向日葵生长螺线

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1、向日葵——黄金螺旋的轨迹 琢磨了 2 天才弄清楚，我老人家是太笨了。不过总算是弄明白了，也算没白费劲。 这是类似向日葵的复合花图案，我用 EXCEL 画的。是不是能清楚地看到一系列重复的螺 旋线？“向日葵”的果实就存在于这些螺旋线的交叉点上？ 这就是我们在很多自然界的事物上发现的螺旋结构和螺旋趋势。 但是，其实，这是一个错觉。这些螺线是完成生长后的静态图案，而并不是实际的生长 轨迹。实际的生长轨迹是如下图所示的螺旋线。 这个生长的螺旋线轨迹，一般你是从图上看不出来的，你所看到的那一系列螺旋线并不 是实际的生长过程。 为什么我们看到了一组螺旋线，种子存在于它们的交叉点

2、上，而实际上这只是假象？反 过来我们却看不见实际的生长螺旋线呢？是因为距离的原因。 我们的眼睛和脑子，只习惯于将近距离的东西组成连续的图案，我们认为那就是实际结 构。而实际的生长顺序并不是距离临近的，而是按照“黄金角”的规律进行的。 该图标记了实际的生长顺序。 实际的生长，第1 个芽和第2 个芽之间同样存在这生存竞争的关系，和任何事物的关系 一样。竞争就产生了一个反馈耦合的抑制关系，分子生物学的研究中假设存在一种“生长因 子”和“抑制因子”的机制或者物质，一个芽的生长同时产生这种“抑制因子”对周期其他的芽 的生长起到抑制作用，同时也被其他的芽产生的“抑制因子”所抑制。这种“抑制因子”

3、的强度 随着时间和距离而具有浓度梯度的变化分布，于是自然地在“抑制强度”最低的地方就最容易 出现下一个新芽。这种“抑制强度”的分布实际上就是在一个圆周上分布的“抑制强度”函数， I3 : I2 = I2 : I1 , I是每个发芽处的“抑制强度”，直接计算的结果就产生了“黄金角”，约 等于 137.5度，也就是对圆周360 度的黄金分割位置， 137.5/360=0.382。 实际发芽的顺序就是按照“黄金角”的规律在生长螺旋线上逐个出现的，从而形成了实际 生长的轨迹。而我们从图中可以看出，这样生长顺序的发芽点在空间距离上是远离的，那些 彼此接近的芽并不是实际的生长顺序，可是在形成以后，我们的

4、眼睛却将它们组成了规则的 图案结构。 这里又出现了费波那契级数的规律。这个规律与“黄金角”的生长规律直接相关。 按照“黄金角”的生长顺序，在一个生长螺线的周期之内，大约可以生长出 360/137.5=2.618 个芽，现实的世界都是离散的、整数的“事件”，并不象数学那样可以随心所欲地采用小数以 及选择任意长的精度，现实世界对于这种数学上的比例关系只能用近似的整数比的关系来近 似。费波那契级数就是对于黄金比例这个无理数的有理数近似逼近的序列，1、1、2、3、5、 8、13、21......,实际上就是黄金比例这个无理数0.618……的有理数逼近序列：1, 1/2, 2/3, 3

5、/5, 5/8, 8/13，13/21……。于是在“向日葵”的生长上就出现了费波那契级数的数字规律： 生长螺旋线的第1 个周期对应着有约2或3个芽,第2个周期对应着5个芽,第3个周期对 应着8个芽,第4个周期对应着10或1 1 个芽,第5个周期对应着13个芽, ……。可以看 到，如果以圆心和第一个芽的连线做一条直线，然后来数生长螺旋线上各圈对应的芽的总数， 就会发现，只有在费波那契级数数字的圈上，最后一个芽才离这条直线最近，而在非费波那 契级数数字的圈上，最后一个芽总是离这条线较远，而且无法确认确切的数，例如第4 圈， 10和 11都差不多。于是数下来就发现存在着费波那契级数的关系了： 圈

6、数：1—2—3— 5— 8—13—21—34—55..…. 芽数：3—5—8—13—21—34—55—89—144...... 圈数和芽数的比不是连续的费波那契数字的比的关系，而是隔一个的比的关系，即是 0.382，和黄金角是一回事。 所以，在实际应用费波那契级数时，一定要找数对，只有数对的存在才代表了黄金比例 的规则关系，这才是费波那契级数的意义，单独的一个费波那契数字是没有意义的，很多人 总是乱用费波那契级数，大搞所谓“神奇数字”，是误区。 再来检验一下我们从第一张图上看到的那一系列螺旋线，可以得到下列经验数据： 不同芽总数的复合花图： 13— —21— —34— —55

7、— —89— —144— —233— —377 逆时针视觉螺旋线条数： 3— —8— —8—— —8— —8—— —21— —21—— —21 顺时针视觉螺旋线条数： 5—— —5— —13— —13— —13— —13—— —34 可以发现，也存在费波那契级数，顺时针螺线条数和逆时针螺线条数的比的关系。但是 存在混沌的情况和翻转的情况，例如总数是233 个芽的图上，可以看到清晰的逆时针的 21 条螺线，却看不清楚顺时针的螺线，这就代表着混沌的出现；3/5变到8/5，8/5变到8/13， 8/13变到21/13，21/13变到21/34，就是一

8、种比例的翻转变化。可以假设，混沌是出现在比 例关系反转之前状态，以“有序——混沌——有序”的过程演进着。 这是否就是无理数比例的秩序中固有的混沌现象呢？是有序与混沌共存的证据？ 搞清楚了“向日葵”螺旋生长的原理和有关规律，对于理解混沌系统、混沌秩序大有帮助， 毕竟这是自然界最普遍和典型的秩序模式。而至于从中得到的启发的应用，则需要细心地去 寻找和挖掘。 例如，我联想到的关于炒股的例子。最容易吸引我们的、我们最关注的，是涨跌的轨迹，我 们有的时候比较容易看清楚和把握到涨跌的轨迹，并从中操作获利，而更多的时候我们却看 不清楚涨跌的轨迹，却可以用基本分析的方法计算出未来的大体位置，这时候基本分析的操 作原则就会想起：把握未来的确定、忽视过程的不确定。 这与对“向日葵”的生长轨迹的了解和对整体图案的结构感悟有一定的联想类比——实际 的生长轨迹是内在本质，视觉结构是表象，但是这个视觉的“错觉”表象一样具有实际的意义， 它能带给我们对事物发展的预见能力，虽然这种预见具有本质肤浅的性质，但并不削弱它的 利用价值。