初等数论练习题

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1、初等数论练习题信阳职业技术学院2010年12月初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=_； (2420)=_。2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_。3、模9的绝对最小完全剩余系是_。4、同余方程9x+120(mod 37)的解是_。5、不定方程18x-23y=100的通解是_。6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_。7、18100被172除的余数是_。8、 =_。9、若p是素数，则同余方程x p -11(mod p)的解数为 。二、计算题1、解同余方程：3x2+11x-200 (mod 105)。2、判断同余方程x242(mod 107)是否有解？3、求（127156

2、+34）28除以111的最小非负余数。三、证明题1、已知p是质数，（a,p）=1，证明：（1）当a为奇数时，ap-1+(p-1)a0 (mod p)；（2）当a为偶数时，ap-1-(p-1)a0 (mod p)。2、设a为正奇数，n为正整数，试证1(mod 2n+2)。3、设p是一个素数，且1kp-1。证明： （-1 ）k(mod p)。4、设p是不等于3和7的奇质数，证明：p61(mod 84)。初等数论练习题二一、填空题1、d(1000)=_；(1000)=_。2、2010!的标准分解式中，质数11的次数是_。3、费尔马(Fermat)数是指Fn=+1,这种数中最小的合数Fn中的n=_。4

3、、同余方程13x5(mod 31)的解是_。5、分母不大于m的既约真分数的个数为_。6、设7(80n-1),则最小的正整数n=_。7、使41x+15y=C无非负整数解的最大正整数C=_。8、=_。9、若p是质数，np - 1，则同余方程x n 1 (mod p) 的解数为 。二、计算题1、试求被19除所得的余数。2、解同余方程3x14+4x10+6x-180 (mod 5)。3、已知a=5,m=21,求使ax 1 (mod m)成立的最小自然数x。三、证明题1、试证13|(54m+46n+2000)。(提示：可取模13进行计算性证明)。2、证明Wilson定理的逆定理：若n 1，并且(n -

4、1)! -1 (mod n)，则n是素数。3、证明：设ps表示全部由1组成的s位十进制数，若ps是素数，则s也是一个素数。4、证明：若2p + 1是奇素数，则 (p!)2 + (-1)p 0 (mod 2p + 1)。5、设p是大于5的质数，证明：p41(mod 240)。初等数论练习题三一、单项选择题1、若n1，j(n)=n-1是n为质数的（ ）条件。 A.必要但非充分条件 B.充分但非必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件2、设n是正整数，以下各组a，b使为既约分数的一组数是（）。A.a=n+1,b=2n-1 B.a=2n-1,b=5n+2 C.a=n+1,b=3n+1D.a=3

5、n+1,b=5n+23、使方程6x+5y=C无非负整数解的最大整数C是（）。A.19B.24 C.25D.304、不是同余方程28x21(mod 35)的解为（）。 A.x2(mod 35) B. x7(mod 35) C. x17(mod 35)D. x29(mod 35)5、设a是整数，(1)a0(mod9) (2)a2010(mod9)(3)a的十进位表示的各位数码字之和可被9整除(4)划去a的十进位表示中所有的数码字9，所得的新数被9整除以上各条件中，成为9|a的充要条件的共有（）。A.1个B.2个 C.3个 D.4个二、填空题1、(2010)=_；(2010)=_。2、数的标准分解式

6、中，质因数7的指数是_。3、每个数都有一个最小质因数.所有不大于10000的合数的最小质因数中，最大者是_。4、同余方程24x6(mod34)的解是_。5、整数n1，且(n-1)!+10(mod n),则n为_（填：素数或合数）。6、3103被11除所得余数是_。7、=_。三、计算题1、判定() 2x3 - x2 + 3x - 1 0 (mod 5)是否有三个解；() x6 + 2x5 - 4x2 + 3 0 (mod 5)是否有六个解？2、设n是正整数，求 的最大公约数。3、已知a=18,m=77,求使ax 1 (mod m)成立的最小自然数x。四、证明题 1、若质数p5,且2p+1是质数，

7、证明：4p+1必是合数。2、设p、q是两个大于3的质数，证明：p2q2(mod 24)。3、若x,yR+ ,（1）证明：xyxy； （2）试讨论xy与xy的大小关系。注：我们知道，x+yx+y，x+yx+y。此题把加法换成乘法又如何呢？4、证明：存在一个有理数，其中d 0是偶数，a1, a2, L, am与b1, b2, L, bm都是模m的完全剩余系，证明：a1 + b1, a2 + b2, L, am + bm不是模m的完全剩余系。4、证明：（1）2730x13-x； （2）24x(x+2)(25x2-1)；（3）504x9-x3；（4）设质数p3，证明：6pxp-x。初等数论练习题五一、

8、单项选择题 1、设x、y分别通过模m、n的完全剩余系，若（ ）通过模mn的完全剩余系。A.m、n都是质数，则my + nx B. mn，则my + nx C. （m，n）=1，则my + nx D. （m，n）=1，则mx + ny2、13520032005的标准分解式中11的幂指数是( )。A.100 B.101 C.99 D.1023、n为正整数，若2n-1为质数，则n是( )。A.质数 B.合数 C.3 D.2k(k为正整数)4、从100到500的自然数中，能被11整除的数的个数是( )。A.33 B.34 C.35 D.365、模100的最小非负简化剩余系中元素的个数是( )。A.10

9、0 B.10 C.40 D.4二、填空题 1、同余方程ax+b0(modm)有解的充分必要条件是_。2、高斯称反转定律是数论的酵母，反转定律是指_。3、20112011被3除所得的余数为_。4、设n是大于2的整数，则(-1)(n)=_。5、单位圆上的有理点的坐标是_。6、若3258a恰好是一个正整数的平方，则a的最小值为_。7、=_三、计算题 1、求3200872009132010的个位数字。2、求满足j(mn)=j(m)+j(n)的互质的正整数m和n的值。3、甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买这三样东西共100斤，问各买几斤?四、证明题 1、已知2011是质数，则有

10、2011|。2、设p是4n+1型的质数，证明若a是p的平方剩余，则p-a也是p的平方剩余.3、已知p,q是两个不同的质数，且ap-11 (mod q), aq-11 (mod p), 证明：apqa (mod pq)。4、证明：若m,n都是正整数，则j(mn)=（m,n）j(m,n)。初等数论练习题六一、填空题 1、为了验明2011是质数，只需逐个验算质数2，3，5，p都不能整除2011，此时，质数p至少是_。2、最大公因数(4n+3,5n+2)的可能值是_。3、设340!，而3+140!，即340!，则=_。4、形如3n+1的自然数中，构成模8的一个完全剩余系的最小的那些数是_。5、不定方程

11、x2+y2=z2,2|x, (x,y)=1, x,y,z0的整数解是且仅是_ 。6、21x9 (mod 43)的解是_。7、 =_。二、计算题1、将写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。2、若3是质数p的平方剩余，问p是什么形式的质数？3、判断不定方程x2+23y=17是否有解？三、证明题1、试证对任何实数x,恒有x+x+=2x。2、证明：（1）当n为奇数时，3（2n+1）； （2）当n为偶数时，3（2n+1）。3、证明：（1）当3n（n为正整数）时，7（2n-1）； （2）无论n为任何正整数，7（2n+1）。4、设m0，n0，且m为奇数，证明：（2m-1，2n+1）=1。初等数论

12、练习题七一、单项选择题 1、设a和b是正整数，则=（）。A1 Ba CbD(a,b)2、176至545的正整数中，13的倍数的个数是（）。A27 B28 C29D303、200!中末尾相继的0的个数是（）。A49 B50 C51D524、从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是（）。A2的倍数 B3的倍数 C4的倍数D5的倍数5、设n是正整数，下列选项为既约分数的是（）。A B CD二、填空题 1、314162被163除的余数是_。2、同余方程3x5(mod13)的解是_。3、4、-_。5、为使n-1与3n的最大公因数达到最大的可能值，则整数n应满足条件_。6、如果一个正整数

13、具有21个正因数，问这个正整数最小是_。7、同余方程x3+x2-x-10(mod 3)的解是_。三、计算题1、求不定方程x + 2y + 3z = 41的所有正整数解。2、有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？3、判断同余方程是否有解?四、证明题 1、设(a, m) = 1，d0是使a d 1 (mod m)成立的最小正整数，则() d0j(m)；()对于任意的i，j，0 i, j d0 - 1，i j，有a ia j (mod m)。2、证明：设a，b，c，m是正整数，m 1，(b, m) = 1，并且b

14、 a 1 (mod m)，b c 1 (mod m)， 记d = (a, c)，则bd 1 (mod m)。3、设p是素数，pbn - 1，nN，则下面的两个结论中至少有一个成立：() pbd - 1对于n的某个因数d 2，则()中的mod n可以改为mod 2n。初等数论练习题八一、单项选择题 1、若n 1，则(n - 1)! -1 (mod n)是n为素数的（ ）。 A.必要但非充分条件 B.充分但非必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件2、小于545的正整数中，15的倍数的个数是（ ）。A.34 B.35 C.36 D.373、500!的标准分解式中7的幂指数是（ ）。A.79

15、 B.80 C.81 D.824、以下各组数中，成为模10的简化剩余系的是（ ）。A.1,9,3,1 B.1,1,7,9 C.5,7,11,13 D.1,1,3,35、设n是正整数，下列选项为既约分数的是（ ）。A. B. C. D. 二、填空题1、（120）=_。2、7355的个位数字是_。3、同余方程3x5(mod14)的解是_。4、（）=_。5、-_。6、如果一个正整数具有6个正因数，问这个正整数最小是_。7、同余方程x3+x2-x-10(mod 5)的解是_。三、计算题 1、已知563是素数，判定方程x2 429 (mod 563)是否有解。2、求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余。

16、3、试求出所有正整数n ，使得1n2n3n4n 能被5整除。四、证明题 1、证明：若质数p2，则2P-1的质因数一定是2pk+1形。2、设（m,n）=1,证明：mj(n)+n j(m) 1 (mod mn)。3、设（a,b）=1,a+b0,p为一个奇质数，证明：。初等数论练习题九一、单项选择题1、以下Legendre符号等于-1的30被-1是( )。A. B. C. D. 2、100至500的正整数中，能被17整除的个数是( )。A. 23B. 24C. 25D. 263、设 |500!，但500！，则=( )。A. 245B.246C.247D. 2484、以下数组中，成为模7的完全剩余系的

17、是( )。A. 14，4，0，5，15，18，19B. 7，10，14，19，25，32，40C. 4，2，8，13，32，35，135D. 3，3，4，4，5，5，05、设n是正整数，则以下各式中一定成立的是( )。A.(n+1,3n1)=1 B.（2n1,2n1）=1 C.（2n,n1）=1 D.（2n1,n1）=1二、填空题 1、25736被50除的余数是_。2、同余方程3x5(mod16) 的解是_。3、不定方程9x12y=15的通解是_。4、 =_。5、实数的小数部分记为x ，则 _。6、为使3n与4n1 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n应满足条件_。7、如果一个正整数具有35

18、个正因数，问这个正整数最小是_。三、计算题 1、解不定方程9x24y5z=1000。2、设A = x1, x2, L, xm是模m的一个完全系，以x表示x的小数部分，若(a, m) = 1，求。3、设整数n 2，求：。即在数列1, 2, L, n中，与n互素的整数之和。4、设m 1，(a, m) = 1，x1, x2, , xj(m)是模m的简化剩余系，求：。其中x表示x的小数部分。四、证明题 1、证明：设a是有理数，b是使ba为整数的最小正整数，若c和ca都是整数，则bc。(提示：利用带余数除法解决。) 2、设p是素数，证明：() 对于一切整数x，xp - 1 - 1 (x - 1) (x

19、- 2)L(x - p + 1) (mod p)；() (p - 1)! - 1 (mod p)。3、证明：若2n，p是奇质数，pan-1,则。4、证明：若p=4m+1是一质数，则。5、设p是奇质数，p 1 (mod 4)，则： -1 (mod p)。初等数论练习题十一、单项选择题1、设p是大于1的整数，如果所有不大于的质数都不能整除p，则p一定是（ ）。A.素数 B.合数 C.奇数 D. 偶数2、两个质数p，q，满足p+q=99，则的值是（）。A.9413 B.C. D.3、2010！的标准分解式中，7的最高幂指数为（）。A331 B332 C333 D3344、n为正整数，若2n+1为质数

20、，则n是（）。A质数 B合数 C1 D2k(k为非负整数)5、当n2时，欧拉函数j(n)一定是（ ）。 A奇数 B偶数 C1 D2二、填空题1、如果p是质数，a是整数，则有（a，p）=1或者_。2、设p是奇质数,(a,p)=1,则a是模p的平方非剩余的充要条件是_。3、1000开始到2010结束的所有整数中13的倍数有_个。4、2756839-1的末位数是_。5、不定方程ax+by=c有解的充要条件是_。6、写出模12的一个最小非负简化系，要求每项都是7的倍数，此简化系为_。7、已知563是质数，则=_。三、计算题 1、若3是质数p的平方剩余，问p是什么形式的质数？2、求使12347!被35k整除的最大的k值。四、证明题 1、证明：设是一个质数，则存在唯一的一个正整数x，使得：。2、已知9901是素数，试证：。3、证明：若p=10n-1是个质数，则。（提示：利用勒让德符号解决。）4、设p=4n+3是质数，证明当q=2p+1也是质数时，梅森数Mp=2p-1不是质数。由此证明：23|（211-1），47|（223-1），503|（2251-1）。5、证明：设p是大于5的质数，则。（利用Wilson定理解决，只需证明：p(p+1) | (p-1)!+p+1。）