辛普生法则在公路匝道中

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1、辛普生法则在公路匝道中及 边桩坐标计算中的应用 目前 在公路匝道中、边桩计算中采用的计算公式较多， 但大部分采用泰勒级数展开公式进行计算。当在不同 曲 线元 上计算就需要用不同的计算公式，这给使用 普通计 算器 计算带来很大不便。当遇有卵形曲线或缓和曲线的 圆 曲线半径较小时，往往因公式 选用 不当带来计算误差 ， 虽然 泰勒 级数展开公式可以进行多项次展开，但公式过 于繁杂，同时也会增加计算难度。而采用辛普生法则 进行计算就非常简便，该公式可以适用于任意的直线 段、圆曲线段、缓和曲线段上中、边桩，并且其计算 是可逆的。下面就该法则在公路工程测量计算中的具 体应用进行解析。 一、曲线元上任意点

2、的切线方位角推导 曲线平面线形组合大致分基本型、 S型、卵形、凸形、 复合型和 C型等，无论哪种组合型式，其平面线形计算的 复杂性均主要体现在缓和曲线的计算上。 1、卵形曲线中的缓和曲线 E J F A A 1 B M R 1 R B P D C Q Q Q 1 如图（ 1），在半径分别为 R1、 R2（ R1 R2）的两段圆曲线 之间插入缓和曲线段 AQB， 设曲线 MAQB为一段缓和曲线。 M、 A、 B的半径分别为 、 R1、 R2，切线分别为 ME、 AJ、 BF； CAQ1是半径为 R1的圆弧段并在 A点与缓和曲线公切， Q2BD是半径为 R2的圆弧段并在 B点与缓和曲线公切。令 M

3、A=L1， MB=L2， LS L1 L2。 缓和曲线参数为： A2=R1R2 LS /（ R1-R2） 公式（ 1） 则有： L1= A2/ R1= R2LS /（ R1 R2）； L2= A2/ R2= R1LS /（ R1 R2）； A=L12/2A2 R2LS/（ 2R1（ R1 R2）； B L22/2A2 R1LS/（ 2R2（ R1 R2）； 可以推出 ： =B -A (1/R1+1/R2)LS/2 公式（ 2） （ ： 缓和曲线 AB段转向角。 对于曲线元上任意点 P， P点处曲率半径为 1/Rp，该点处转 向角为 P ， 曲线元起点 A到 P点的弧长为 L，根据式（ 2）有：

4、 P（ 1/R1+1/RP) L /2 (3) 由式（ 1）得：（ R1L A2） RP R1A2，可以求得 1/RP 1/R1 L/A2；将 1/RP代入式（ 3）得： P L/R1 L2（ 1/R2 1/R1） /（ 2LS） 公式 (4) 故缓和曲线上任意一点 P的切线方位角： TP TA P TA （ L/R1 L2（ 1/R2 1/R1） /（ 2LS） 公式 (5) 2、其它曲线元 对于基本型缓和曲线， R1 （或 R2 ）代入式（ 4）得： P L2/（ 2R2LS）；与我们常用公式一样。对于圆曲线段， R1 R2，代入式（ 4）得： P L/R1；与我们常用公式一样。对于直 线

5、段， R1 R2 ，代入式（ 4）得： P 0。 因此可以得出这样的结论：任何曲线元上任意一点的切线方位 角均可以用式（ 5）进行计算。 二、中、边桩坐标计算 1、使用辛普生积分法则进行计算 方位角 TP TA P TA K(L/R1 L2（ 1/R2 1/R1） /（ 2LS） )； (方位角 TP计算结果为弧度； K为判断符，左偏取 1，右偏取 1)。 中桩坐标为： XP XA 0L cos（ T） dx 公式（ 6） YP YA 0L sin（ T） dx 公式（ 7） casio fx-4800p等计算器具有积分功能，其计算采用了辛普生法 则进行积分计算，式（ 6）和式（ 7）转换成计

6、算器计算模型为： XP XA （ cos(TA K(L/R1 L2(1/R2-1/R1)/(2LS)， 0， L,n)； YP YA （ sin(TA K(L/R1 L2(1/R2-1/R1)/(2LS)， 0， L,n)。 式中 n为 1 9的整数，积分分割数 N=2n，其他符号意义同上述。 值得注意的是，按此公式在计算器中编计算程序时，各种计算器将 使用某些变量储存数据，例如 casio fx-4800p使用 (K,L,M,N)分别储存积 分区间、分割数、积分值，这几个变量在编程中不能使用；另外计 算时要将计算器角度变换到弧度状态。 本公式可以适用于直线、圆曲线、缓和曲线等一切曲线元计算，

7、是 一项综合性公式。 2、 casio fx-4800p程序 程序名： L-R （中、边桩坐标及切线方位角计算） Prog “Y-S” Q=Z10(T 1)+1 E=Z10(T 1)+2 F=Z10(T 1)+3 A=Z10(T 1)+4 C=Z10(T 1)+5 J=Z10(T 1)+6 O=Z10(T 1)+7 S=Z10(T 1)+8 P=AbsH Q P P=P = Goto 2: Lbl 2 PS = P=P = Goto 1: Lbl 1 A=A/180 W=A+C(JP+P2(O-J)/2/S) U=E+(cos(A+C(JX+X2(O-J)/2/S),0,P,4)+B cos(

8、W+Z/180) V=F+(sin(A+C(JX+X2(O-J)/2/S),0,P,4)+B sin(W+Z/180) 程序中： T为第几段曲线元编号， Q、 E、 F、 A、 C、 J、 O、 S、 P代表的变量与程序“ Y- S”中含义相同， H为曲线元上任意点的里程， P为曲线元上任意点至曲线元起点的里 程差值， C为计算符曲线元左偏为 1右偏为 1， B为边桩点至中线距离均为正， Z为 待求点和中桩的连线与路中线切线方位角夹角，左 右，输入度分秒； W为曲线元 上任意点的切线方位角成果为弧度； U、 V分别为边桩纵横坐标值，当输入 B 0时为 中桩坐标值。 程序名： Y-S （曲线要素

9、输入） 曲线元 T Z10(T 1)+1起点桩号里程 Z10(T 1)+2起点 X坐标 Z10(T 1)+3起点 Y坐标 Z10(T 1)+4起点切线方位角，输入度分秒 Z10(T 1)+5右偏 1；左偏 1 Z10(T 1)+6 1/起点半径 Z10(T 1)+7 1/终点半径 Z10(T 1)+8终点里程起点里程 以起点桩号里程为例：第一段 T 1， Z1 * *.*；第二段 T 2， Z11 * *.*。 3、 casio fx-4500p程序 L1： Q”CH0”： E”X0： F”Y0”： A”T0”： C”K0”： M”1/R1”： O”1/R2”： S”LS” L2： P=Abs

10、N Q L3： P P=P L4： = Goto 2: L5： Lbl 2 L6： PS = P=P L7： = Goto 1: L8： Lbl 1 L9： T=A/180+C(MP+P2(O-M)/2/S) L10： W=T180/ L11： U=E+(cos(A/180+C(MX+X2(O-M)/2/S),0,P,4)+Bcos(T+Z/180) L12： V=F+(sin(A/180+C(MX+X2(O-M)/2/S),0,P,4)+Bsin(T+Z/180) Z10(T 1)+7 1/终点半径 Z10(T 1)+8终点里程起点里程 以起点桩号里程为例：第一段 T 1， Z1 * *.*

11、；第二段 T 2， Z11 * *.*。 3、 casio fx-4500p程序 L1： Q”CH0”： E”X0： F”Y0”： A”T0”： C”K0”： M”1/R1”： O”1/R2”： S”LS” L2： P=AbsN Q L3： P P=P L4： = Goto 2: L5： Lbl 2 L6： PS = P=P L7： = Goto 1: L8： Lbl 1 L9： T=A/180+C(MP+P2(O-M)/2/S) L10： W=T180/ L11： U=E+(cos(A/180+C(MX+X2(O-M)/2/S),0,P,4)+Bcos(T+Z/180) L12： V=F+(

12、sin(A/180+C(MX+X2(O-M)/2/S),0,P,4)+Bsin(T+Z/180) Q：起点桩号； E：起点 X坐标； F：起点 Y坐标； A：起点切线方位角（度分 秒）； C：转角系数 左 1 右 1； M： 1/起点半径； O： 1/终点半径； S：单 元曲线长度； H：曲线元上待求点里程； B：距中桩距离均为正； Z：为待求 点和中桩的连线与路中线切线方位角夹角，左 右，输入度分秒 成果： W待求点切线方位角；（ U,V）待求点中边桩坐标 三、算例 该计算程序以无锡通江大道项目立交工程线形计算为例。 1、立交桥平面概况 无锡通江大道立交范围内江海路、通江大道平面线形各有一折

13、点，平曲 线最小半径分别为 400m、 1500m，立交总体布置为三层部分互通式立交，江 海路高架为第三层，通江大道跨线桥为第二层，地面道路为第一层，四条转 向匝道及两条上下江海路匝道分别连接一、二层及二、三层。匝道平曲线最 小半径 60m，缓和曲线最小长度 35m，分别为 A、 B、 EN、 NE、 WN、 NW六条 匝道。立交范围内江海路全长 1117m ,通江大道全长 1075。 2、中线计算 (1)设计单元要素 现取 WN匝道作为算例，其设计单元要素见图（ 2）及表一。 K0+008.97ZH1 K0+000 QD K0+080.583HY1 K0+291.781 YH1 K0+184

14、.781 GQ1 K0+254.781 HY2 K0+303.404 YH2 K0+348.404HY3 K0+452.594 YH3 K0+487.594 GQ2 K0+522.594 HY4 K0+597.66 GQ3 K0+632.66 ZD K0+562.66 YH4 A=103.643 R=150 A=72.457 A=68.739 R=135 图(2)： WN匝道 单元要素 A=94.002 R=80 A=52.915 A=121.963 R=425 A=121.963 A=229.72 表一： WN匝道部分曲线主点设计数据 （ 2） 4800计算程序运行 根据 1.1节公式（ 1

15、） A2=R1R2 LS /（ R1-R2） 对设计单元要素进行复算，均正确无误，其 具体计算略。现将 WN匝道曲线要素代入本程序分别进行各曲线元的曲中点的中、边 桩计算。将曲线单元要素输入 4800程序“ Y S”中，具体见表二。 主点桩号 坐标值 切线方位角 半径 X坐标 Y坐标 （ m） HY2 WNK0+254.781 48148.851 79096.235 141-47-00.8 135 QZ WNK0+279.093 48131.204 79112.909 131-27-55.4 135 YH2 WNK0+303.404 48116.828 79132.474 121-08-50.

16、1 135 QZ WNK0+325.904 48107.042 79152.695 109-57-24.0 HY3 WNK0+348.404 48101.996 79174.560 95-29-00.6 80 QZ WNK0+400.499 48113.658 79224.393 .4 80 YH3 WNK0+452.594 48153.140 79256.960 20-51-46.2 80 表二： WN匝道中部分曲线元曲线要 素 运行 4800程序“ L R”时需要注意两点：第一点，程序运行前要进行扩容，方法为“ shift” “ defm”“需要扩容数”；第二点，角度调换到“ rad”状态

17、。 运行过程如下：运行过程如下 中桩 左 15m 右 15m T ? 1 T ? 1 T ? 1 H ? 279.093 H ? 279.093 H ? 279.093 B ? 0 B ? 15 B ? 15 Z ? 0 Z ? -90 Z ? 90 U=48131.203 U=48142.444 U=48119.963 V=79112.909 V=79122.842 V=79102.977 第一段曲线元 第二段曲线元 第三段曲线元 Z1 254.781 Z11 303.404 Z21 348.404 Z2 48148.851 Z12 48116.828 Z22 48101.996 Z3 79

18、096.235 Z13 79132.474 Z23 79174.560 Z4 1414700.8 Z14 1210850.1 Z24 952900.6 Z5 -1 Z15 -1 Z25 -1 Z6 1/135 Z16 1/135 Z26 1/80 Z7 1/135 Z17 1/80 Z27 1/80 Z8 48.623 Z18 45 Z28 104.19 其它点计算成果见表三。 表三：计算结果 3、 4500计算程序运行 根据公式（ 1） A2=R1R2 LS /（ R1-R2） 对设计单元要素进行复算，均正确无误， 其具体计算略。现将 WN匝道曲线要素代入本程序分别进行各曲线元的曲中 点的中

19、、边桩计算。 运行 4500程序时同样需要将角度调换到“ rad”状态（按 ”model 5”）。 运行过程如下 : 里程桩号 边桩至中线距离 X坐标值 Y坐标值 0 325.904 左 15 48121.141 79157.814 中桩 48107.042 79152.695 右 15 48092.943 79147.575 0 400.499 左 15 48126.403 79216.483 中 桩 48113.658 79224.393 右 15 48100.914 79232.303 中桩： CH0 ? 254.781 X0?48148.851 Y0?79096.235 T0? 141

20、4700.8 K0?-1 1/R1?1/135 1/R2?1/135 LS?48.623 N?279.093 W=1312754.8 B ? 0 Z ? 0 U=48131.203 V=79112.909 左边桩： CH0 ? 254.781 X0?48148.851 Y0?79096.235 T0? 1414700.8 K0?-1 1/R1?1/135 1/R2?1/135 LS?48.623 N?279.093 W=1312754.8 B ?15 Z ? 90 U=48142.444 V=79122.842 中桩： CH0 ? 254.781 X0?48148.851 Y0?79096.2

21、35 T0? 1414700.8 K0?-1 1/R1?1/135 1/R2?1/135 LS?48.623 N?279.093 W=1312754.8 B ? 15 Z ? 90 U=48119.963 V=79102.977 其他计算结果同上表三。 4500与 4800的最大区别在于 4800使用 (K,L,M,N)分别储存积分区间、 分割数、积分值， 4500使用（ G,H,I,J,K,L）储存积分数据；另外 4500 积分运行速度较慢。 当从直线过渡到缓和曲线（或缓和曲线向直线过渡），设计的缓和曲线有 些情况下会舍掉一段曲线，此时一定要根据 1.1节公式（ 1） A2=R1R2 LS

22、/（ R1- R2）计算出设计的直缓点（缓直点）处的半径，将计算出的半径代入本程序 进行计算即可。 这里直线段的计算就不再举例，但计算方法同样适用于直线段。可以说，本 计算程序是适用于任何曲线线形中、边桩坐标计算的。 四 、复化辛普生公式 若使用没有积分功能的计算器或电脑进行计算时，我们可以利用复化辛普生公式进行 计算。 1、复化辛普生公式 曲线元任意点 P的中桩坐标计算公式如下： 切线方位角同公式（ 5）： TP TA P TA L/R1 L2（ 1/R2 1/R1） /（ 2LS）； 公式（ 8） 式中 为曲线元上 2n等分处的切线方位角， 为曲线元上 n等分处的切 线方位角，其它变量符号

23、意义同式（ 5）、（ 6）、（ 7）， 、 计算 方法同 P点切线方位角计算。 2、算例 仍以通江大道 WN匝道为例进行中桩坐标计算，以 YH2点为起点，推 算 QZ、 HY3的中桩坐标。曲线元上各等分点的切线方位角计算采用公 式（ 5）。 )s ins in2s in4( s in 6 )c osc os2c os4( c os 6 1 1 2 1 0 1 1 2 1 0 12 12 P n k n n k AAP P n k n n k AAP TTTT n LYY TTTT n LXX n n 表四：曲线元上等分点切线方位角计算表 将各等分点的切线方位角代入公式（ 8），求得 YH3点的

24、中桩坐标如下 : XHY3=48116.828+(342.779-303.404)/4/6(cos121o0850.1+4(cos118 o 3926.44+cos113 o 0343.4+cos106 o3846.04+cos99 o 2434.4)+2(cos115 o 5744.2+cos109 o 574+cos103 o 0749.55)+cos95 o 2900.7) =48101.996 点号 桩号 n 等分点处切线方位角 2 n 等分点处切线方位角 YH2 0+303.404 121-08-50.1 0+309.029 118-39-26.44 0+314.654 115-57

25、-44.21 0+320.279 113-03-43.40 0+325.904 109-57-24.01 0+331.529 106-38-46.04 0+337.154 103-07-49.49 0+342.779 99-24-34.36 HY3 0+348.404 95-29-00.66 YH2 0+303.404 121-08-50.1 0+306.217 119-55-40.59 0+309.029 118-39-26.44 0+311.842 117-20-07.65 0+314.654 115-57-44.21 0+317.467 114-32-16.13 0+320.279 11

26、3-03-43.40 0+323.092 111-32-06.02 QZ 0+325.904 109-57-24.01 YHY3=79132.474+(342.779-303.404)/4/6(sin121o0850.1“+4 sin 118 o 3926.44”+ sin 113 o 0343.4“+ sin 106 o3846.04+ sin 99 o 2434.4”)+2( sin 115 o 5744.2+ sin 109 o 574“+ sin 103 o 0749.55)+ sin 95 o 2900.7) =79174.560 同理可求 QZ点中桩坐标： XQZ=48107.04

27、2； YQZ=79152.695 计算成果与表一比较可以看出，本公式计算成果与设计数据相符。 3、复化公式的具体应用 本公式表面上看计算过程首先要将待求点与曲线元起点（终点）之间的曲线 进行 n和 2n等分后进行各等分点的切线方位角计算，然后才能计算中（边） 桩坐标。但是当使用可以运用“ basic语言”进行编程的计算器（如 Sharp- E500）或使用电脑“ Excel”中宏状态下的自定义函数编程或使用“ Visul basic”等进行编程时，就明显看出公式（ 8）的优点，具体表现为： 计算是可逆的，无论以曲线元起点还是终点为起算数据均可；展开 项次少，只需几个循环语句；一套公式可以进行直线、圆曲线、缓 和曲线的计算，无需遇不同曲线元使用不同的计算公式。这里复化 公式的编程就不再叙述。 五、结束语 使用辛普生积分法则或复化辛普生公式可以解决不同曲线元或 直线上的坐标计算；而且该公式计算是可逆的，例如缓和曲线计算 时无论以曲线的起点还是以曲线终点为起算点均可以进行计算，无 需判断第一缓和曲线或第二缓和曲线，只需知道起点与终点的里程 和曲率半径，起点或终点的切线方位角和中桩坐标即可进行计算， 若采用泰勒级数展开公式进行计算时需根据基本型缓和曲线参数公式 A2=R1R2 LS /（ R1-R2） 来判断缓和曲线的理论长度，推算直缓点或缓直点来进行计算。