 妈妈 :“这次注意点，上次你买的火柴好多划不着。 ” 儿子高兴

2、地跑回来。 孩子：“妈妈，这次的火柴全划得着，我 每根 都试 过了。” 这个调查具有 破坏性 ，不可能 每根 试过 ,不能 展开全面调查。 看一看 要了解全国高中生的视力情况： （ 1）对全国所有的高中生进行视力测试； （ 2）对某一所著名中学的高中生进行视力测试； （ 3）在全国按东、南、西、北、中分片，每个区域各抽所 中学，对这 15所中学的全部高中生进行视力测试。 你认为哪种调查方式较适合？ 人们在研究某个自然现象或社会现象时，会遇到 不方便、 不可能 或 不必要 对所有对象作调查的情况， 往往采用抽样调 查的方法。 议一议 属于普查，工作量太大，不方便，没有必要 这种方法缺乏普遍性，不

3、合适。 这种调查具有可操作性及代表性。 议一议 同学们觉得在什么时候用 普查 方式较好 ?什么 时候用 抽样调查 方式较好呢 ? （ 1）当调查的对象个数较少，调查容易进行时，我们一般采 用普查的方式进行。 （ 2）当调查的结果对调查对象具有破坏性时，或者会产生一 定的危害性时，或不大经济可行我们通常采用抽样调查的方式 进行调查。 （ 3）当调查对象的个数较多，调查不易进行时，我们常采用 抽样调查的方式进行调查。 例如，为了了解一批计算器的寿命，我们能将它 们逐一测试吗？很明显，这既不可能也没必要。实践 中，由于所考察的总体中的个体数往往很多，而且许 多考察带有破坏性，因此，我们通常只考察 总

4、体 中的 一个 样本 ，通过样本来了解总体的情况。 进一步，从节约费用的角度考虑，在保证样本估 计总体达到一定的精度的前提下，样本中包含的个体 数越少越好 。 于是，如何设计抽样方法，使抽取的样本能够真 正代表总体，就成为我们要关注的一个关键问题。否 则，如果样本的代表性不好，那么对总体的判断就会 出现错误。因此科学合理地采集样本才能作出客观的 统计推断。 那么，怎样从总体中抽取样本呢？如何表示样本数据？ 如何从样本数据中提取基本信息（样本分布、样本数字特征 等），来推断总体的情况呢？这些正是本章要解决的问题。 数理统计所要解决的问题是如何根据样本来推断总体。 首先必须清楚地知道要收集的数据是

5、什么；其次，我们检验 样本的目的是为了了解总体的情况；再次，我们要知道如何 才能收集到高质量的样本数据。 在抽样调查中要注意什么问题？ 要了解 全国高中生的视力 情况，第三种调查方法：在全国 按东、西、南、北、中分片， 每个区域各抽 3所中学， 对这 15所中学的全部高中生 15000人进行视力测试。 考察对象是什么 ? 在统计中，我们把所要考察的对象的全体叫做总体 全国每位高中学生的 视力情况。 把组成总体的每一个考察的对象叫 做个体 这 15000名学生的视力情 况又组成一个集体 从总体中取出的一部分个体的集体 叫做这个总体的一个样本。 15000 样本中的个体的数目叫做样本 的容量。 、

6、如何刻画一批袋装牛奶的质量是否合格？ 以下变量都可以作为衡量产品质量的指标： （）袋装牛奶的细菌含量；（）袋装牛奶的重量； （）袋装牛奶的蛋白含量；（）袋装牛奶的脂肪含量； （）袋装牛奶的钙含量 、怎样检验“一批袋装牛奶的细菌含量是否超标？”是普 查还 是抽样调查？各有什么优缺点？应该采用哪种方法？ 普查的优点：在普查的过程中不出错的情况下可以得到这批 袋装牛奶的真实细菌含量。 普查的弊病： 、需要打开每一袋牛奶进行检验，结果使得这批牛奶不能 出售，失去了调查这批牛奶的质量的意义； 、普查需要大量的人力、物力和财力； 、当普查的过程中出现很多数据测量、录入等错误时，也 会产生错误的结论。 抽样

7、调查的优点：容易操作，节省人力、物力和财力。 抽样调查的缺点：估计结果有误差。 议一议 为什么说一个好的抽样调查胜过一次蹩脚的普查？ 品尝一勺汤 ,就可以知道一锅汤的味道 ,你知道其中蕴 涵的道理吗 ? 生活中的 “ 数学 ” 高质量的样本数据来自“搅拌均匀”的总体。如果我们 能够设法将总体“搅拌均匀”，那么从中任意抽取一部分 个体的样本，它们含有与总体基本相同的信息。 范例 在 1936年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志的工 作人员做了一次民意测验，调查 Alf Landon 和 Franklin Delano Roosevelt中谁将当选下一届总统。为了了解公众 意向，调查者通过电话簿和

8、车辆登记簿上的名单给一大批 人发了调查表（ 注意在 1936年电话和汽车只有少数富人拥 有 ），通过分析收回的调查表，显示 Alf Landon非常受欢 迎。于是此杂志预测 Alf Landon将在选举中获胜。 实际选举结果正好相反，最后 Franklin Delano Roosevelt在选举中获胜。其数据如下： 候选人 预测结果 选举结果 Landon 57 38 Roosevelt 43 62 思 考 你认为预期结果出错的原因是什么？ 原因是：用于统计推断的样本来自少数富人，只能代 表富人的观点，不能代表全体选民的观点（样本不具有代 表性）。 像本例中这样容易得到的样本称为方便样本。如果

9、使 用“方便样本”，那么得出与事实不符的结论的可能性就 会大大增加。 结论：在抽样时不能只图方便。如果只从一些容易得 到的个体中抽取样本，那么所得到的样本只是一个“方便 样本”，“方便样本”的代表性差，基本这种方便样本得 出的结论就会与事实相左。 中央电视台需要在我市调查“春节联欢晚会”的收视率。 （ 1）每个看电视的人都要被问到吗？ （ 2）对我校学生的调查结果能否作为该节目的收视率？ （ 3）你认为对不同社区、年龄层次、文化背景的人所做调查的结 果会一样吗？ 答 （ 1） 中央电视台在调查时不可能问到每一个看电视的人 。 （ 2） 对一所中学学生的调查结果不能作为该节目的收视率 ， 因为只

10、有中学生 ， 缺乏代表性 。 （ 3） 不同社区 、 年龄层次 、 文化背景的人所做调查的结果 不一样 ， 因为他们的兴趣 、 爱好等方面情况相距甚远 。 为了了解学生对学校伙食的满意程度，小红访问了名女生； 小聪访问了名男生；小明访问了名男生和名女生， 其中高一、高二和高三的男生和女生各 8名。你认为小红、小聪、 小明三人的不同抽样方法那一种最好？为什么？ 答：小明的方法最好。小明抽得样本既有男生，又有女生，而 均匀分布在各年级，这样的抽样较具有代表性，反映的情况具 有普遍意义。 1.我们常常根据样本得到结果来推测总体的结果。不同 的抽样可能得到不同的结果。 2.为了使结果更具准确性，抽样时

11、，样本的容量要合 理，样本的个体要有代表性。 练习 1.下列调查工作适合采用普查方式的是 ( ) A.环保部门对淮河水域的水 污染调查 B.电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查 C.检查一批电视机的使用寿命 D.学校给全校学生订做校服前 ,进行尺寸大小的调查 2.为了解全校 4500名学生的课外阅读时间情况 ,从中 抽取 200名学生进行调查，下列说法正确的 ( ) A.总体是 4500名学生 ; B.个体是每个学生 C.样本是 200名学生 ; D. 样本容量是 200. 每个个体在整个抽样过程 中被抽取的概率是否相等？ 思考 分析： 每部分抽取的个体数 样本容量该部分的个体总数 总体中

12、的个体数 应用举例 例 1 填空 : 1 、统计的基本思想方法是 _。 抽样调查常用的方法有 _。 样本容量是指 _. 、简单随机抽样适用的范围是 _. 系统抽样适用的范围是 _. 分层抽样适用的范围是 _. 3、为了了解某地区参加数学竞赛的 1005名学生的数学 成绩 ,打算从中抽取一个容量为 50的样本 ,现用系统抽样 的方法 ,需要从总体中剔除 5个个体 ,在整个过程中 ,每个 个体被剔除的概率和每个个体被抽取的概率分别为 _. 三种抽样方法的应用 用样本估计总体 简单随机抽样 ,系统抽样 ,分层抽样 样本中包含的个体的个数 总体中的个体数较少 总体中的个体数较多 总体由差异明显的几部分

13、组成 A 10 05 50, 10 05 5 .A 1000 50, 1005 1000 .D 10 05 50, 10 05 10 00 .B 10 00 50, 10 05 5 .C 例 2:下列抽取样本的方式是属于哪种抽样方法 ? (1)某市为了了解职工的家庭生产状况 ,先将职工所在的国民经济 行业分成 13类 ,然后每个行业抽 1/100的职工家庭进行调查 ,这 种抽样方法是 _. 分层抽样 (2)某学校高二年级有 15名男篮运动员 ,要从中选出 3人调查学习 负担情况 ,这种抽样方法是 _. 简单随机抽样 (3)某工厂生产的产品 ,用传送带将产品送入包装车间 ,质检员每隔 5分钟从传

14、送带某一位置取一产品进行检测 ,则这种抽样方法是 _. 系统抽样 (4)学校会议厅有 32排座位 ,每排有 40个座位 (座位号为 140 ),一 次报告会坐满了听众 .会后为听取意见 ,留下了座位号为 18的 所有的 32名听众进行座谈 ,则这种抽样方法是 _. 系统抽样 (5)在某一地区搞一市场调查 ,规定在商场门口随机地对一个人进 行询问调查 ,直到调查到事先规定的调查人数为止 ,则这种抽 样方法是 _. 偶遇抽样 说明 :这样的调查与所学的三种抽样方法的区别在于 :事先不知 总体且不能保证每个个体按事先规定的概率入样 . 例 3:填空题 : (1)一个总体的个数为 n,用简单随机抽样的

15、方法 ,抽取一个容量 为 2的样本 ,个体 a第一次未被抽到的概率为 _;个体 a 第一次未被抽到但第二次被抽到的概率为 _;整个抽 样过程中个体 a被抽到的概率为 _. (n-1)/n 1/n 2/n (2)一个总体的 80个个体编号为 0,1,2,79, 并依次将其分成 8个 小组，组号为 0, 1,2,7, 要用 (错位 )系统抽样方法抽取一 个容量为 8的样本 ,即规定先在第 0组随机抽取一个号码 ,记为 m,依次错位地得到后面各组的号码 ,即第 k组中抽取的号码的 个位数为 m+k或 m+k-10(若 m+k10).则在 m=6时 ,所抽到的 8个号码是 _. 注 :简单随机抽样中每

16、一个个体的入样概率为 M/n. 6,17,28,39,40,51,62,73. (3)某县三个镇共有高中生 2000名 ,且这三个镇的高中生人数之 比为 2:3:5,若学生甲被抽到的概率为 1/10,则这三个镇被抽到 的高中生人数分别是 _. 40,60,100. 例 4:某公司下属四个公司 ,且各分公司有员工 180人 ,150人 ,150人 , 120人 ,由于各分公司地域的差异而影响经营效益与员工的消费 水平 ,现要从各分公司抽取 60名员工调查消费情况 ,用什么方法抽 样较好 ,各分公司分别抽多少人 ? 解 :用分层抽样的方法较好 . 设各分公司分别抽取 (人 ),抽取总数 n=60人

17、 ,各公 司员工总数为 N=180+150+150+120=600人 . 4321 , nnnn .1260 600 120 1560 600 150 1560 600 150 ;1860 600 180 43 21 人人； 人；人 nn nn 例 5:从 2004名同学中抽取一个容量为 20的样本 ,试叙述系统抽样 的步骤 . 解 :(1)采用随机的方式给个体编号 :1,2,2004. (2)剔除 4个个体 . (3)分段 :由于 20:2000=1:100,故将总体分为 20个部分 ,其中每 一部分 100个个体 . (4)在第一部分随机抽取一个号码 ,比如 66号 ; (5)起始号加上各

18、段中所含的个体数 ,如 166,266,. 注 :从 N个编号中抽取 n个号码入样 ,考虑用系统抽样的方式抽样 , 则抽样的间隔为 N/n. 练习 1:从 50名学生中抽取 10名学生对他们的身高进行检测 ,应采 用哪种方法抽样 ?写出抽样过程 . 解 :用简单随机抽样较好 . 将 50名学生的学号写在形状、大小相同的号签上 ,然后将这些 号签放在同一盒子中进行均匀搅拌 ,抽签时 ,每次抽出一个号签 , 连续抽取 10次 ,则所抽得的 10个号签上的学生学号所对应着选 出的 10个学生 . 练习 2:某高校有一万名大学生 ,从中抽取 100名学生进行健康检查 , 采用哪种方法抽样较好 ?写出抽

19、样过程 . 解 :由于总体个数为 10000,数量较大 ,因而采用系统抽样法 . 具体过程如下 : (1)采用随机的方式将总体中的个体编号 1,2,3,10000. (2)把整个总体分成 10000/100=100组 ; (3)在第一组中用简单随机抽样确定一个起始个体编号 m; (4)将 m+100,m+200,m+9900 分别到第 2,3,100 个编号从 而获得整个样本 . 练习 3:一个地区有 5个乡镇 ,人口 3万 ,其人口比例为 3:2:5:2:3,要 从 3万人中抽取 300人进行某种疾病的发病分析 .已知这种 疾病与不同的地理位置及水土有关 ,问应采用哪种抽样方 法 ?并写出具

20、体过程 . 解 :因为疾病与不同的地理位置及水土有关 ,因而不同乡镇的发病 情况差异明显 ,因而采用分层抽样方法 . 具体过程如下 : (1)将 3万人分成 5层 ,每个乡镇一层 ; (2)按照样本容量与总体容量的比例及各乡镇的人口比例随机 抽取各乡镇应抽取的样本 ,通过计算 ,易知各乡镇应抽取的 样本数分别为 60,40,100,40,60个 . (3)将 300个人组成一起 ,即得到一组样本 . 练习 4:光明中学有高一学生 400人 ,高二学生 320人 ,高三学生 400 人 ,以每人被抽取的概率为 0.2,向该中学抽取一个容量为 n 的样本 ,则 n=_. 224 2)我们所学的三种

21、抽样方法都是事先规定每个个体的入样概率相等 (一般的分层抽样可规定不同层有不同的入样概率 ,我们所学的分层 抽样严格地讲 ,称为按比例分层抽样 ).这体现了这三种抽样方法的客 观性和公平性 . 3)简单随机抽样是系统抽样与分层抽样的基础 ;系统抽样与分层 抽样是简单随机抽样的发展 . 例 5:某中学有学生 2000名 ,为了了解学生的学习情况 ,抽 5%的学 生进行调查 ,你将如何设计抽样方法 ? 解 :根据不同的要求可有不同的抽样方法 . 现在抽 5%的学生 ,一般来说 ,一个班级的人数在 5060, 用系统 抽样方法每个班可抽到 2 3人 ,可以采用系统抽样 . 若抽样比例少于 2%,而学校有文、理分班或快、慢分班等学生 学习程度不一致的情形 ,应采用分层抽样 .