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1、 第 6 1 讲 坐标系及简单的极坐标方程 【学习目标】 1 . 理解坐标系的概念 ， 体会平面直角坐标系、柱坐标 系、球坐标系中刻画点的位置的方法与作用； 2 . 理解极坐标系及极坐标的有关概念 ， 掌握简单曲线 的极坐标方程 . 【基础检测】 1 . 点 M 的直角坐标是 ( 1 ， 3 ) ， 则点 M 的极坐标为 ( ) A. 2 ， 3 B. 2 ， 3 C. 2 ， 2 3 D. 2 ， 2k 3 ， ( k Z ) C 【解析】 1 2 3 2 2 ， tan 3 1 3 ， 因为点 1 ， 3 在第二象限 ， 所以 2 3 . 所以点 M 的极 坐标为 2 ， 2 3 . 故
2、C 正确 . 2 . 将极坐标 2 ， 3 2 化为直角坐标为 ( ) A . (0 ， 2 ) B.(0 ， 2) C . (2 ， 0 ) D.( 2 ， 0 ) B 【解析】 x 2 cos 3 2 0 ， y 2 s in 3 2 2 ， 所以选 B. 3 . 在极坐标系中 ， 点 2 ， 3 到圆 2 c os 的圆 心的距离为 ( ) A . 2 B. 4 2 9 C. 9 2 9 D. 7 D 【解析】 在直角坐标系中 ， 点 2 ， 3 的坐标即 1 ， 3 ， 圆 2cos 的方程为 x 2 y 2 2 x ， 即 ( x 1) 2 y 2 1 ， 所以所求距离为 （ 1 1
3、 ） 2 （ 3 0 ） 2 7 . 选 D. 4 . 在极坐标系中 ， 与圆 4 sin 相切的一条直线方 程为 ( ) A . sin 2 B . cos 2 C . cos 4 D . cos 4 B 【解析】 将极坐标方程化为直角坐标方程得：圆 4 sin 2 4 s in 的直角坐标方程： x 2 y 2 4 y ， 化 为标准方程得 x 2 ( y 2) 2 4 ， 知其圆心为 (0 ， 2 ) ， 半径为 2. 对于 A ： sin 2 y 2 ； 对于 B ： cos 2 x 2 ； 对于 C ： cos 4 x 4 ； 对于 D ： cos 4 x 4 ；作出草图知只有直 线
4、 x 2 与已知圆相切；故选 B. 5 . 已知曲线 C 1 ， C 2 的极坐标方程分别为 cos 3 ， 4 cos 0 ， 0 2 ， 则曲线 C 1 C 2 交点的极坐 标为 . 【解析】 解方程组 cos 3 4 cos 得 2 3 6 . 2 3， 6 【知识要点】 1 . 平面直角坐标系 ， 空间直角坐标系 2 . 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 3 . 极坐标系与点的极坐标 在平面上取一个定点 O ， 自点 O 引一条 射线 Ox ， 同 时确定一个长度单位、一个角度单位 ( 通常取弧度 ) 及其正 方向 ( 通常取逆时针方向 ) ， 这样就建立了一个极坐标系 . 其中 ， 点
5、 O 称为极点 ， 射线 Ox 称为极轴 . 如图所示 ， 设 M 是平面上任一点 ， 表示 OM 的长度 ， 表示以射线 OX 为始边 ， 射线 OM 为终边所成的角 ， 那么 ， 有序 数对 称为点 M 的极坐标 . 显然 ， 每一个有序实数对 ( ， ) 决定一个点的位置 . 其中 ， 称为点 M 的 ， 称为点 M 的 . 由极径的意义可知 0 ， 当极角 的取值范围是 0 ， 2 ) 时 ， 平面上的点 ( 除去极点 ) 就与极坐标 ( ， )( 0) 建立一一对应的关系 ， 我们约定 ， 极点的极坐标是极径 0 ， 极角 可取任意角 . (,) 极径 极角 为了研究方便 ， 在极坐
6、标中 ， 极径 允许取负值 ， 极 角 也可以取任意的正角或负角 . 当 0 时 ， 点 M( ， ) 位于极角终边的 ， 且 OM | . 一般地 ， 如果 ( ， ) 是点 M 的极坐标 ， 那么 ( ， 2k ) 或 ( ， (2k 1) )(k Z) 都可以作为点 M 的 极坐标 ， 但这样建立的极坐标系 ， 平面上的点与它的极坐 标之间就不是一一对应关系 . 反向延长 线上 4 . 点的极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系的原点 O 为极点 ， x 轴的正 半轴为极轴 ， 且在两种坐标系中取相同的长度 单位 ( 如图 ). 平面内任意一点 M 的直角坐标与 极坐标分别为 (x ， y
7、 ) 和 ( ， ) ， 则由三角函数 的定义可以得到如下两组公式： _ _ . 通常情况下 ， 将点的直角坐标化为极坐标时 ， 取 0 ， 0 0) 的一个交点在极轴上 ， 则 a . 2 2 1 【解析】 (1 ) 圆 2 的直角坐标方程为 x 2 y 2 4 ， 直线 ( cos 3 sin ) 6 的直角坐标方程为 x 3 y 6 0. 圆心 (0 ， 0 ) 到直线的距离 d 6 2 3 ， 圆上的点到 直线的距离的最小值为 d r 3 2 1. (2) 曲线 C 1 的直角坐标方程是 2 x y 1 ， 曲线 C 2 的普通方程是直角坐标方程 x 2 y 2 a 2 ， 因为曲线
8、C 1 ： ( 2 cos s in ) 1 与曲线 C 2 ： a(a0) 的一个 交点在极轴上 ， 所以 C 1 与 x 轴交点横坐标与 a 值相等 ， 由 y 0 ， x 2 2 ， 知 a 2 2 . 【点评】 (1) 极坐标系与直角坐标系在满足极点、极轴 分别与原点、 x 轴正半轴重合时 ， 可用 x c os ， y sin 将直角坐标方程化为极坐标方程；反之 ， 利用 2 x 2 y 2 ， tan y x (x 0) 可以将直角坐标方程化为 极坐 标方程 . (2) 求解与极坐标有关的问题 ， 应注意先化为直角坐标 后解决较为方便 . 三、综合应用 例 4 在极坐标系中 ， 已
9、知 A( 2 ， 0 ) 到直线 l ： s in 4 m( m0) 的距离为 3. (1) 求 m 的值 . (2) 设 P 是直线 l 上的动点 ， 点 Q 在线段 OP 上 ， 满 足 OP OQ 1 ， 求点 Q 的轨迹方程 . 【解析】 (1) 以极点为原点 ， 极轴为 x 的正半轴建立直 角坐标系 ， 则 A 2 ， 0 ， 直线 l 的直角坐标方程是： x y 2 m 0 ， A 到 l 的距离 d 2 2 m 2 3, 所以 m 2. (2) 由 (1) 得直线 l 的极坐标方程为 sin 4 2 ， 设 Q( ， ) ， P ( 0 ， 0 ) ， 则 0 1 0 ， 所以
10、0 1 0 . P l ， 0 sin 0 4 2 ， 1 s in 4 2 ， 点 Q 的轨迹方程是： 1 2 sin 4 . 【点评】 求解与极坐标有关的问题 ， 主要有两种 方法： 一是直接利用极坐标求解 ， 求解时可与数形结合 思想结合在一起 应用；二是转化为直角坐标后 ， 用直 角坐标求解 ， 使用后一种时应注意 ， 若结果要求的是 极坐标 ， 还应将直角坐标化为极坐标 . 备选题例 5 在极坐标系中 ， 直线 C 1 的极坐标 方程为 sin 2 ， M 是 C 1 上任意一点 ， 点 P 在射线 OM 上 ， 且满足 | OP| |OM| 4 ， 记点 P 的轨迹为 C 2 .
11、(1) 求曲线 C 2 的极坐标方程； (2) 求曲线 C 2 上的点到直线 C 3 ： cos 4 2 距离的最大值 . 【解析】 (1) 设 P( ， ) ， M ( 1 ， ) ， 依题意有 1 sin 2 ， 1 4. 消去 1 ， 得曲线 C 2 的极坐标方程为 2 sin ( 0). (2) 将 C 2 ， C 3 的极坐标方程化为直角坐标方程得 C 2 ： x 2 (y 1) 2 1 ， C 3 ： x y 2. C 2 是以点 (0 ， 1 ) 为圆心 ， 以 1 为半径的圆 ， 圆心 到直线 C 3 的距离 d 3 2 2 ， 故曲线 C 2 上的点到直线 C 3 距离的最大值为 1 3 2 2 . 1 . 点 M( ， ) 的极坐标通式是 ( ， 2k ) 或 ( ， 2k )(k Z ). 如果限定 0 ， 0 2 或 0 k 2 k 3 或 k 0 k 2 k 3 ， 解得 k 1.
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