根式的运算技巧

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1、根式的运算平方根与立方根一、知识要点1、平方根：、定义：如果X2=a,则x叫做a的平方根，记作“ 土、沅”（a称为被开方数）。、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“富了”。2、立方根：、定义：如果X3=a，则x叫做a的立方根，记作“ 3a ”（a称为被开方数）。、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数 是 0

2、 和1 。2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个 数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。3、本身为非负数，即pa三0； pa有意义的条件是a0。4、公式：（耳a）2=a （a三0）:3 a = 3a （a取任何数）。5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。例 1 求下列各数的平方根和算术平方根1) 64 ；2) (3) 2；15 149;例 2 求下列各式的值(1) ：81 ；(2) /16 ；(3):;25 I rs 斥(5) “1.44 , (6) -、36 , (7) (49 (8)

3、 (25)2例3、求下列各数的立方根： 343；210 ； 0.72927二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当aMO时，a的平方根是土 *万，即a是非负数.例4、若、：2 x 、： x 2 y = 6,求y x的立方根.练习：已知y = 0，即a=o时其值最小，换句话说、a的最小值是零.例4、已知：y=；a -2 +(3(b +1)，当a、b取不同的值时，y也有不同的值当y最小时, 求匕&的非算术平方根.练习： 】、若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是()A.2B. 2C.4D. 42、144的算术平方根是, v16的平方根是；3、若m的平方根是5a +1和a-19，则m =.4、3

4、 27二， ：64 的立方根是；5、7的平方根为，1.21 =；6、一个数的平方是9,则这个数 ，一个数的立方根是1,则这个数是7、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是8、当x=时，”3x 一1有意义； 当=时，英5x + 2 有意义;9、若 x4 = 16，贝y x=； 若 3n = 81，贝y n=；10、若x = 3x，则x=；若卞x2 = x，贝yx；11、J15的整数部分为a,小数部分为b,则a=, b=12、解方程：(x-1)2 -324 = 0(2)125(x-2)3 =-3433 )64(x3)2 9 =04)1( x -1)3 + 8 = 013、已知 Jx 3 +

5、 |y 3 +(Z + 2)2 = 0，求 xyz的值。14、，求2x + y的值.15、已知：x2的平方根是2, 2x + y+7的立方根是3,求x2+y2的平方根.16、若 y = V 2x 1 + V 1 2x 1，求 Xy 的值。二次根式一、知识点1二次根式：式子Ja ( a三0)叫做二次根式。2最简二次根式：必须同时满足下列条件：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；被开方数中不含分母；分母中不 含根式。3同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。J 0)0 (“=0 ；G 0 时，贝9()A、0 m 2 c、m 2 D、m b）（即

6、一个数的平方的算术平方根等于这个10（a = 0）a （a 0）数的绝对值）来解题【例题讲解】例 1 :已知,；X3 + 3x2 =X、X + 3，则（）A.xWOB.xW 3C.x三一3D.3WxW0例2 :化简（x一2）匚匸的结果为（）（ x - 2A、 ：2 x ； B、 x 2 ； C、 一 丫x 2 D、 一 ：2 x【基础训练】1、已知ab，化简二次根式：一a3b的正确结果是（）A. 一 a、abB. a、.ab c. a、】ab D. a* ab2、若化简|l-xjx28x +16的结果为2x-5则（）A、x 为任意实数B、1WxW4 C、xl D、xW43、已知 a, b, c

7、 为三角形的三边，贝（a+bc）2 +、：（bca）2 +.（b + ca）2 =4、化简 I x ylJx 2（ x y 0）的结果是（）A. y 2 xB. y c. 2 x yD. y）。5、已知：a + a/1-2a + a2 =1,则a的取值范围是（A、a = 0 ；B、a = 1 ； c、a = 0 或 1；D、a 1三、二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质:（需）2=a（a$0）,即岛2 =| a I 以及混合运算法则）【例题讲解】（一）化简与求值例 1：把下列各式化成最简二次根式：（1） -33（2）/412 402（3） , 25m5 （4）弋書 + X 2 y 2

8、8 2例二：计算:疝吃攝+抨+护【基础训练】I I （_ I 1、下列哪些是同类二次根式：（1）t75，-丄，12 , ：2，丄,：3，丄；（2） 5、a3b3c, 2750110ab . aa3b2c3， a .c 4 bc2、计算下列各题：9a34a 6b c2JT8i2 |5垮(皿j 543、已知 x、：2 + 2、: + J18 x = 10，则 x 等于（）A.1 14 B2C2 D4一 一 一 11+込 2 +自 方+打：99 +、而(皿27 (3间(2)12ab 廿；3)- 上七二）先化简，后求值：1.直接代入法：已知x =1（J +空5）, y =1（7 - b c b. a

9、c b c. c b a d. b c a六、实数范围内因式分解:9X2 5/24X4 4X2+1X4+X2 6练习：1、若 x = ：a - ：b, y = X：a + X：b，则 Xy 的值为()A. 2、ab. 2.bc. a + bd. a b2、若 a 2 + J b - 3 0，则 a 2 b .3、计算：(1) 吊-却、 + 彳屈)十茲巨(2(3-VTs + _ 25 2占炉x 2x4、先将三化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值。X 2V X3 2X25、如图，实数a、b在数轴上的位置，abI-1化简:v a2 ；b2 、：(a b)26、 若界二，则也的取值范围是

10、A.位B. 口彥1C. 口吃1D.位芝17、如图，数轴上凡月两点表示的数分别为1和搭，点丘关于点貝的对称点为点口，则点u所表示的数是A.浙_B. _ 語 C. 2_击D. 3-2O-cA B8、已知:a +1 = 1 +40，求a 2 +丄的值。aa 29、已知：x, y 为实数，且 y Y Jx 1 + l 1 x + 3，化间：y 3 - Jy2 -8y +16。10、已知Jx 3 y + x 2 9(x + 3)2=0,求11、先阅读下列的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将a 土 2jb化简，若你能找到两个数m和n，使m 2 + n 2 = a且 mn = -Jb，则a 土 2Jb可

11、变为m 2 +n 2 土 2 mn，即变成（m 土 n）2开方，从而使得 a 土 2Jb化简。例如：5 2i6 = 3 + 2 + 2、6=（冋 2 + （ J2） 2 + 2 迈暑=（、込 + 、 2， J5 2J6 = Z 2 *3 +辽请仿照上例解下列问题： ； 二次根式运算的技巧二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算。下面举例说明二次根式的运算技巧：一、巧移因式法例1、计算卩迈+ .48)( 8 - 4爲)分析：将3迈、4訂根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或先把，48、18化简，然后利

12、用平方差公式计算解：原式=G-32 x 2 + i：48)(fl8 - ；42 x3)=(+ 48)(壬18-顷)=18-48=-30二、巧提公因数法例 2、计算(5 + x：6)(5* 2 - 23)分析：2=(迈)2.5迈-2再中有公因数迈，提出公因数迈后，可用平方差公式计算解：原式=(5 + *6)5 订 2 -(迈)2 *3=(5 +、；6)j2(56)=迈(5 + 6)(5 -話)二迈(25-6)=192三、公式法例 3、计算G2 + 空3 - x/6)(i2 -、：3 - .6)分析：巧分组，出奇制胜，整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式来计算很简便解：原式二(：

13、2 - /6)+、.：3(* 2 - ：6) -、.：3=(迈-話)2 -( 0 j J2 _ 0所以 =即+匹+ J2 _爲=-fs_；4 + M 十 j4_；語解法 2：原式V3 +1 +- 172所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，能否找到运算技巧，达到事半功倍效A2B. 4C. 2.;aD. 4ja()()()()二次根式的运算测试题姓名 班级 学号一选择题（本题 30 分，每小题 3 分）：1 .化简冷3 3(1 3)的结果是A. 3B. 3C；、3D. ;32.计算(V282V3+V7)X/7+V84 的结果是A. 11 申B. 15羽C. 21D. 243 .计算(3 2

14、 + 5活)X (32 5-品)的结果是A57B57C53D535. V2x（V2肃）+&的值是6. 化简：羽 X（羽一书）一24 |&一3|=7. 计算（50&）三匹的结果是.&计算：迟穿.9、有下列计算：（m2）3 = m6:；J4a2 4a+1=2a1；m6Fm2 = m3；七；27X0f&=15:2丽一2萌+ 3莎=14萌.其中正确的运算有.10、计算：（V2+1）Q21）=.二、计算题（本题 30 分，每小题 5 分）(1)(2)(5 + 叮6)“5羽一2疵)；11?3匕+1百一1(5)3 邪 XCJ34 5农_ 2 詁6)；丫気a+2）-姮二、解答题（本题 40分，每小题 10 分）：1、已知 a=$ + 2, b=、$ 2,求；a2+b2+7的值?2、已知X=(3+Q2, x2=f3p2,求x2+x2?3、已知 x_y=p3,求代数式(x+ 1)2 2x+y(y2x)的值.4、先化简，再求值：(a2b + ab)-a+-，其中 a = 3 + 1, b =寸3 1.