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1、 第一章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限 r 一 、数列极限的定义 引例 . 设有半径为 r 的圆 , 逼近圆面积 S . n如图所示 , 可知 当 n 无限增大时 , 无限逼近 S (刘徽割圆术 ) , 用其内接正 n 边形的面积 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 定义 : 自变量取正整数的函数称为 数列 , 记作 或 称为 通项 (一般项 ) . 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n N 时 , 总有 记作 此时也称数列 收敛 , 否则称数列 发散 . 几何解释 : aa )( ax nn li
2、m 或 )( nax n 1Nx 2Nx 则称该数列 的极限为 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 已知 证明数列 的极限为 1. 证 : 1nx 1 )1( n n n ,0 欲使 即 只要 1n 因此 , 取 ,1 N 则当 Nn 时 , 就有 1)1( n n n 故 1)1(limlim nnx n nnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 已知 证明 证 : 0nx 2)1( 1 n 11 n ,)1,0( 欲使 只要 ,11 n 即 n 取 ,11 N 则当 Nn 时 , 就有 ,0 nx 故 0)1( )1(limlim 2 n x n nnn 故也
3、可取 1N 也可由 2 )1( 10 nnx .11 N 与 有关 , 但不唯一 . 不一定取最小的 N . 说明 : 取 11 N 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 3. 设 ,1q 证明等比数列 证 : 0nx 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 qN lnln1 , 则当 n N 时 , 就有 01nq 故 0l i m 1 nn q .lnln1 qn 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 23 ba 22 abnab ax 二、收敛数列的性质 证 : 用反证法 . 及 且 .ba 取 因 ,lim ax n n 故存在 N1 , 从而 2 banx 同理 , 因
4、 ,li m bx n n 故存在 N2 , 使当 n N2 时 , 有 2 banx 1. 收敛数列的极限唯一 . 使当 n N1 时 , 假设 2 abn b a 23b 从而 2 banx 矛盾 . 因此收敛数列的极限必唯一 . 则当 n N 时 , ,m a x 21 NNN 取 故假设不真 ! nx 满足的不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 4. 证明数列 是发散的 . 证 : 用反证法 . 假设数列 nx 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 ,21 则存在 N , 2 1 2 1 axa n 但因 nx 交替取值 1 与 1 , ),( 2121 aa 内 , 而
5、此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有 因此该数列发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界 . 证 : 设 取 ,1 ,N 则 当 Nn 时 , 从而有 aax n a 1 取 ,m a x 21 NxxxM a1 则有 .),2,1( nMx n 由此证明收敛数列必有界 . 说明 : 此性质反过来不一定成立 . 例如 , 1)1( n 虽有界但不收敛 . ,1 ax n 有 数列 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 收敛数列的保号性 . 若 且 时 , 有 ,)0( .)0( 证 : 对 a 0 , 取 推论 : 若数列从某项起
6、 )0( .)0( (用反证法证明 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * , ax kn 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 证 : 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 ,0 ,N 当 时 , 有 现取正整数 K , 使 于是当 Kk 时 , 有 kn N 从而有 由此证明 .lim ax knk * N Nx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、极限存在准则 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 例如， 1li m 2 kk x 发散 ! 夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西审敛准则 . 则原数列一定发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
7、 说明 : azy nnnn limlim)2( 1. 夹逼准则 (准则 1) (P49) ),2,1()1( nzxy nnn ax nn lim 证 : 由条件 (2) , ,0 ,1N 当 时 , 当 时 , 令 ,m a x 21 NNN 则当 Nn 时 , 有 由条件 (1) nnn zxy a a 即 , ax n 故 .li m ax n n ,2N 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 5. 证明 证 : 利用夹逼准则 . nnnnn 222 1211 2 2 n n 且 2 2 l im n n n 21 1lim n n 1 nn lim nnnn 222 1211 1
8、由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 单调有界数列必有极限 ( 准则 2 ) ( P52 ) )(l i m Max nn )(l i m mbx nn ( 证明略 ) a b 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 6. 设 证明数列 极限存在 . (P52 P54) 证 : 利用二项式公式 , 有 nnnx )1( 1 1 nn1!1 21!2 )1( nnn 31!3 )2)(1( nnnn nnn nnnn 1 ! )1()1( 11 ) 1( 1!1 nn ) 1( 2n ) 1( 1nn )1( 1!21 n )1( 1!31 n )1( 2n 机动 目录 上页 下页 返回
9、 结束 11nx ) 1( 1!1 nn ) 1( 2n ) 1( 1nn )1( 1!21 n )1( 1!31 n )1( 2n 111nx )( 11!21 n )1)(1( 1211!31 nn )1()1)(1( 11211!)1( 1 n nnnn 大 大 正 ),2,1(1 nxx nn 11)1( 1 nnnx又 比较可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据准则 2 可知数列 nx 记此极限为 e , ennn )1(l i m 1 e 为无理数 , 其值为 5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 4.2e 即 有极限 . 原题 目录 上页 下页 返回 结束
10、 11)1( 1 nnnx 11 又 3 12 13 n *3. 柯西极限存在准则 (柯西审敛原理 ) (P55) 数列 极限存在的充要条件是 : ,0 存在正整数 N , 使当 NnNm ,时 , mn xx 证 : “必要性” . 设 ,lim ax n n 则 时 , 有 使当 ,2 ax n 2 ax m 因此 mn xx ax n axm “充分性” 证明从略 . 有 柯西 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质 : 唯一性 ; 有界性 ; 保号性 ; 任一子数列收敛于同一极限 3. 极限存在准则 : 夹逼准则 ; 单调
11、有界准则 ; 柯西准则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 如何判断极限不存在 ? 方法 1. 找一个趋于 的子数列 ; 方法 2. 找两个收敛于不同极限的子数列 . 2. 已知 ),2,1(21,1 11 nxxx nn , 求 nn xlim 时 , 下述作法是否正确 ? 说明理由 . 设 ,lim ax nn 由递推式两边取极限得 aa 21 1a 不对 ! 此处 nn xlim 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P30 3 (2) , (3) , 4 , 6 P56 4 (1) , (3) 4 (3) 提示 : 可用数学归纳法证 第三节 目录 上页 下页 返回
12、 结束 故极限存在， 备用题 1.设 )(211 n nn x axx ),2,1( n ,0a ,01 x, 且 求 .lim n n x 解： 设 Ax n n lim 则由递推公式有 )(21 AaAA aA )(211 n nn x axx nx nx a a n n x x 1 )1( 2 1 2 nx a )1( 2 1 a a 1 数列单调递减有下界， ,01 x 故 ax nn lim 利用极限存在准则 ,0 nx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 证 : 显然 , 1 nn xx 证明下述数列有极限 . 即 单调增 , 又 1( 1) )1()1( 1 1 kaa 存在 “拆项相消” 法
上海海事大学高数课件2数列的极限
