高中所有数学公式(理科)

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1、高中数学常用公式及结论一、集合与常用逻辑用语：集合的子集个数共有 个;真子集有个;非空子集有个。2 具有一种量词的否认:量词变化，结论否认 命题命题的否认3 真值表:同真且真,同假或假P或P且q非p真真真 真 假真假 真 假 假假真 真 假 真假假 假 假 真4 常用结论的否认形式:原结论否认词原结论否认词不小于不不小于至少有个至多有（）个都是不都是至多有个至少有（)个至少有一种一种也没有或且至多有一种至少有两个且或5 四种命题的互相关系:（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.)原命题 互逆 逆命题若则q 若q则 互 互 互 为为 互否 否 逆 逆 否 否否命题 逆否命题若非则非

2、 互逆 若非q则非充要条件： (1)、,则P是q的充足条件,反之,q是p的必要条件；(2）、，且q p，则P是q的充足不必要条件；(3)、p p ，且,则P是的必要不充足条件;（4)、p p ，且q p，则P是q的既不充足又不必要条件。(5）、 , A是B的充足条件(小范畴大范畴)二、函数：1 二次函数的解析式的三种形式：（1) 一般式;（） 顶点式;（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式)()零点式；(当已知抛物线与轴的交点坐标为时）2 函数单调性:增函数: f(x）在D上是减函数。（y随x的增大而增大）减函数： f(x)在xD上是减函数。（y随x的增大而减小）等价关系:(1）设那么上是增函数

3、;上是减函数（2)设在某个区间内可导,如果，则增;如果,则减.单调性性质:(1)增函数+增函数=增函数；减函数+减函数减函数；(两个函数定义域交集） (2)增函数-减函数=增函数;减函数-增函数=减函数；（3）与单调性相反，与单调性相反。（故意义的前提)复合函数的单调性：,由和复合,同真异减。3 函数的奇偶性：（注:是奇偶函数的前提条件是：定义域必须有关原点对称)奇函数:在前提条件下,若有，则f（x)就是奇函数。性质：(1）奇函数的图象有关原点对称；（）奇函数在x和x和x上具有相反的单调区间;奇偶函数间的关系：(1)奇函数偶函数=奇函数; 奇函数奇函数=偶函数;(2)偶奇函数偶函数=偶函数;偶

4、函数偶函数偶函数； 奇函数的图象有关原点对称,偶函数的图象有关y轴对称;反过来,如果一种函数的图象有关原点对称,那么这个函数是奇函数；如果一种函数的图象有关y轴对称，那么这个函数是偶函数4 函数的周期性：定义:对函数f（）,若存在,使得f（x+）=f（x) T是f(x）的一种周期。周期函数几种常用的表述形式： （1)f（x+T) - f(x）,此时周期为2 ；(2)f（x+m)=f（n）,此时周期为;(3），此时周期为2m ；()两条对称轴：，此时周期为；(形如)（5)两个对称点：，此时周期为；(形如)(6)一条对称轴:一种对称点:，此时周期为；（形如）5 对称性：对于函数(）, 函数有关y轴

5、对称 函数有关原点对 函数的对称轴是特别地： 函数的对称轴是 函数有关点（,)对称特别地:函数的对称点与互为反函数 与有关对称特别地:与有关对称6 图像变换：平移变换:沿轴方向平移个单位长度 左加右减沿轴方向平移个单位长度 上加下减对称变换：与有关轴对称 与有关轴对称与有关原点对称与有关成轴对称与有关成点对称伸缩变换：纵坐标伸缩为本来的A倍 横坐标伸缩为本来的倍 翻折变换：:作出的图像，保存轴上方图像，将轴下方图像沿着轴翻折上去。：作出的图像，保存轴右方图像，将其沿着有关轴翻折到左边，右边不变。（是偶函数)7分数指数幂与根式的性质:（)(，且)(2）(，且）（3)(4)当为奇数时,;当为偶数时

6、,.8指数式与对数式的互化式： .9 指数与指数函数：指数性质： （1)1、; （2）、（) ;(3）、(4)、 ; (）、 ; 指数函数：（1）、 在定义域内是单调递增函数;（2）、 在定义域内是单调递减函数。注: 指数函数图象都恒过点（0,1） 对数与对数函数:对数性质:若，则(1)、 ；（2）、 ; (3)、 ;(）、 ; （5）、（6)、 ； (7)、 对数的换底公式 : (,且,且,).对数函数:(1）、 在定义域内是单调递增函数；()、在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点(，0)(3)、 （4)、或1 幂函数：幂函数在第一象限的状况:(1)所有的图形都通过(1，1)

7、这点,a不小于,函数过(0,0)；1010(2）当a不小于0时，幂函数为单调递增的，而a不不小于0时,幂函数为单调递减函数。12 平均增长率的问题（负增长时):如果本来产值的基本数为N,平均增长率为,则对于时间的总产值，有.三、导数：1 在处的导数(或变化率)：瞬时速度：.瞬时加速度：.2 函数在点处的导数的几何意义：函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.3几种常用函数的导数：（1） （C为常数).(2) .(3）.(4) .(5） ;.（6) ; 4 导数的运算法则：（1）.（2)(3).5 复合函数的导数：，由和复合，。6 导数在函数中的应用: （1）在区间的单调性与导

8、数: 在内恒有递增 在内恒有递减 在内恒有是常数函数 在递增在递减（2)鉴别是极大（小)值的措施：当函数在点处持续时，（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；（2)如果在附近的左侧,右侧，则是极小值.7 定积分的性质:(1)（）（3）（4)如果在区间a,b上,f()0,则8 微积分基本定理:如果f（x)是a,上的持续函数，并且有（x)f(x)，那么 定积分的几何意义:由持续曲线(）和及围成的平面图形称为曲边梯形 1)若如图5-8所示，则面积为 2)把由直线y=c,=（ (其中)（2）与共线的单位向量为 共面向量 （1)定义：一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。阐明：空间任意的两向量

9、都是共面的。（2）共面向量定理:如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。(3）四点共面：若A、B、C、P四点共面= 8 向量的平行与垂直 :设=,=,且,则:| .(交叉相乘差为零） （) 0.（相应相乘和为零）9线段的定比分公式 ：设，是线段的分点,是实数，且，则()0 三角形的重心坐标公式： ABC三个顶点的坐标分别为、,则BC的重心的坐标是.11 三角形四“心”向量形式的充要条件：设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则()为的外心（外接圆的圆心，中垂线的交点)（2）为的重心(中线的交点,三等分点(中位线比）).(3)为的垂心（高的交点）.(4）为的内心(内切圆的圆心,角平分线

10、的交点）. 六、数列:1 等差数列:(1）通项公式: (） ,其中为首项，d为公差,n为项数 （2）和之间的关系: (注:该公式对任意数列都合用）()前n项和: （1) ;其中为首项,n为项数，为末项。（2） (注：该公式对任意数列都合用)（)常用性质:（1)、若+=p+q,则有 ；注：若的等差中项,则有2、m、成等差。(2)、若、为等差数列，则为等差数列。(）、为等差数列,则也成等差数列。(4)、; （4）等差数列的鉴定措施:定义法：或(为常数)是等差数列中项公式法:是等差数列通项公式法:(为常数)是等差数列前项和公式法:(为常数)是等差数列注意：是用来证明是等差数列的理论根据。2 等比数列

11、:（1）通项公式:（） ,其中为首项，n为项数,q为公比。（)和之间的关系: (注:该公式对任意数列都合用)（2）前项和：(1) (注:该公式对任意数列都合用）(2） (3）常用性质:(1）、若m+n+ ,则有 ；注:若的等比中项,则有n、m、成等比。（)、若、为等比数列，则为等比数列。（)、为等比数列,则也成等比数列。（4)等比数列的鉴定措施：定义法:或（是不为零的常数）是等比数列中项公式法：是等差数列通项公式法：（是不为零常数)是等差数列前项和公式法:(是常数)是等差数列注意:是用来证明是等比数列的理论根据。3 分期付款(按揭贷款) :每次还款元(贷款元,次还清，每期利率为）七、不等式:1

12、 一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外，异号两根之间.即：； 具有绝对值的不等式 :当a 0时，有.或.3 常用不等式:(1)(当且仅当=b时取“”号)(2）(当且仅当a=b时取“=”号)(3)（4）.（5)(当且仅当a=b时取“=”号)。4 不等式定理：已知都是正数，则有（1)求和的最小值：,当且仅当取等号;,当且仅当取等号。当且仅当取等号。(）求积的最大值：,当且仅当取等号； ，当且仅当取等号。（3）已知，若则有。（)已知 ，若则有 柯西不等式:当且仅当时,（）等号成立。 当且仅当等号成立。柯西不等式的一般形式:当且仅当或存在

13、一种数,使时，等号成立。八、立体几何:1 线线平行的判断： 如果一条直线和一种平面平行,通过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。如果两个平行平面同步和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 垂直于同一平面的两直线平行。2线线垂直的判断： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直。若始终线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。3 线面平行的判断: 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那

14、么这条直线和这个平面平行。两个平面平行，其中一种平面内的直线必平行于另一种平面。面面平行的判断:一种平面内的两条相交直线分别平行于另一种平面内两相交直线,这两个平面平行。垂直于同一条直线的两个平面平行。5 线面垂直的判断:如果始终线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。如果两条平行线中的一条垂直于一种平面,那么另一条也垂直于这个平面。始终线垂直于两个平行平面中的一种平面，它也垂直于另一种平面。如果两个平面垂直,那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面。6 面面垂直的判断: 一种平面通过另一种平面的垂线，这两个平面互相垂直。7 空间角的求法:(所有角的问题最后都要转化为解三角

15、形的问题，特别是直角三角形)(）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范畴：；注意:若异面直线中一条直线是三角形的一边,则平移时可找三角形的中位线。有的还可以通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一种底面是正方形的长方体。(）线面所成的角：斜线与平面所成的角：斜线与它在平面内的射影所成的角。范畴（）二面角:核心是找出二面角的平面角。措施有:定义法;三垂线定理法;垂面法;定义法：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线民主两条射线所成的叫叫做二面角的平面角。注意：还可以用射影法:；

16、其中为二面角的大小,为内的一种封闭几何图形的面积；为内的一种封闭几何图形在内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。8 夹角公式：设=,则 ()线线夹角（共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角,（2)线面夹角:求线面夹角的环节：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角,则取其补角；再求其他角，即是线面的夹角(3)面面夹角(二面角):若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角;法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角 9 求点到面的距离的措施：直接法：直接拟定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）;转移法:转化为另一点到该平面的距离(运用线面

17、平行的性质）;体积法：运用三棱锥体积公式。向量法:到平面的距离:(为平面的法向量,，是的斜线段）.10 空间向量的坐标运算：设=,=则：（1) +；(2) -=；(3)= （R)；(）=;1 球的半径是R,则其体积,其表面积12 球的组合体： (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. ()球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长， 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3）球与正四周体的组合体: 棱长为的正四周体的内切球的半径为（正四周体高的)，外接球的半径为(正四周体高的).13 多面体:（)棱柱:

18、两底面互相平行，侧面都是平行四边形,侧棱平行且相等棱柱侧棱不垂直于底面斜棱柱侧棱垂直于底面直棱柱底面是正多边形正棱柱;四棱柱底面是平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面是矩形 长方体底面是正方形正四棱柱棱长都相等正方体。(2）正棱锥：底面是正多边形,侧面是等腰三角形，顶点在底面内的射影是底面中心性质:、平行于底面的截面和底面相似,截面的边长和底面的相应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；、正棱锥性质:各侧面都是全等的等腰三角形；通过四个直角三角形，

19、,实现边,高，斜高间的换算ABCDPOH面积：(为底周长,为斜高)体积:（为底面积，为高）(）正四周体：对于棱长为正四周体的问题可将它补成一种边长为的正方体问题。对棱间的距离为(正方体的边长）正四周体的高（)正四周体的体积为（）正四周体的中心究竟面与顶点的距离之比为()外接球的半径为（是正方体的外接球，则半径）内切球的半径为(是正四周体中心到四个面的距离,则半径）九、平面解析几何：1 斜率公式：（、)y=tan2 直线的五种方程:(1）点斜式 （直线过点，且斜率为）.（2)斜截式(为直线在轴上的截距).（3）两点式 (）(、 ().两点式的推广:(无任何限制条件!)(4）截距式(分别为直线的横

20、、纵截距,)(5）一般式 （其中A、不同步为0).3 点到直线的距离 :(点，直线:）.4 两平行线间距离：5 圆的四种方程：(1）圆的原则方程 .（）圆的一般方程 (0).（3）圆的参数方程 .()圆的直径式方程 （圆的直径的端点是、）. 点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种:（直接代点简朴）若,则点在圆外;点在圆上; 点在圆内.7 直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有三种: (）; ; 8两圆位置关系的鉴定措施：设两圆圆心分别为O1,O，半径分别为r1，r，,则：;；. 椭圆方程的定义:椭圆的原则方程：i.中心在原点,焦点在轴上:. i. 中心在原点,焦点在轴上:. 一般方程:椭圆

21、上点到焦点的距离最大值和最小值在长轴端点获得（近日点和远日点）焦点到相应准线的距离(焦准距)。过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为：. 若P是椭圆：上的点.为焦点，若,则的面积为(用余弦定理与可得） 若是双曲线，则面积为. 椭圆的的内外部:(1）点在椭圆的内部.(2）点在椭圆的外部2 双曲线的第一定义：双曲线原则方程： 一般方程:.准线到中心的距离为,焦点到相应准线的距离(焦准距)。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：.13 双曲线的方程与渐近线方程的关系：（1)若双曲线方程为渐近线方程： （2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（,焦点在x轴上,焦点在y轴

22、上)（4）焦点到渐近线的距离总是。（会推,可以不记)4 抛物线方程:设,抛物线的原则方程、类型及其几何性质：图形焦点准线范畴对称轴轴轴顶点 (0,)离心率焦点注：通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.（或）的参数方程为（或)(为参数）5 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 1 圆锥曲线的统一定义注:椭圆、双曲线、抛物线的原则方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值2（aF1F2|）的点的轨迹1.到两定点F1,2的距离之差的绝对值为定值a(02|F1F2|)的点的轨迹.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹()与定点和直线的距离相等的点的轨迹方程原则方程(0)(a，)

23、y=2px参数方程(t为参数)范畴x,yb| a,yx中心原点O（0,0)原点O（，0)顶点（a,0),(a,）, (0,b), （0，)(a,0）， (a,0）(0,0）对称轴轴，y轴；长轴长a,短轴长2bx轴,轴;实轴长a, 虚轴长2.轴焦点F1(c,),F(,0)F1(c，0), (c,0)焦距2c （c）2c (c=)离心率e=1准线x=x=渐近线x焦半径通径2十、计数原理、概率、随机变量及其分布 分类计数原理(加法原理):.分步计数原理（乘法原理)：2 排列数公式 ：=.(,N*,且）.规定.3 组合数公式：=（N*，且）.组合数的两个性质:(1) ;(） +=.规定4 二项式定理

24、；二项展开式的通项公式.的展开式的系数关系:； ;。 事件的关系与运算关系：如果事件A的构成部分也是事件B的构成部分，（A发生必有事件B发生)：并事件（和事件）:A、B中至少有一种发生的事件:AB，或者A+。且事件(积事件):、B同步发生：AB,或者AB。互斥事件:AB，表达A与B不也许同步发生。基本领件是互斥的。对立事件：-A称为事件的逆事件，记为。=且属于A而不属于的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表达为A-AB或者,它表达A发生而不发生的事件。运算： 结合率:A（BC）=(A)C (BC）=(AB)C 分派率:（B)C(A)（BC) (AB）C(AC)(BC)6 德摩根

25、率： ,7 古典概型1 ，。设任一事件,它是由构成的,则有P(A) 8 几何概型 若随机实验的成果为无限不可数并且每个成果浮现的也许性均匀,同步样本空间中的每一种基本领件可以使用一种有界区域来描述，则称此随机实验为几何概型。对任一事件,。其中为几何度量（长度、面积、体积)。9 条件概率 设A、B是两个事件,且P(A)0,则称为事件A发生条件下,事件发生的条件概率，记为。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P（/B)1P（/A)1-P(B/A)1 互斥事件A，B分别发生的概率的和:(A）=P(A)P(B).个互斥事件分别发生的概率的和:P(A12+An)=(1)+P（2)P

26、(An).1 独立事件A,B同步发生的概率：P(B)=P（A)P（).n个独立事件同步发生的概率:（A1 )=P(1) P（A2) P(An).12 n次独立反复实验中某事件正好发生k次的概率：13 数学盼望:数学盼望的性质（1) (2）若,则(3） 若服从几何分布,且,则14 方差:原则差：.方差的性质:(1)；(2)若，则.(3） 若服从几何分布,且，则.方差与盼望的关系：15 正态分布密度函数:,式中的实数,(0）是参数，分别表达个体的平均数与原则差.对于,取值不不小于x的概率：十一、数系的扩大与复数的引入1 复数的定义：形如的数叫复数,叫复数的实部,叫复数的虚部注：称为复数的代数形式其

27、中 复数与实数的关系:3 复数的相等：.() 共轭复数:1复数的共轭复数记作,即2.的性质:如果，则有 3法则(分母实数化法)：5 复数的几何意义1.复平面:建立了直角坐标系来表达复数的平面;轴叫做实轴,轴叫做虚轴注:实轴上的点表达实数；虚轴上的点（除原点）都表达纯虚数复数复平面内的点 3复数复平面上的平面向量 规定:相等的向量表达同一复数.模:向量的模叫做复数的模,记作或,则 6 复平面上的两点间的距离公式：（,).十二、常用曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为，半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线