《圆锥曲线》单元测试题

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1、圆锥曲线单元测试题圆锥曲线单元测试题班级班级姓名姓名学号学号分数分数第卷(选择题共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、若双曲线x2a2y2b21 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5B5C.2D22、圆锥曲线y29x2a81 的离心率e12，则a的值为()A4B54C4 或54D以上均不正确3、以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为()A.31B2 3C.22D.324、已知双曲线x

2、2a21y2b21 与椭圆x2a22y2b21 的离心率互为倒数，其中a10，a2b0，那么以a1、a2、b为边长的三角形是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形5、设椭圆x2m2y2n21(m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为()A.x212y2161B.x216y2121C.x248y2641D.x264y24816、已知椭圆E：x2my241，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：ykx1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是()Akxyk0Bkxy10Ckxyk0Dkxy207、过双曲线M：x2y2b21 的左顶点A作斜率为

3、1 的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|BC|，则双曲线M的离心率是()A.52B.103C.5D.108、设直线l：2xy20 关于原点对称的直线为l，若l与椭圆x2y241 的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使PAB的面积为12的点P的个数为()A1B2C3D49、设F1、F2分别是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，与直线yb相切的F2交椭圆于点E，且E是直线EF1与F2的切点，则椭圆的离心率为()A.53B.63C.32D.3110、如图所示，从双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点F引圆x2y2a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线

4、右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|与ba的大小关系为()A|MO|MT|baB|MO|MT|baC|MO|MT|b0)的离心率为22，过原点O斜率为 1 的直线与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为 2.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，试探究k1k2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由19、过点M(1,1)作直线与抛物线x22y交于A、B两点，该抛物线在A、B两点处的两条切线交于点P.(1)求点P的轨迹方程；(2)求ABP的面积的

5、最小值20、已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x23y24 上，对角线BD所在直线的斜率为 1.(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；(2)当ABC60时，求菱形ABCD面积的最大值21、如图，在由圆O：x2y21 和椭圆C：x2a2y21(a1)构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为63，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A，B.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得OAOB12OM2，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请说明理由22、已知椭圆的两个焦点F1(3，0)，F2(3，0)，过F1且与坐标轴不平行的直线l1与椭圆相交于M，N两点，如果MNF2的

6、周长等于 8.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使PEQE恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由圆锥曲线单元测试题答案圆锥曲线单元测试题答案一、选择题：题号123456789101112答案ACABBDDBABDD二、填空题：13、x22y2114、1215、3016、三、解答题：17、解析(1)设C、D点坐标分别为C(x0，y0)，D(x，y)，则AC(x02，y0)，AB(4,0)，则ABAC(x06，y0)，故AD12(ABAC)x023，y02.又AD(x2，y)，故x023x2，y02

7、y.解得x02x2，y02y.代入|AC|x022y202 得x2y21，即为所求点D的轨迹E的方程(2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为yk(x2)又设椭圆方程为x2a2y2a241(a24)因为直线l与圆x2y21 相切，故|2k|k211，解得k213.将代入整理得(a2k2a24)x24a2k2x4a2k2a44a20，而k213，即(a23)x2a2x34a44a20，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2a2a23.由题意有a2a23245，求得a28.经检验，此时0.故所求的椭圆方程为x28y241.18、解析(1)设椭圆的焦距为 2c(c0)，焦点F(c,0)

8、，直线l：xy0，F到l的距离为|c|2 2，解得c2，又eca22，a2 2，b2.椭圆C的方程为x28y241.(2)由x28y241，yx，解得xy2 63，或xy2 63，不妨设M2 63，2 63，N2 63，2 63，P(x，y)，kPMkPNy2 63x2 63y2 63x2 63y283x283，由x28y241，即x282y2，代入化简得k1k2kPMkPN12为定值19、解析(1)设直线AB方程为yk(x1)1，代入x22y中得，x22kx2k20其中(2k)24(2k2)4(k1)210记Ax1，x212，Bx2，x222，则x1x22k，x1x22k2.对yx22求导得

9、，yx则切线PA的方程为yx1(xx1)x212，即yx1xx212同理，切线PB的方程为yx2xx222由、两式得点P的坐标为x1x22，x1x22，于是得P(k，k1)，设P(x，y)，则xkyk1，消去参数k，得点P的轨迹方程为xy10.(2)由(1)知|AB|1k2|x1x2|1k2x1x224x1x22 1k2k22k2.点P到直线AB的距离d|kk11k1|1k2k22k21k2ABC的面积S12|AB|d(k22k2)32(k1)2132.当k1 时，S有最小值 1.20、解析(1)由题意得直线BD的方程为yx1.因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.于是可设直线AC的方程为y

10、xn.由x23y24，yxn得 4x26nx3n240.因为A，C在椭圆上，所以12n2640，解得4 33n4 33.设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x23n2，x1x23n244，y1x1n，y2x2n.所以y1y2n2，所以AC的中点坐标为3n4，n4.由四边形ABCD为菱形可知，点3n4，n4 在直线yx1 上，所以n43n41，解得n2.所以直线AC的方程为yx2，即xy20.(2)因为四边形ABCD为菱形，且ABC60，所以|AB|BC|CA|.所以菱形ABCD的面积S32|AC|2.由(1)可得|AC|2(x1x2)2(y1y2)23n2162，所以S

11、34(3n216)4 33n4 33.所以当n0 时，菱形ABCD的面积取得最大值 4 3.21、解析(1)eca63，c2a21，23a21a2，解得：a23，所以所求椭圆C的方程为x23y21.(2)假设存在直线l，使得OAOB12OM2易得当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为ykxb，由直线l与圆O相切可得，b2k21把直线ykxb代入椭圆C：x23y21 中，整理得：(13k2)x26kbx3b230则x1x26kb13k2，x1x23b2313k2，OAOBx1x2y1y2x1x2(kx1b)(kx2b)(1k2)x1x2kb(x1x2)b2(1k2)3b2313k26

12、k2b213k2b24b23k2313k212由两式得k21，b22，故存在直线l，其方程为yx 2.22、解析(1)由题意知c 3，4a8，a2，b1，椭圆的方程为x24y21.(2)当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为yk(x1)，由x24y21ykx1消去y得(4k21)x28k2x4k240，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则由韦达定理得x1x28k24k21，x1x24k244k21，则PE(mx1，y1)，QE(mx2，y2)，PEQE(mx1)(mx2)y1y2m2m(x1x2)x1x2y1y2m2m(x1x2)x1x2k2(x11)(x21)m28k2m4k214k244k21k24k244k218k24k2114m28m1k2m244k21要使上式为定值须4m28m1m2441，解得m178，PEQE为定值3364，当直线l的斜率不存在时P1，32，Q1，32，由E178，0可得PE98，32，QE98，32，PEQE8164343364，综上所述当E178，0时，PEQE为定值3364.