简单线性规划课件

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1、了解线性规划的意义 了解线性规划问题中有关术语的含义 会求一些简单的线性规划问题 4.2 简单线性规划 【 课标要求 】 【 核心扫描 】 求目标函数的最值 (重点、难点 ) 本节与直线的截距和斜率，与点到直线的距离，以及方程 等知识联系密切 目标函数的最大值和最小值与其对应直线截距的关系 (易 错点 ) 1 2 3 1 2 3 线性规划中的基本概念 自学导引 名称 意义 约束条件 变量 x， y满足的一组条件 线性 约 束 条件 由 x， y的二 元 _不等式 (或方程 )组成的不 等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量 x， y的解析式 一次 名称 意义 线性 目 标 函数 目标

2、函数是关于 x， y的 _解析 式 可行解 满足线性约束条件 的 _ 可行域 所有可行解组成 的 _ 最优解 使目标函数取得最大值或最小值 的 _ 线性 规 划 问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大 值或最小值问题 二元一次 解 (x， y) 可行解 想一想 ： 在线性约束条件下，最优解唯一吗？ 提示 不一定，可能有一个或多个 集合 求解线性规划问题的注意事项 (1)线性约束条件是指一组对变量 x， y的限制条件，它可以 是一组关于变量 x， y的一次不等式，也可以是一次方程 (2)有时可将目标函数 z ax by改写成 y mx nz的形 式将 nz看作直线 y mx nz在 y轴上

3、的截距来处理 (3)目标函数所对应的直线系的斜率，若与约束条件中的 某一约束条件所对应的直线斜率相等，则最优解可能有无 数个 (4)解线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求 最优解是重要一环，故力求作图准确；而在求最优解时， 常把视线落在可行域的顶点上 名师点睛 1 利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 (1)作出可行域将约束条件中的每一个不等式当作等 式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的区域，然后 求出所有区域的交集 (2)令 z 0，作出一次函数 ax by 0. (3)求出最终结果在可行域内平行移动一次函数 ax by 0，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是有无穷最优 解，或

4、是无最优解 2 题型一 求目标函数的最大值或最小值 A 4 B 3 C 2 D 1 思路探索 先根据约束条件作出可行域，再平移直线 x 2y 0找到最大值点，代入 z x 2y可求出最大值 【 例 1】 若变量 x ， y 满足约束条件 y 1 ， x y 0 ， x y 2 0 ， 则 z x 2 y 的最大值为 解 作出可行域如图所示，把 z x 2 y 变形为 y x 2 z 2 ，得 到斜率为 1 2 ，在 y 轴上的截距为 z 2 ，随 z 变化的一组平行直 线由图可知，当直线 y x 2 z 2 经过点 A 时， z 2 最小，即 z 最大，解方程组 x y 0 ， x y 2 0

5、 ， 得 A 点坐标为 (1 ， 1) ，所以 z m a x 1 2 ( 1) 3. 答案 B 规律方法 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域， 正确理解 z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一 般在可行域的边界上取得在解题中也可由此快速找到最 大值点或最小值点 解 z 2x y可化为 y 2x z， z的几何意 义是直线在 y轴上的截距的相反数，故当 z 取得最大值和最小值时，应是直线在 y轴 上分别取得最小和最大截距的时候 作一组与 l0： 2x y 0平行的直线系 l，经 上下平移，可得：当 l移动到 l1，即经过点 A(5,2)时， zmax 2 5 2 8.当 l移动到 l2

6、，即过点 C(1,4.4)时， zmin 2 1 4.4 2.4. 【 训练 1】 已知 x ， y 满足 x 4 y 3 ， 3 x 5 y 25 ， x 1 ， 求 z 2 x y ， 求 z 的最 大值和最小值 【 例 2】 题型 二 非线性目标函数的最值问题 已知 x y 2 0 ， x y 4 0 ， 2 x y 5 0 ， 求 ： ( 1 ) z x 2 y 2 10 y 25 的最小值 ； ( 2 ) z 2 y 1 x 1 的范围 解 作出可行域如图，并求出顶点的坐标 A(1,3)、 B(3,1)、 C(7,9) ( 1 ) z x 2 ( y 5 ) 2 表示可行域内任一点

7、( x ， y ) 到定点 M ( 0 , 5 ) 的距 离的平方 ， 过 M 作直线 AC 的垂线 ， 易知垂足 N 在线段 AC 上 ， 故 z 的最小值是 |MN | 2 9 2 . 规律方法 非线性目标函数最值问题的求解方法 (1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几 何意义，诸如两点间的距离 (或平方 )，点到直线的距离，过已 知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事 半功倍的效果 (2)常见代数式的几何意义主要有： ( 2 ) z 2 y 1 2 x 1 表示可行域内任一点 ( x ， y ) 与定点 Q 1 ， 1 2 连 线的斜率的两倍 ， 因为

8、k QA 7 4 ， k QB 3 8 ， 故 z 的范围为 3 4 ， 7 2 . x 2 y 2 表示点 ( x ， y ) 与原点 ( 0 , 0 ) 的距离； x a 2 y b 2 表示点 ( x ， y ) 与点 ( a ， b ) 的距离 y x 表示点 ( x ， y ) 与原点 ( 0 , 0 ) 连线的斜率； y b x a 表示点 ( x ， y ) 与 点 ( a ， b ) 连线的斜率 这些代数式的几何意义能使所求问题得 以转化，往往是解决问题的关键 审题指导 这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类 问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或 边界取得，运用

9、数形结合的思想方法求解同时，要注意 边界直线斜率与目标函数斜率关系 【 例 3】 题型 三 已知目标函数的最值求参数 ( 本题满分 12 分 ) 若实数 x ， y 满足 2 x y 2 0 ， y 3 ， ax y a 0 ， 且 x 2 y 2 的最大值为 34 ， 求正实数 a 的值 规范解答 在平面直角坐标系中画出约束 条件所表示的可行域如图 (形状不定 ) (3分 ) 其中直线 ax y a 0的位置不确定，但它 经过定点 A(1,0)，斜率为 a.(6分 ) 又由于 x 2 y 2 x 2 y 2 2 .且 x 2 y 2 的最大值等于 34 ， 所以可行域中的点与原点的最大值距离

10、等于 34 . 解方程组 2 x y 2 0 ， y 3 ， 得 M 的坐标为 x 1 2 ， y 3. 解方程组 ax y a 0 ， y 3 ， 得 P 的坐标为 x 3 a 1 ， y 3. (8 分 ) 又 M 1 2 ， 3 . OM 9 1 4 34 . 点 P 3 a 1 ， 3 到原点距离最大 ( 10 分 ) 3 a 1 2 9 34 ，解得 a 3 4 . ( 12 分 ) 【 题后反思 】 随着对线性规划问题研究的不断深入，出 现了一些线性规划的逆向问题即已知目标函数的最值， 求约束条件或目标函数中的参数的取值及范围问题解决 这类问题时仍需要正向考虑，先画可行域，搞清目标

11、函数 的几何意义，看最值在什么位置取得 【 训练 3】 已知变量 x ， y 满足的约束条件为 x 2 y 3 0 ， x 3 y 3 0 ， y 1 0. 若 目标函数 z ax y ( 其中 a 0 ) 仅在点 ( 3 , 0 ) 处取得最大值 ， 求 a 的取值范围 解 依据约束条件 ， 画出可行域 直线 x 2 y 3 0 的斜率 k 1 1 2 ， 目 标函数 z ax y ( a 0 ) 对应直线的斜率 k 2 a ， 若符合题意 ， 则须 k 1 k 2 .即 1 2 a ， 得 a 1 2 . 数形结合的主要解题策略是：数 形 问题的解 决；或：形 数 问题的解决数与形结合的基

12、本思路 是：根据数的结构特征构造出与之相对应的几何图形， 并利用直观特征去解决数的问题；或者将要解决的形的 问题转化为数量关系去解决本节中利用线性规划解决 实际问题是典型的数形结合问题 方法技巧 数形结合思想 在平面直角坐标系中，点 A， B， C的坐标分别为 (0,1)， (4,2)， (2,6)如果 P(x， y)是 ABC围成的区域 (含 边界 )上的点，那么当 w xy取到最大值时，点 P的坐标是 _ 思路分析 【 示 例 】 解 点 A、 B、 C围成的区域 (含边界 )如图所示：因为 w xy表示矩形 OP1PP2的面积， 只要点 P向右方或者向上方 移动，矩形 OP1PP2的面积就变大由图可看出，只有点 P 在线段 BC上时才无法向右方或上方移动，所以要使 w xy 最大，点 P一定在线段 BC上， B(4,2)， C(2,6)， 线段 BC的方程为 y 2 x 10 ， x 2, 4 ， w xy x ( 10 2 x ) 2 x 5 2 2 25 2 ， x 2, 4 ，故当 x 5 2 ， y 5 时， w 取到最大值 答案 52 ， 5 方法点评 本题把 w xy转化为相应的矩形的面积是解题 的关键，即把数的问题转化为形的问题来解决实质上， 整个线性规划问题的解决都是数形结合思想方法的体现