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1、第四讲 比例线段一、 基础知识1 比例线段的概念在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段2 比例的基本性质的证明和应用(1) 若，则(2) 若，则（合比性质）(3) 若，则（分比性质）(4) 若，则（合分比性质）(5) 若，且，则（等比性质）3 平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例已知：如图l1/l2/l3求证：（利用面积）证明： 而从而：还可以得到以下比例式：，(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例(3)定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）
2、，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(4)定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例二、 例题部分例1（）如图，已知AD/EG/BC，AD=6，BC=9，求GF的长例2（）如图，ABC中，DEBC，BE与CD交于点D，AO与DE、BC分别交于点N、M，求证：（1）；（2）BMMC例3（）图中AD是ABC的中线，E是AD上的点，且AE2DE，连结BE并延长交AC于F（1）求证：AFFC；（2）求的值；例4（，三角形内角平分线的性质）AD是ABC的内角平分线，求证：；反之亦然例5（，三角形外角平分线的性质）如图，AE是AB
3、C的一条外角平分线，交BC延长线于E，求证：例6（）如图，ABC中，D为BC的中点，过D的直线交AC于E，交AB延长线于F，求证：例7（，99年湖北黄冈市竞赛）图中，已知M、N为ABC上的两点，且满足BMMNNC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E、F；求证：EF3DE例8（，97年湖北荆州竞赛题）如图，D为ABC的BC边的中点，E为AC边上的点，且AC3CE，BE和AD交于F点，求的值；例9（）在ABC中，底边BC上的两点EF把BC三等分，BM是AC上的中线，AE、AF分别交BM于G、H两点，求BG:GH:HM；例10（）在ABC的AB边上任取一点C1，连结CC1，
4、过顶点A作平行于CC1的直线交BC边的延长线于A1点，再过B作平行于CC1的直线交AC的延长线于B1点，求证：例11（）如图，梯形ABCD中，DCAB，AC、BD交于P，过P作MNAB交AD于M，交CB于N，求证：例12（）如图，ABC中，AD是角平分线，且BAC120，求证：例13（）如图，由直角三角形ABC的直角边AC为边长向外作正方形ACDE，BE交AC于F，过F作FGBC交AB于G，求证：FGFC例14（）已知在ABC中，BAC90，ABDE和ACFG是正方形，CD交AB于K，BF交AC于L，求证：AKAL例15（，98年山东省竞赛）在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，直线l平行
5、于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P，求证：PMPNPRPS；三、 练习题1（）D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，已知，那么下列各式正确的是（ ）ABCD2（）如图，已知ADEFBC，EF过AC、BD的交点O，则下列结论中错误的是（ ）A BC D3（）在平行四边形ABCD中，M是BC上任意一点，延长DM交AB的延长线于N，则为（ ）A BC D4（）已知ABC中，AD、BE相交于F，则的值是（ ）A BC D5（）如图，在ABC中，CD是ACB的平分线，DEBC，若BCa，ACb，则DE_；6（）四边形ABCD为平行四边形，过AD边上的M点作两条直线分别平行于对角线BD及AC，两条直线又分别交AB与CD于P及Q点，试证明BPDQ7（，96上海）如图，AD为ABC的内角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F，若，求的值；8（）AD是等腰ABC底边BC上的高，BM及BN是B的三等分角线，分别交AD于M、N点，连结CN并延长交AB于E，求证：
奥数-相似-第4讲比例线段学
