保险精算课件第3章寿险精算现值

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1、第 3章 寿险精算现值 精算现值（ Actuarial present value） 是保险赔付在投保时的期望现值，也就是趸缴 纯保费（ Net single premium） 。 保险费又称为总保费或毛保费，可以分为 净保费（纯保费）和附加保费。 净保费是补偿 保单所承诺的赔付和给付责任必需的缴费部分， 附加保费是补偿保险公司因出售和管理保单发 生的费用需要的缴费部分。 本节考虑如下险种的精算现值： 终身寿险 Whole life insurance 定期寿险 Term life insurance 生存保险 Pure endowment insurance 两全保险 Endowment i

2、nsurance 延期保险 Deferred insurance 变额保险 Varying insurance 4.1 死亡年末赔付的人寿保险 死亡年末陪付是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司 将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。 死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量， 它距保单生效日的时期长度就等于被保险人 签约时的整值剩余寿命加 1。 记 为 岁投保人的整值剩余寿命， 下面计算 ()K x k x 1. 终身寿险 对 的 1单位元死亡年末赔付终身寿 险，其精算现值以 表示。 ()x xA xA 死亡年末 1单位元赔付在投保时的现值随 机变量为 ，它的期望就是其

3、精算现值 . 因为 所以 11 11 00 1() xxkk x x x kk kk x A E Z v q d v l 1 KvZ xkkxxk qqpkKP )( 赔付现值随机变量的方差： 2 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 00 () kk xxkk kk E Z v q e q 相当于以计算趸缴净保费利息力 的两倍计算的趸缴净保费。 22 )()()( ZEZEZV a r 2()EZ 记 有 赔付现值随机变量的方差 反映赔付现值 随机变量的变动幅度，用于衡量保险公司承 担的赔付风险程度。 )( 22 ZEA x 22 )()( xx AAZVa r 2.定期寿险 对 (x) 的 1单

4、位元死亡年末赔付 n年定期寿险， 其现值随机变量为 精算现值以 表示，有 ,1,0 1,2,1,0,1 nnk nkv Z k 1 :xnA 1 11 : 0 () n k xkxn k A E Z v q 1 2 1 2 2 ( 1 ) : 0 1 2 ( 1 ) 0 () n k xkxn k n k xk k A E Z v q vq 2 1 1 2 :( ) ( )x n x nV a r Z A A Z的方差为 其中 例 1: 某 40岁的人投保了 5年 10000元定期寿险， 保险金在死亡年末给付，根据中国人寿保险 业经验生命表（ 2000-2003）（男性表）计 算趸缴纯保费（利

5、率 5%） 。 44 11 40 40 14 0 : 3 5 % 00 40 1 1 . 0 5 k k k k kk d A v q l 例 2: 某人在 50岁时购买了保险金额为 10万 元 的终身 寿险，假设生存函数为 保险金在死亡年末给付， i=10%，求这一保 单的精算现值。 ( ) 1 , 105 xsx 注 : 在符号 中，令 n=1，即得 ，在 人寿保险中又称为自然保费，它是根据每一 保险年度、每一被保险人当年年龄的预定死 亡率计算出来的该年度的死亡 纯保费，用符 号 cx 表示，即 x x xc v q e q 1 :xnA 1 :1xA 3.两全保险 ： 定期寿险与生存保险

6、的合险。 对 (x) 的 1单位元 n年两全保险，死亡年末 1 单位元赔付 现值随机变量为 1 , 0 , 1 , 2 , , 1 , , 1 , k n v k n Z v k n n (x) 的 1单位元 n年两全保险的精算现值为 1 1 : 0 11 : n kn x n xkxn k x n x n A v q v p AA 其中 表示 1单位元给付 纯生存险的 精算现值。 1 :xnA 设 Z为两全保险现值随机变量， Z1为 n年 定期现值随机变量， Z2为 n年纯生存保险现值 随机变量，则 Z1和 Z2不会同时发生，我们有 12 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2

7、( ) ( ) V a r Z V a r Z Z V a r Z V a r Z E Z E Z 两全保险现值随机变量的方差 22 2 2 2 22 2 ( ) ( ) ( ) nn n x n x n n x n x V a r Z E Z E Z v p v p v p q Z2 的方差为 例 3: 设（ 35） 投保 5年两全保险，保险 金额为 1万元， 保险金死亡年末给付， 按附表 1示例生命表计算其趸缴纯保费。 11 3 5 : 5 3 5 : 5 3 5 : 5 4 15 3 5 5 3 5 0 4 15 3 5 4 0 035 1 () k k k k k k A A A v

8、q v p v d v l l 4.延期 m年终身寿险 对 (x) 的 1单位元死亡年末 赔付 m年延期 终身寿险，现值随机变量为 1 0 , 0 , 1 , 2 , , 1 , , 1 ,K Km Z v K m m 其精算现值以 表示，有 显然有 xm A 1 1() x k xxmk km A E Z v q 1 :xx mxmA A A 5.延期 m年的 n年定期寿险 延期 m年的 n年定期寿险是指从 x+m岁起 的 n年定期寿险。对 (x) 的 1单位元延期 m年 n 年定期寿险，其赔付现值随机变量为 1,1, 1,2,1,0,0 1 nmmmKv mK Z K 其精算现值以 或 表

9、示，有 xnm A 1 1 11 : () mn k xxm n k km x m n x m A E Z v q AA 1 :m xnA 6.标准变额寿险 如果保险契约规定的赔付数额随着死亡时 间的变动而不同，这样的寿险称为 变额寿险。 如果赔付额 ， K是从投保开始到 死亡时存活的整数年数，这时的变额寿险称为 标准递增的变额寿险。 11 Kb K x x+1 x+2 x+n-1 x+n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 标准递增的终身寿险 1( 1 ) , 0 , 1 , 2 , KZ K v K 其精算现值以 表示，有 00 1 0 0 1 0 1 )1()()( m xm m m

10、k xk k k k m xk k k xk k x Aqv qv qvkZEIA xIA)( 标准递减的定期寿险 x x+1 x+2 x+n-1 x+n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Knb K 1 以 表示标准递减的定期寿险 精算现值，有 11 1 1 1 : 00 ( ) ( ) nn k xkx n x n k kk D A n k v q A 1 :()xnDA 例：设 计算 。 1 0 0 , 0 1 0 0 , 0 . 0 5 ,xl x x i 40()IA 死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳 终身寿险 延期 m年的 n 年定期寿险 延期 m年的 终身寿险 n年期两全 保

11、险 11 : xx n x n nA A A 1 :xxm xmA A A 1 1 1 : : :m x n x m n x mA A A 11 11 00 xx kk x x k x x kk kk A v q v p q 死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳 延期 m年的 n 年期两全保险 递增终身寿险 递减 n年 定期寿险 1 1 1 : : : : :m m mx n x n x n x m x m nA A A A A 1 1 1 : 10 () kx k x x k j xj kj I A k v p q A 1 11 1: 10 ( ) ( 1 ) nn k k x x kx n x

12、n j kj D A n k v p q A 例：计算保险金额为 10000元的下列保单，在 30岁签发时的趸缴净保费。假设死亡给付发生 在保单年度末，利率为 6%。 （ 1）终身寿险 （ 2） 30年定期寿险 （ 3） 30年两全保险。 例：现年 35岁的人购买了一张终身寿险保单。 该保单规定，被保险人在 第 1年内死亡，给付 1000元，以后每年的死亡赔付额以 6%的增长 率递增 。假设死亡给付发生在保单年度末，利 率为 6%。试求其趸缴纯保费。 4.2 死亡即付的人寿保险 死亡即付就是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公 司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险 赔付

13、。 死亡即刻赔付时刻是一个连续型随机 变量，它距保单生效日的时期长度就等于 被保险人签约时的剩余寿命。 1.终身寿险 对 (x) 的 1单位元终身寿险，死亡即付现值 随机变量为 T的概率密度为 ，其精算现值 为 0, TvZ T 00 ( ) ( )d dttx T t x x tA E Z v f t t v p t xA txxt p 直接被估计出来。但实际中，通常只有生命表 注 : 面的积分进行变换。 提供的整数年龄上的死亡概率，因此需要对上 被保险人存活函数给出时该精算现值才能 0 1 0 1 0 0 1 11 0 0 ( ) d d d d t x t x x t k t t x x

14、 t k k sk s k x x s k k ks k x s x k x k s k A E Z v p t v p t v p s v p v p s 在死亡均匀分布假设下，有 111 1 1 00 0 ddk s sx k x x k x x k iA v p q v s A v s A , 0 1s x k x k s x kp q s 假设死亡集中发生在每个年龄的中间，这时 死亡时赔付平均来说比死亡年末赔付早半年。 复利计息时 单利计息时 1 / 2( 1 ) xxA i A ( 1 / 2 )xxA i A 2222 )()()()( xx AAZEZEZV a r 2 2 2

15、0 ( ) dtx t x x tA E Z e p t Z的方差为 其中 例：设 (x)投保终身寿险，保险金额为 1元， 保险金在死亡即刻赔付，利息力为 0.03 ， 签单时， (x)的剩余寿命的密度函数为 计算 (1) ； (2) ； (3) 满足 的 。 1 , 0 60 ( t) 60 0 , T t f 其它 xA ()Var Z 0 . 9( ) 0 . 9PZ 0.9 例：设 (x)投保延期 10年的终身寿险，保险金 额为 1万元，保险金在死亡时立即给付，利 息力为 ， 。 试求（ 1）其精算现值 ; （ 2） ； （ 3）中位数 . 0 . 0 4( ) , 0 xs x e

16、x0 .0 6 10 xA ()Var Z 0.5 解：已知 0 . 0 4( ) , 0 xs x e x 0 . 0 6 0 . 0 4 10 1 0 1 0 0 . 1 1 10 ( ) 0 .0 4 0 .0 4 0 .4 t t t xT t A e f t d t e e d t e d t e 0 .0 6 0 . 0 4 ( ) 0 . 0 4 0 . 0 4 d () d ( ) 0 . 0 4 () xt t T x e s x t t f t e s x e （万元） 2.定期寿险 1单位元死亡即付 n年定期寿险 的精算现值为 1 : 00 ( )d d nntt T t

17、 x x txnA v f t t v p t 在死亡均匀分布假设下，有 假设死亡集中发生在每个年龄的中间 复利计息时 单利计息时 11 :x n x n iAA 1 1 / 2 1 :( 1 )x n x nA i A 11 :( 1 / 2 )x n x nA i A 例：设 计算 和 . 解： ( ) 1 , 0 1 0 0 , 0 .1100 xS x x i 1 30 : 10 A ( ) 1() ( ) 1 0 0T S x tft S x x 10 1 303 0 :1 0 0 0 10 10 0 () 1.111 1 .1 0 .0 9 2 7 0 7 0 l n 1 .1 t

18、 t t A v f t d t dt ( ) V ar Z 3.两全保险 1单位元死亡时赔付的精算现值 11 : : :x n x n x nA A A 在死亡均匀分布假设下，有 11 : : : 1 : ( 1 ) x n x n x n x n x n i A A A i AA 例：某 30岁的人投保了 30年两全保险。如果 契约规定在投保的前 10年死亡赔付 10000元， 后 20年死亡赔付 30000元，满期存活给付 20000元，假设赔付在死亡时发生，利率为 6%。 求这一保单的趸缴纯保费。 例：设利息力和存活人数分别为 求 0 .2 , 7 5 , 1 0 .0 5tx lx

19、t 1 40 4 0 : 2 0 4 0 : 2 0, , ,xA A A A 4.标准变额寿险 对于死亡即时赔付的寿险，如果赔付额 ，称为标准递增的变额寿险。 （ 1）标准递增终身寿险的精算现值为 0 ( ) 1 dtx t x x tI A t v p t 1 tbt 死亡均匀分布假设下，有 如果赔付额标准连续递增，即 ，则 ( ) ( )xxiI A I A tbt 0 ( ) dtx t x x tI A t v p t 2 , 1 0 0 , 0 1 0 0 ,tx t l x x 例：设 计算 ()xIA （ 2）标准递增 n年定期寿险的精算现值为 在死亡均匀分布假设下， 1 :

20、0( ) 1 d n t t x x txnI A t v p t 11 : ( ) ( ) x n x n iI A I A （ 3）标准递减 n年定期寿险的精算现值为 死亡均匀分布假设下，为 1 : 0( ) ( ) d n t t x x txnD A n t v p t 11 : ( ) ( ) x n x n iD A D A 例：对（ 50）岁的人第一年死亡即刻给付 5000元，第二年死亡即刻给付 4000元，以 此按年递减 5年期人寿保险，根据附表 1生命 表，以及死亡均匀分布假定，按年实质利率 6%计算趸缴纯保费。 11 50 0.06 50 0.06 1 50 0.06 4

21、1 50 0 50 1 50 0.06 ( 0.06 ( l n 1.06 1.0297087 ( 5 ) 1000( k k k i D A D A DA d kv l DA ： 5 ： 5 ： 5 ： 5 ） ） ） ） 解： 例：考虑第 1年死亡即刻赔付 10000，第 2年 死亡即刻赔付 9000元并以此类推递减人寿 保险。按附表 2及利率 i=0.06计算（ 50）的 人趸缴纯保费。 （ 1）保障期至第 10年底 （ 2）保障期至第 5年底 趸缴净保费递推公式： 解释 (x)的单位保额终身寿险趸缴净保费可以 分解为在 1年内死亡的赔付现值和 1年后存活 趸缴净保费。 1x x x xA v q v p A 11x x x x xl A v d v l A