高等代数-

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1、线性代数 高等代数 合用专业:数学，系统分析与集成。本试卷共有八大题。1（20分）:设,其中为阶矩阵,并且，求。解：由于（8分)，因此(2分)，而（9分)，这样有:(1分)2(分): 设是n阶可逆方阵, . （)：计算 (是整数）（10分) (2）假设，为6阶方阵,并且 ,求(1分）。解:(1)由于是n阶可逆方阵,因此 ， 因此对任意整数有（1分)。 ()由懂得， (5分）,并且,（分）3(2分)：设为阶矩阵，如果的随着矩阵不为零矩阵,并且。1）求线性方程组(其中为维未知列向量）的通解（12分)。2）进一步如果为3阶对称矩阵，并且每行只有两个非零元素,求(8分）。解：由于,因此至少有一种阶子式

2、不为0(分)，由于，因此(分）。这样我们懂得的基本解系指含一种非零元素,则有1)通解为(4分）。)由于每行只有两个非零元素，并且,因此这两个非零元素应当为形式（4分)，再由为3阶对称矩阵懂得:（4分)。(0分）设，其中为互不相似的整数，求证：存在整系数多项式其在有理数域上不可约和整数,使得。证明:如果,结论显然成立,不妨设结论对次数不不小于的这样多项式成立。对于,如果不可约,则可设,结论成立（5分）。目前设可约,则存在两个整系数非常数多项式使（3分)，则有,因此,由于为互不相似的整数，因此有,则,这样为偶数,并且的首项系数为(6分）。由于，因此，由此懂得至少有个使得或者等于-1,不妨设为1,则

3、可设，这样有：（分)由归纳懂得存在整系数多项式其在有理数域上不可约和整数，使得,因此有。结论得证。(2分)5(3分):设为阶实对称矩阵，并且正定。(1）求证存在正定矩阵使得,并且唯一(15分）。(2）如果，求的特性值和特性向量，由此求（1）中正定矩阵使得（15分)。解：)：设为的个特性值,则存在正交矩阵使得：由于正定，因此所有特性值皆不小于0,这样如果设,则有,并且显然正定（5分）。下面证明唯一。如果，其中正定,则有,设。 正定，因此可以设，其中正定,则有,因此与有相似特性值，而为实对称矩阵,因此懂得懂得特性值皆为实数,但是是反对称矩阵，因此的特性值为或者纯虚数，这样特性值皆为0(反对称矩阵特

4、性值皆为0,则其为零矩阵。这个结论对对称矩阵也成立，但对一般矩阵不成立)，因此,则,而正定，因此可逆，则。得证(0分）。2）:,因此的特性值为1,1，16（分）。当特性值为1时有两个线性无关的特性向量：(5分）,当特性值为16时有一种特性向量为(3分)。此时设，则有：，因此有,并且(分)。6（1分)：设是维空间的子空间,并且,则并且,或者并且（表达线性空间的维数)。证明：由于：(2分），因此有:。又由于（分),如果:,则矛盾(4分）。因此有或者(2分）。当时,我们有并且，则有并且(2分)。当时，我们有并且,则有并且（分)。由此的结论。7(15分）设为维欧氏空间,是上线性变换,若,有,则称为反对称变换。1)求证：为反对称变换充要条件是在任意一组原则正交基下矩阵为反对称矩阵(10分)。2)若是反对称变换的不变子空间,求证：也是的不变子空间(5分)。证明:)设为的原则正交基， 在这组基下矩阵是，则由,有(其中）。)若是反对称变换的不变子空间,则,由于,因此,这样，由 的任意性懂得,则也是的不变子空间。(1分).设是 线性空间,上线性变换称为幂等变换,如果。目前设为上两个幂等变换。求证是幂等变换充足必要条件是，充足必要条件是。证明：由于,，因此(5分）。此时:并且:即，由此充足必要条件是（分)。