特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面

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1、引言 空间解析几何所研究的曲面重要是二次曲面。但是也可以研究某些非二次特殊曲面。本论文中将运用直线或曲线适合某几何特性来建立某些曲面的方程。重要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。1.柱面图1定义：始终线平行于一种定方向且与一条定曲线相交而移动时所产生的曲面叫做柱面(图),曲线作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。显然，柱面的准线不是唯一的,任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，一般取一条平面曲线作为准线。特别地,若取准线为一条直线,则柱面为一平面,可见平面是柱面的特例。下面分几种情形讨论柱面的方程。11 母线平行于坐标轴的柱面方程选用合适的坐标系，研

2、究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于轴，准线为面上的一条曲线，其方程为： 图2又设为柱面上一动点（图)，则过点与轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线的交点记为,因点在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表白柱面上任一点的坐标满足方程 反过来,若一点的坐标满足方程，过作轴的平行线交面于点,则点的坐标满足准线的方程，这表白点在准线上，因此直线是柱面的母线(由于直线的方向向量为),因此点在柱面上。综上所述,我们有如下结论:母线平行上于轴,且与面的交线为的柱面方程为: （1）它表达一种无限柱面。若加上限制条件，变得它的一平截段面。同理，母线平行于轴,且与面的交线为的柱面方程为；母线平行于轴

3、,且与面的交线为的柱面方程为。定理1:凡三元方程不含坐标中任何一种时必表达一种柱面，它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。应当注意，如果母线不平行于坐标,柱面方程就要涉及所有的坐标。例1：以面上的椭圆,双曲线和抛物线为准线,母线平行于轴的柱面方程分别为 图3它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面,由于它们的准线是二次曲线,故又统称为二次柱面,其图形见(图3)。例2：证明,若柱面的准线为母线方向为，则柱面方程为 (2)证：设为准线上一点，则过此点的柱面母线的参数方程为： （为叁数)当点遍历准线上的所有点，那么母线就推出柱面,消去参数,由式中最后一种式子得，代入其他两个式子,有因点在准线上,

4、代入，即得（2)式若柱面的准线为 母线方向为 则柱面方程为: (）若柱面的准线为：母线方向为 则柱面方程为 ()1.2 柱面的一般方程设柱面的准线是一条空间曲线,其方程为母线方向为，在准线上任取一点，则过点的母线方程是： （为叁数)这里是母线上点的流动坐标。因点的坐标应满足：从上面这两组式子中消去参数,最后得一种三元方程 （)这就是觉得准线,母线的方向数为的柱面方程。 例3：柱面的准线是球面与平面的交线，母线方向是，求柱面的方向。解：设是准线上任一点,则过这点的母线方程为由此得 代入准线方程，得 消去参数,得 展开,化简后得 这就是所求的柱面方程。1.3 柱面的参数方程设柱面的准线的参数方程为

5、: ：母线方向为又设是准线上的一点，则过的母线方程为 （为参数)令在准线上移动，即让取所有也许的值,并让取所有也许的值,则由上式决定的点的轨迹就是所求的柱面。因此,柱面的参数方程是： （6）例4:设柱面的准线为: 母线方向为，求柱面的方程。解：由（6)式,柱面得参数方程为: 从上式中消去参数和,得住面的一般方程 1 由生成规律给出柱面的方程有时不给出柱面的准线,只给出生成规律下面举一例。 图4例:求以直线为轴，半径为的圆柱面方程,其中直线通过点，方向向量为。解：设为所求柱面上的一点（图4),按题意到的距离为,设,按向量的定义有两端平方即得所求柱面的向量是方程: 写成坐标式，即 若运用公式 则式

6、又可写成 或 特别地，若取直线为轴,令,则比时柱面方程为 。.5 曲线的射影柱面图5定义2：设是一条空间曲线，为一平面,通过上每一点作平面的垂线，由这些垂线构成的柱面叫做从到的射影柱面(图5)显然,在上的射影就是从到的射影柱面与的交线。一般我们将平面取为坐标平面。给定空间曲线 那么如何求曲线到平面上的射影柱面方程？由于这个柱面的母线平行于轴，因此它的方程中不应含变量,这样只要消去即从的某一种方程中解出来，把它代入另一种方程中，就得到从向面的射影柱面方程：同理,曲线在此外两个坐标平面上的射影柱面方程分别为：由于射影柱面方程比一般三元方程简朴,因此常用两个射影柱面方程来表达空间曲线。具体做法是:从

7、曲线的方程中轮流消去变量与,就分别得到它在面,面和面上的射影柱面方程，然后于这三个柱面方程中选用两个形式简朴的联立起来,那么就得到了原曲线的形式较简朴的方程且便于作图。例6：求曲线在面上的射影。解:欲求曲线在面上的射影，需先求出曲线到面上的射影柱面，这又须从曲线方程消去,由的第一种方程减去第二个方程并化简得 或将代入曲线的方程中的任何一种，得曲线到面的射影柱面:故两球面交线在面的射影曲线方程是 这是一椭圆. 锥面图6定义3：通过一定点且与一条曲线相交的一切直线所构成的曲面叫做锥面（图6),定点叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线,构成锥面的直线叫做锥面的母线。由定义3，可见，锥面有个明显的特点

8、：顶点与曲面上任意其他点的联线全在曲面上。显然,锥面的准线不是唯一的,任何一条与所有母线相交的曲线都可以作为锥面的准线。一般取一条平面曲线作为准线。下面分几种 情形讨论锥面的方程:2.1顶点在原点，准线为平面曲线的锥面方程设锥面的准线在平面上,其方程为 图7又设为锥面上一动点（图7），为准线上一点，且、三点共线，则或即，于是。由于应满足,可见应满足方程: 反过来,若一点的坐标满足方程(），则将上式逆推可知，点在过点与的直线上，因而在锥面的母线上，即点是锥面上的点。因此,以原点为锥顶，准线为或的锥面方程分别为： 例7:采用上式易知,以原点为锥顶,准线为椭圆 双曲线 和抛物线 的锥面方程分别是:

9、和 即 和 。图8这三个二次方程都是有关、的二次齐次方程，因此统称为二次锥面(图8）。2锥面的一般方程设锥面的准线为一空间曲线: 顶点的坐标为。又设为准线上一点,则过点的母线方程为:由于在准线上,故应有 (7）从以上一组方程中消去可得 这就是觉得准线为顶点的锥面方程。例:锥面的顶点在原点,且准线为 求锥面的方程。解：设为准线上的任意点，那么过的母线为 且有 由、得 代入得所求的锥面方程为 这个锥面叫做二次锥面。定理：有关的齐次方程表达以坐标原点为顶点的锥面。证：设是有关的次齐次方程,点是方程所示的曲面上的任意一点（但不是原点)，那么连结,在此直线上任取一点,由于，故有把点的坐标代入曲面的方程,

10、运用是次齐次函数,有这表达直线上任何点都在曲面上，因而是由过原点的动直线构成的，这就证明了它是一种以原点为顶点的锥面。推论:有关的齐次方程表达觉得顶点的锥面。证：平移坐标轴,觉得新原点，运用定理(2）即得证明。例9:求顶点在，准线为 的锥面方程。解：设是锥面上一动点,则母线的方程为 (为叁数)其中为母线与准线的交点，从上式可解得交点的坐标由此可解得，将点的坐标代入准线方程中,得或此即 这就是所求的锥面方程。. 锥面的参数方程设锥面的准线的参数方程为 顶点为，又设为准线上一点,则母线的参数方程为当点在准线上移动时,母线的轨迹就是锥面,因此锥面的参数方程是 (8）从()式可见,锥面有两叶，是一叶,

11、是另一叶。例1：已知锥面的顶点为,准线为求它的方程。解:由(8)式，所求锥面的参数方程是 ()消去参数和，就得所求锥面的一般方程,它是二次锥面 (）2.4 由生成规律给出锥面的方程定义:已知一定直线上的一定点，过空间一点与作直线使与所成锐角等于定角,则动点的轨迹叫做（直)圆锥面，叫做锥面的轴 ,锐角叫做半锥项角,定点叫做锥顶。图9例1:求觉得轴,半锥角为的圆锥面方程。解：设为所求圆锥面上的一点,为锥顶(图9)。与的夹角为的条件是: (10)其中为直线的方向向量，。方程(10)即为所求圆锥面的向量式方程,写成坐标形式是： (）它是有关的二次齐次式，因而是二次锥面。两个特例是:以原点为锥项,且轴的

12、方向为的锥面方程为 (11）若设、为方向余弦,则(1)式简化为 ()直圆锥面：图10以原点为锥顶，轴为轴，为半锥项角的圆锥面方程是(此时): 或 此即 (12)其图形见图10例12：求以原点为顶点且过三条坐标轴的圆锥面方程。解:设将过原点且方向角为、的直线取作轴,由于所求圆锥面涉及三条坐标轴，因此它的轴必与三条坐标轴交成等角，因而有，但,故有,，。根据不同的符号，的位置共有四种,且分别在八个封限内，但圆锥的半锥顶角满足（由于此时)。设位于第、封限,则有 写出母线方向与成角为的条件：由此出锥面的方程为： 此时轴的方程是: 设位于第、封限内,同理得锥面的方程为：此时轴的方程是： 设位于第、封限内,

13、则锥面方程为: 且轴的方程是：设位于第、封限内,则锥面方程为: 且轴的方程是: 3. 旋转曲面纬线圆旋转曲面图11定义5：一条曲线绕一条定直线旋转而产生的曲面叫做旋转曲面（图11），曲线叫做旋转曲面的母线，直线叫做旋转轴,上每一点在旋转过程中生成的圆叫做纬线圆或平行圆。当为直线时,若与轴平行,则旋转曲面是（直)圆柱面;若与轴相交时,旋转曲面是（直)圆锥面；若与轴垂直,则旋转曲面是平面（图12），因此圆柱面、圆锥面，尚有平面都可看作是旋转曲面的例子。图12下面分几种 情形讨论旋转面的方程：3.1旋转曲面的一般方程设旋转曲面的母线是一条空间曲线 旋转轴是过点,方向为的直线 图13又设是母线上任意一

14、点，是过的纬线圆（它的圆心是上的一点)上的任意一点(图13)，则且 ，因此有 式表达觉得中心，觉得半径的球面，而式表达通过点且垂直于轴的平面。因此和联立表达通过的纬线圆。又因点在母线上，故有 由三式、消去，即得旋转曲面方程： (3）例13:求直线绕直线旋转所得的旋转曲面方程。图14解:设是旋转曲面上的任意一点,过作轴的垂直平面,交母线于一点(图)，由于旋转轴通过点,不妨取原点为，于是由上述,过点的纬线圆方程是:由于点在母线上，故或 代入因此 上式代入,得 这就是所求的旋转曲面方程。在实际运用中，我们常把旋转轴取为坐标轴。特别地,若母线是一条平面曲线,我们又常把母线所在的平面取作一坐标面,旋转轴

15、取作该平面内的某一坐标轴,这时旋转曲面的方程具有较简形式。 图15 3.2 平面曲线绕坐标轴旋转生成的旋转曲面设是坐标平面上的曲线（图15），,它的方程是旋转轴为轴：，如果为母线上的一点,那么过的纬线圆方程为:且有 从上面两组式子消去参数，具体做法是：将代入,得将及代入即得 (1）同样,把曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程是： (1）同理可知，坐标平面上的曲线 绕轴或轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为：和面上的曲线 绕轴或轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为：和因此,我们有如下结论:定理:当坐标平面上的曲线绕此坐标平面内的一种坐标轴旋转时，只要将曲线在坐标平面里的方程保存和旋转同名的坐标，而以其他两个

16、变量的平方和的平方根去替代方程中的另一坐标,即得旋转曲面的方程。例1:将面上的圆绕轴旋转,求所得旋转曲面的方程。解：由于绕轴旋转，因此方程中保存不变，而用替代,即得旋转曲面方程为：,即,或 图16这样的曲面叫做圆环面(图16），它的形状象救生圈。3.3旋转二次曲面例1:圆绕轴旋转所得的曲面方程为：,即它是以原点为中心，为半径的球面。例6:椭圆:分别绕长轴（即轴)与短轴(即轴）旋转二的的旋转曲面方程分别为: (1） (17)长形旋转椭球面（图17）扁形旋转椭球面（图18）曲面（16）叫做长形旋转椭球面(图17），曲面(17)叫做扁形旋转椭球面（图18）。在研究地球时,常把地球的表面当作是扁形旋转

17、椭球面；有些锅炉为了减轻蒸汽对炉壁的冲击力,而把它做成旋转椭球面的形状。例17:将双曲线，绕虚轴（即轴）旋转的曲面方程为: （1) （图19)绕实轴(即轴)旋转的曲面方程为: (1) （图20）旋转双叶双曲面 图20图19旋转单叶双曲面曲面(8）叫做旋转单叶双曲面，曲面(9）叫做旋转双叶双曲面。旋转单叶双曲面在工程技术中很有用。例如发电厂和水泥厂的冷却塔多半建成旋转单叶双曲面的形式。旋转抛物面（图21）例18：将抛物线，绕它得对称轴(即轴)旋转的曲面方程为: （20）它叫做旋转抛物面。(图2)旋转抛物面有着广泛的用途,如探照灯,车灯和太阳灶的反光面就是这种曲面。为了保持发射与接受电磁波的良好性能，雷达和射电望远镜的天线多做成旋转抛物面。参照文献1 朱德祥，朱维宗. 新编解析几何M. 西南师范大学出版社,99: 34267 章学诚. 解析几何M. 北京大学出版社,1989：743243崔冠之,唐宗李 空间解析几何. 北京：中央民资学院出版社,189： 213944 方德植 解析几何. 北京：高等教育出版社，9：1561 5陈明 解析几何讲义M.北京：高等教育出版社,984：2132376 汪国鑫. 解析几何M.四川大学出版社，1989：1307 朱鼎勋,陈绍菱. 空间解析几何学. 北京：北京师范大学出版社,14： 1315