矩阵在某些领域(DOC 9页)

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1、论矩阵在某些领域的应用姓名： 班级： 学院： 专业： 我们首先讨论矩阵的概念的以及应用一、 矩阵的基本概念矩阵，是由 个数组成的一个 行 列的矩形表格，通常用大写字母 表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素 表示，其中下标 都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。比如， 或 表示一个 矩阵，下标 表示元素 位于该矩阵的第 行、第 列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。特别地，一个 矩阵 ，也称为一个 维列向量；而一个 矩阵 ，也称为一个 维行向量。当一个矩阵的行数 与烈数 相等时，该矩阵称为一个 阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的

2、连线称为付对角线。若一个 阶方阵的主对角线上的元素都是 ，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为 ，即： 。如一个 阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如， 是一个 阶下三角矩阵，而 则是一个 阶上三角矩阵。今后我们用 表示数域 上的 矩阵构成的集合，而用 或者 表示数域 上的 阶方阵构成的集合。二、矩阵的运算1、矩阵的加法：如果 是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说 ），则定义它们的和 仍为与它们同型的矩阵（即 ）， 的元素为 和 对应元素的和，即： 。给定矩阵 ，我们定义其负矩阵 为： 。这样我们可以定义同型矩阵 的减法为： 。由于矩阵的加法运算

3、归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：（ 1）交换律： ；（ 2）结合律： ；2 、数与矩阵的乘法：设 为一个数， ，则定义 与 的乘积 仍为 中的一个矩阵， 中的元素就是用数 乘 中对应的元素的道德，即 。由定义可知： 。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。3、矩阵的乘法：设 为 距阵， 为 距阵，则矩阵 可以左乘矩阵 （注意：距阵 德列数等与矩阵 的行数），所得的积为一个 距阵 ，即 ，其中 ，并且 。据真的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：（ 1）结合律： ；（ 2）左分配律： ；（ 3）右分配律： ；（ 4）数

4、与矩阵乘法的结合律： ；（ 5）单位元的存在性： 。若 为 阶方阵，则对任意正整数 ，我们定义： ，并规定： 由于矩阵乘法满足结合律，我们有： ，注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：（1）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便 有意义， 也未必有意义；倘使 都有意义，二者也未必相等（请读者自己举反例）。正是由于这个原因，一般来讲， ， 。（2）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出 或者 （请读者自己举反例）。（3）消去律部成立：如果 并且 ，未必有 。4 、矩阵的转置：定义：设 为 矩阵，我们定义 的转置为一个 矩阵，并用 表示 的转置，即： 。矩阵的转置运算满足下

5、列运算律：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。 。5、对称矩阵： 阶方阵 若满足条件： ，则称 为对称矩阵；若满足条件： ，则称 为反对称矩阵。若设 ，则 为对称矩阵，当且仅当 对任意的 成立； 为反对称矩阵，当且仅当 对任意的 成立。从而反对称局针对角线上的元素必为零。对称矩阵具有如下性质：（1）对于任意 矩阵 ， 为 阶对称矩阵；而 为 阶对称矩阵；（2）两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；（3）如果两个同阶（反）对称矩阵 可交换，即 ，则它们的乘积 必为对称矩阵，即 。关于这个逆矩阵是如何计算出的, 通常的有两种方法: 一是使用伴随矩阵, 通过计算行列式得到. 所用公式为

6、: M-1 = M* / D . (其中M*为M的伴随矩阵, D为M的行列式的值) 二是通过增广矩阵, 在M右侧附加一个n阶单位矩阵, 再通过初等变换将增广矩阵的左侧变换为一个n阶单位矩阵, 这时右侧便是所求的逆矩阵再次讨论矩阵的应用希尔密码是运用基本矩阵论原理的替换密码，由Lester S. Hill在1929年发明。 每个字母当作26进制数字：A=0, B=1, C=2. 一串字母当成n维向量，跟一个nn的矩阵相乘，再将得出的结果模26。 注意用作加密的矩阵（即密匙）在mathbb_n必须是可逆的，否则就不可能译码。只有矩阵的行列式和26互质，才是可逆的。希尔密码所需要掌握的前置知识: 1

7、) 线性代数基础知识. 2) 初等数论基础知识. 相关概念: 线性代数中的逆矩阵: 在线性代数中, 大家都知道,对于一个n阶矩阵 M , 如果存在一个n阶矩阵 N ,使得 M * N = E (其中:E为n阶单位矩阵), 则称矩阵 N 为 矩阵 M 的逆矩阵, 并记为 M-1.比如 2阶矩阵 M = 3,6 , 则很容易得知其逆矩阵 :2,7 M-1 = 7/9, -2/3 -2/9, 1/3 .希尔密码原理: 加密者在对明文加密前会选择一个加密秘匙, 这个秘匙最终会以一个m矩阵的形式参与到加密算法中的. 在加密者选定了加密秘匙后, m便得到了确定, 这时,加密者将明文按m个字母一组的形式分成

8、多组, 最后一组不足m个字母的按特定的方式补齐. 这样就形成了很多组由m个字母组成的单个向量, 然后 对每一个m阶向量, 我们用它去乘以确定好了的秘匙.Hill cipher（希尔密码）:Hill cipher是1929年提出的一种密码体制。设d是一正整数，定义 。Hill cipher的主要思想是利用线性变换方法，不同的是这种变换是在 上运算。例如：设d=2，每个明文单元使用 来表示，同样密文单元用 表示，具体的加密中， 将被表示为 的线性组合。如： 利用线性代数的知识，可得这个运算在 上进行，即mod26，密钥K一般取一个m*m的矩阵，记为 。对明文 ，以 ，则加密算法为：也可表示成 。例

9、：对明文attack，利用密钥 进行加密。第一步：将明文分为两两一组：at ta ck第二步：计算：同理， 因此，密文为VBDEKQ解密算法：因为 ，由于K必须可逆，即 ，所以 ，如何计算K的逆，有两种算法：一种是利用伴随矩阵，另一种是利用初等变换，无论采用何种算法都可以。例；设 ，求K的逆。解法一、因为 ，因此K的逆存在。显然在mod26下 的余为1，即337/26=1或337=x mod26，显然x=1。所以，即： 注意： ， ， 在mod26下是7。由此我们有在 在mod26下的逆分别是： ， ， ， ， 。例：密文为：YIFZMA 设密钥为 ，找出它的明文。解： 所以因此明文为cure

10、ka。例子： 原文：Mr Hill made this code. abcdefghijklmnopqrstuvwxyz 01234567890123456789012345 _m_r_h_i_l_l_m_a_d_e_t_h_i_s_c_o_d_e _12_17_7_8_11_11_12_0_3_4_19_7_8_18_2_14_3_4 m_12_144_204_88_96_132_132_144_0_36_48_228_84_96_216_24_168_36_48 r_17_204_289_119_136_187_187_204_0_51_68_323_119_136_306_34_238_

11、51_68 h_7_88_119_49_56_77_77_84_0_21_28_133_49_49_126_14_98_21_28 i_8_96_136_56_64_88_88_96_0_24_32_154_56_56_144_16_112_24_32 l_11_132_187_77_88_121_121_132_0_33_44_209_77_88_198_22_154_33_44 l_11_132_187_77_88_121_121_132_0_33_44_209_77_88_198_22_154_33_44 m_12_144_204_84_96_132_132_144_0_36_48_22

12、8_84_96_216_24_168_36_48 a_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0 d_3_36_51_21_24_33_33_36_0_9_12_57_21_24_54_6_52_9_12 e_4_48_68_28_32_44_44_48_0_12_16_76_28_32_72_8_56_12_16 t_19_228_323_133_152_209_209_228_0_57_76_361_133_152_342_38_266_57_76 h_7_84_119_49_56_77_77_98_0_21_28_133_49_56_126_14_98_2

13、1_28 i_8_96_136_56_64_88_88_96_0_24_32_152_56_56_144_16_112_24_32 s_18_216_306_126_144_198_198_216_0_54_72_342_126_144_324_36_252_54_72 c_2_24_34_14_16_22_22_24_0_6_8_38_14_16_36_4_28_6_8 o_14_168_238_98_112_154_154_168_0_42_56_266_98_112_252_28_169_42_56 d_3_36_51_21_24_33_33_36_0_9_12_57_21_24_54_

14、6_52_9_12 e_4_48_68_28_32_44_44_48_0_12_16_76_28_32_72_8_56_12_16 用其中的一行作为密文既可例子： 密文：l 11 242 44 121 22 154 132 44 209 154 154 220 187 22 121 220 11 解答：根据第一项，全部除以11，因为l是第12个字母，即l=12-k，得k=1 按a=0 z=25，列出字母 WELCOME TO OUR CLUB 希尔密码加密 例如：密钥（密码学中好象没有密匙一词）矩阵 1 3 0 2 明文：HI THERE 去空格，2个字母一组，根据字母表顺序换成矩阵数值如下，

15、末尾的E为填充字元：HI TH ER EE 8 20 5 5 9 8 18 5 HI 经过矩阵运算转换为 IS，具体算法参考下面的说明：|1 3| 8 e1*8+3*9=35 MOD26=9 =I |0 2| 9 e0*8+2*9=18 MOD26=18=R 用同样的方法把“HI THERE”转换为密文“IR RPGJTJ”，注意明文中的两个E分别变为密文中的G和T。 解密 解密时，必须先算出密钥的逆矩阵，然后再根据加密的过程做逆运算。 逆矩阵算法公式：|A B| = 1/(AD-BC) * | D -B| |C D| |-C A| 例如密钥矩阵= |1 7| |0 3| AD-BC=1*3-

16、0*7=3 3*X=1 mod26 所以 X=9 因此 |1 7| 的逆矩阵为：9 * |3 -7| |0 3| |0 1| 假设密文为“FOAOESWO” FO AO ES WO 6 1 5 23 15 15 19 15 9* |3 -7| | 6| = 9*（3*6-7*15）=-783 mod26 = 23=W |0 1| |15| = 9*(0*6+1*15）= 135 mod26 = 5 =E 所以密文“FOAOESWO”的明文为“WEREDONE”.我们了解到希尔密码对于矩阵的应用很深远，矩阵不仅在希尔密码领域有涉及，在其他领域也利用广泛，所以我们要了解矩阵，多多学习矩阵。参考文献：线性代数（第二版） 希尔密码