高考数学集合总复习-等比数列以及其前n项和

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1、等比数列及其前n项和答案 自主梳理.公比 q 2.a1qn-1.(1）qnm (）kal=aman(4)递增 递减 常 摆动6qn自我检测1 .B 3.B.C5.9课堂活动区例1 解题导引 ()在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有1,an，q,n，Sn五个量,懂得其中任意三个量,都可以求出其他两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后运用方程组的思想求解;()本例可将所有项都用a1和表达,转化为有关a1和q的方程组求解；也可运用等比数列的性质来转化,两种措施目的都是消元转化.解 措施一 由已知得：-，得4aq64，aq6=16.代入，得216+6q210.解得=4或q2又数列n为

2、正项数列，q2或.当q=2时,可得a1=,an2=2n，S=n1-;当q=时，可得13.an=32n12-.Sn=626-n.措施二a1a5a24=，2a6=aa，3a7=a6a，由可得即解得或当a=，a2时，q=.q0,q=,由a3a1q2，得a=2,an2n126n.Sn=26n当a2,a5=8时,q2=4,且q0，q2由3=a1q2，得1=an2n-12.Sn=2n-.变式迁移1解 由题意得解得或若则n=,解得q,此时，an2=64n-1,n=6.若则S=16,q=2.an622n.n综上=6,2或.例2 解题导引(1)证明数列是等比数列的两个基本措施: （为与n值无关的常数)(n*）.

3、anan+2 （n0,nN*).()证明数列不是等比数列,可以通过具体的三个持续项不成等比数列来证明,也可用反证法(1)证明由已知n+1=2Sn+n+，nN*，可得n2时,n=2Sn-1+4,两式相减得S1Sn2(SnSn1)，即n1=2n，从而an+11(n1)，当n=1时,S22S1+5,因此a2+1216，又15，因此2=1,从而a212(a1+)，故总有n1+12(n+），n，又a1=5,a110,从而，即数列a1是首项为6，公比为的等比数列(2)解 由(1)得1=621，因此an=6n-1,于是Sn=-n2-n6.变式迁移2（）解a1+2a23ann=(n1)Sn+n(nN*）,当n

4、1时,a12=;当n=2时,a12a2=(a2)+4,a2=4;当n3时，a1a2+a(aa2+3)+6，a3=8.(2)证明 a12a2+3a3+a(）Sn2(nN*),当n时,1+23a3+(1）-1(n）Sn1+2(n-）-得an(n-1）n(n-2)Sn1=(SnSn)-S2Sn12=nan-2Sn12Sn+2Sn-1+0,即S2Sn12,S22(Sn1+2)S12=0，S0,=2,故+是以4为首项，2为公比的等比数列例3解题导引 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件,运用性质,特别是性质“若+npq,则aman=apa”，可以减少运算量,提高解题速度解由已知得+=，a4，a

5、=2.若3，设数列的公比为q，则-22q28，即+1qq22+=.此式显然不成立,经验证，a3符合题意，故a=2.变式迁移3 解 (1)3a11=47,a70，74,b4，bn为等差数列，5b7=()12341aqa1q2a1q3=a=1.a1a14a116=a12a1q31q141q1aq54=8:=q488q16=2，又a4142a43a4a1q40a1q4142aq166a160=(q6）(q6)10=1210=1 024.课后练习区1Ban是由正数构成的等比数列,且2a1，设n的公比为q,则q,且a=1,即3=1.S3=7，+3=+1，即q210故q或q=(舍去)，a=.S5=8（1-

6、）=.2. 由8a2a5，得a1+a1q4=0,因此-，则=-1.3.C 由题可设等比数列的公比为q,则=1+q27q2q-60(q+3)(q)0，根据题意可知q0，故2.因此a+a4+a5q2S3=42184.C a6a18=aq2+5+17(aq8)3=a,即9为定值，所如下标和为9的倍数的积为定值,可知T1为定值.5.D 由于等比数列an中有S=,S=1,即=1q=9,故2，从而1q5=15336.127解析公比q16,且q0，=2，27.7解析 S9=30,即a1(29-1)=30，数列a3，,a9，a9也成等比数列且公比为，a3a6+a9+a99=30=.8.4n-解析 等比数列an

7、的前3项之和为21,公比=4，不妨设首项为1，则a1+aqaa1(+4+16)=211=21,a11，14n14n-1.9解(1)由题设知公差d0,由a1=1,a1，a3，a9成等比数列，得,(分)解得=1或0（舍去）.故a的通项an+（n-1）1=n(7分）(2）由（1）知2n2n,由等比数列前n项和公式,得Sn=22+23+2n2n-2.(2分)10.(1)证明 设lo(an-）log2(an-1)= (n),由于a=3，2,因此d=og2（a2-1)log2(a1)og2-log2=1,（分)因此log2(1），因此an-1n，因此=2(n2),因此an1是以2为首项,为公比的等比数列(6分)（）解由()可得an-1=(a1-1）2n-,因此a=n1，(8分)因此+=+=+1-.（1分)11.解 (1)由已知有a2=1+d，5=14d,a14=1+13,(+4d）2=(1+)(13d).解得=2(d=舍).（2分）n1(n-)=n-1.（3分)又b2=，ba59,数列bn的公比为3,n=33n2n-1.（6分）(2)由+an得当时，+.两式相减得：当n时，=a1-a2（9分)cn=223-1 （2)又当=1时,=a2，c13.c=(11分)c1c3+c10=3+3+(-2010)=32 010.(4分)