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1、第五节、克莱姆法则第五节、克莱姆法则 重要概念重要概念 克莱姆法则克莱姆法则 例子例子设设 元线性方程组元线性方程组非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念则称此方程组为则称此方程组为 非非齐次线性方程组齐次线性方程组;齐次线性方程组齐次线性方程组.此时称方程组为此时称方程组为 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即注注:克莱姆法则的证明主要利用了代数余子式的克莱姆法则的证明主要利用了代数余子式的性质性质.一、一、克莱姆法则克莱姆法则如果线性方程组如果线性方程组的系数
2、行列式不等于零的系数行列式不等于零.其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为(2)证明：证明：先征明（先征明（2）式（）式（1）的解，只需要验证）的解，只需要验证(2)满足（满足（1）中的每一个方程，即）中的每一个方程，即去分母去分母9线性代数15克莱姆法则课件将将 代入上式左端得代入上式左端得10线性代数15克莱姆法则课件再证明唯一性，设再证明唯一性，设为（为（1）的任意解。）的任
3、意解。只需证明只需证明11线性代数15克莱姆法则课件因为因为 是（是（1）的解，故）的解，故 12线性代数15克莱姆法则课件有行列式的性质有行列式的性质4和和713线性代数15克莱姆法则课件所以所以同理同理所以（所以（1）的解是唯一的）的解是唯一的.14线性代数15克莱姆法则课件二、重要定理二、重要定理定理定理1 1 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一的.定理定理2 2 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零.齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组
4、的相关定理定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 没有非零解没有非零解.定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 有非零解有非零解,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零.有非零解有非零解.系数行列式系数行列式例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组解解例例2 2 用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组解解例例3 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.1.1.用克莱姆法则解方程组的两个条件用克莱姆法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.2.2.克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导.三、小结三、小结思考题思考题当线性方程组的当线性方程组的系数行列式系数行列式为为零零时时,能否用克莱姆法则解方程组能否用克莱姆法则解方程组?思考题解答思考题解答1、不能。不能。2、此时方程组的、此时方程组的解为无解解为无解或有或有无穷多解无穷多解.
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