2017届高考数学一轮总复习第十章选修系列第59讲相似三角形的判定与性质课件文新人教A版.ppt

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1、第十章 选修 4系列 1.几何证明选讲 2.坐标系与参数方程 3.不等式选讲 第 59讲 相似三角形的判定与性质 【学习目标】 1 .了解相似三角形的定义 ， 会应用相似 三角形的三个 判定定理进行推理证明 . 2 .了解平行线分线段成比例定理 . 3 . 会灵活应用直角三角形射影定理进行运算求解和 推理论证 . 【基础检测】 1 .如图 ， AB EM DC ， AE ED ， EF BC ， EF 12 cm ， 求 BC 的长 . 【解析】 AB EM DC AE ED E 为 AD 的中点 ， M 为 BC 的中点 .又 EF BC EF MC 12 cm ， BC 2MC 24 cm

2、 . 2 .如图 ， 在 ABC 中 ， M 是 AC 的中点 ， 点 E 在 AB 上 ， 且 AE 1 4 AB ， 连接 EM 并延长交 BC 的延长 线于点 D ， 则 BC CD ( ) A . 2 1 B . 3 1 C . 3 2 D . 4 1 【解析】 如图所示 ， 过点 C 作 CF AB 交 DE 于点 F. CF AE 1 ， 又 AE 1 4 AB ， CF BE 1 3 . CF AB ， CD BD CF BE 1 3 . BC CD 2 1 .故选 A . A 3 .如图 ， 在 ABC 和 DBE 中 ， AB DB BC BE AC DE 5 3 ， 若 A

3、BC 与 DBE 的周长之差为 10 cm ， 则 ABC 的周长为 ( ) A . 20 cm B. 25 4 cm C. 50 3 cm D.25 cm D 【解析】 在 ABC 和 DBE 中 ， AB DB BC BE AC DE 5 3 ， ABC DBE ， 相似比等于 5 3 .设 ABC 的周 长为 x ， 则 DBE 的周长为 3 5 x ， 又 ABC 与 DBE 的周长之差为 10 cm ， 即 x 3 5 x 10 ， 解得 x 25 cm ， 故选 D . 4 .如果直角三角形 ABC 中 ， CD 是斜边 AB 上的 高 ， 且 DC 5 ， AD 5 ， 则 AB

4、 的值为 ( ) A. 5 B. 5 5 C.1 D.6 5 D 【解析】 CD 5 ， AD 5 ， CD 2 AD BD ， BD CD 2 AD 25 5 5 5 . AB AD BD 5 5 5 6 5 . 5 .如图 ， ABC CDB 90 ， AC a ， BC b ， 要使 A BC CDB ， 那么 BD 与 a ， b 应满足 ( ) A . B D b 2 a B . BD b a 2 C . BD a 2 b D . BD a b 2 A 【解析】 ABC CDB 90 ， 当 AC BC BC BD 时 ， ABC CDB ， 即当 a b b BD 时 ， ABC

5、CDB ， BD b 2 a . 【知识要点】 1 相似三角形的定义 对应角 _ _ ，对应边 _ _ _ 的两个三角形叫做两 个相似三角形；相似三角形对应边的比值叫做相似比 2 相似三角形的判定 判定定理 1 ：两角对应 _ _ _ 的两个三角形相似 判定定理 2 ：两边对应 _ _ _ ，并且夹角 _ _ _ 的两个三角形相似 判定定理 3 ：三边对应 _ _ _ _ 的两个三角形相似 相等 成比例 相等 成比例 相等 成比例 3 相似三角形的性质 (1) 相似三角形对应边上的高、中线和对应角的平 分 线的比都等于 _ _ _ (2) 相似三角形周长的比等于 _ _ _ _ (3) 相似三

6、角形面积的比等于 _ _ _ _ 4 平行线分线段成比例定理及推论 三条平行线截两条直线，所得的 _ _ _ 成比 例 相似比 相似比 相似比的平方 对应线段 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 ( 或两 边的延长线 ) ，所得的 _ _ _ 成比例 5 射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影 的 _ _ _ ；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜 边的 _ _ _ 对应线段 比例中项 比例中项 一、平行线截割定理及应用 例 1 在 ABC 中 ， AD 为 BC 边上的中线 ， F 为 AB 上任意一点 ， CF 交 AD 于点 E ， 求证 ： AE BF 2DE AF .

7、 【证明】 过点 D 作 DG FC 交 AB 于点 G ， BD DC ， BG GF ， EF GD ， AF FG AE ED ， AF ED AE FG AE 1 2 BF AE BF 2DE AF . 【点评】 在应用平行线截割定理时 ， 既要注意 比 例关系有目标的转换 ， 又要注意应用比例的有关性质 . 二、射影定理及应用 例 2 如图 ， 在 Rt ABC 中 ， BAC 90 ， AD BC 于 D ， DF AC 于 F ， DE AB 于 E. 试证明： (1) AB AC BC AD ； (2) AD 3 BC CF BE . 【解析】 证明： (1) 在 Rt ABC

8、 中 ， AD BC ， S ABC 1 2 AB AC 1 2 B C AD . AB AC BC AD . (2 ) 在 Rt ADB 中 ， DE AB ， 由射影定理可得 BD 2 BE AB ， 同理 CD 2 CF AC ， BD 2 CD 2 BE AB CF AC .又在 Rt BAC 中 ， AD BC ， AD 2 BD DC ， AD 4 BE AB CF AC. 又 AB AC BC AD ， 即 AD 3 BC CF BE . 【点评】 本例在综合应用射影定理和直角三角形 的基本知识方面有一定的综合 ， 试题求解有一定难度 ， 要求有较好的观察能力和推理论证能力 ，

9、对推理论证 能力的培养有很好的效果 ， 但应注意高考的命题难度 为中档或中档偏易 ， 相对本例 (2) 要容易点 . 三、三角形相似的判定与性质及应用 例 3 如图所示 ， 在平行四边形 AB CD 中 ， E 是 CD 的延长 线上一点 ， DE 1 2 CD ， BE 与 AD 交于点 F. (1) 求证： ABF CEB ； (2) 若 DEF 的面积为 2 ， 求平行四边形 ABCD 的面 积 . 【解析】 (1) 证明： 四边形 AB CD 是平行四边形 ， BAF BCD ， AB CD ， ABF CEB ， ABF CEB. (2) 四边形 AB CD 是平行四边形 ， AD

10、BC ， AB CD ， DEF CEB ， DEF ABF . S DEF S CEB DE CE 2 ， S DEF S ABF DE AB 2 . 又 DE 1 2 CD 1 2 AB ， CE DE CD DE 2DE 3D E. S DEF S CEB DE CE 2 1 9 ， S DEF S ABF DE AB 2 1 4 . S DEF 2 ， S CEB 18 ， S AB F 8. S 四边形 AB CD S ABF S CEB S DEF 8 18 2 24. 备选题 例 4 如图 ， 在 ABC 中 ， D ， F 分别在 AC ， BC 上 ， 且 AB AC ， A

11、F BC ， BD DC FC 1 ， 求 A C. 【解析】 设 AC x ， 在 ABC 中 ， AB AC ， AF BC ， 由射影定理 ， 得 AC 2 CF BC ， 又 FC 1 ， BC AC 2 x 2 ， 再由射影定理 ， 得 AF 2 BF FC (BC FC) FC ， 即 AF 2 x 2 1 ， AF x 2 1 ， 在 BDC 中 ， 过 D 作 DE BC 于 E. BD DC 1 ， BE EC ， 故 EC 1 2 BC x 2 2 ， 又 AF BC ， DE AF ， DE AF DC AC ， 再由射影定理 ， 得 AF 2 BF FC (BC FC)

12、 FC ， 即 AF 2 x 2 1 ， AF x 2 1 ， 在 BDC 中 ， 过 D 作 DE BC 于 E. BD DC 1 ， BE EC ， 故 EC 1 2 BC x 2 2 ， 又 AF BC ， DE AF ， DE AF DC AC ， DE DC AF AC x 2 1 x ， 在 Rt DEC 中 ， DE 2 EC 2 DC 2 ， 即 x 2 1 x 2 x 2 2 2 1 ， x 2 1 x 2 x 4 4 1. 即 x 6 4 ， x 3 2 ， 故 AC 3 2 . 【点评】 本小题主要考查利用直角三角形中射影 定理求解问题 ， 及运算求解和推理论证能力 .

13、1 .相似三角形的证法： 定义法：对应边成比例 ， 对应角相等； 平行法； 判定定理法：用得最多的 是判定定 理 1 ， 即两角相等、两三角形相似； 对直 角三角形除以上方法外 ， 还有特殊方法；两直角边对 应成比例 ， 两直角三角形相似；一条直角边和斜边对 应成比例 ， 两直角三角形相似；斜边上的高分成的两 直角三角形与原三角形相似 . 2 .相似三角形的性质： 对应边成比例 ， 对应角 相等； 对应高的比、对应中线的比、对应角平分线 的比、周长的比都等于相似比 ， 而面积的比等于相似 比的平方； 相似三角形外接圆的直径比、周长比等 于相似比 ， 外接圆的面积比等于相似比的平方 .利用这 些

14、关系可以进行各种证明、求值 . 3 .在探究证明中 ， 掌握从特殊到一般和化归的思 想方法 ， 学会解决问题的程序、模式 . (2015 江苏 ) 如图 ， 在 ABC 中 ， AB AC ， ABC 的外接圆 O 的 弦 AE 交 BC 于点 D. 求证： ABD AEB . 【证明】 因为 AB AC ， 所以 A BD C. 又因为 C E ， 所以 ABD E. 又 BAE 为公共角 ， 所以 ABD AEB. 【命题立意】 本题主要考查相似三角形的判定 . 1 .如图 ， 在 ABC 中 ， DE BC ， DF AC ， AE AC 3 5 ， DE 6 ， 则 BF _. 4 【

15、解析】 由 DE BC ， 得 DE BC AE AC 3 5 ， 因为 DE 6 ， 所以 BC 10 ， 又 DF AC ， BF BC BD AB CE AC 2 5 ， BF 4. 2 .如图 ， 在梯形 AB CD 中 ， AB CD ， AB 4 ， CD 2.E ， F 分别为 AD ， BC 上点 ， 且 EF 3 ， EF AB ， 则梯形 AB F E 与梯形 EFC D 的面积比为 7 5 【解析】 如图 ， 延长 AD ， BC 交 于一点 O ， 作 OH AB 于点 H. x x h 1 2 3 ， 得 x 2h 1 ， x h 1 x h 1 h 2 3 4 ，

16、得 h 1 h 2 . S 梯形 ABFE 1 2 (3 4) h 2 7 2 h 2 ， S 梯形 EFCD 1 2 (2 3) h 1 5 2 h 1 ， S 梯形 ABFE S 梯形 EFCD 7 5. 3 .如图 ， 在 ABC 中 ， D 是 AC 的中点 ， E 是 BD 的 中点 ， AE 交 BC 于 F ， 则 BF FC 的值为 _. 1 2 【解析】 过点 D 作 DM AF 交 BC 于点 M. 点 E 是 BD 的中点 ， 在 BDM 中 ， BF FM. 又 点 D 是 AC 的中点 ， 在 CAF 中 ， CM MF ， BF FC BF FM MC 1 2 .

17、4 .如图 ， D 是 ABC 中 BC 边上一点 ， 点 E 、 F 分别 是 ABD ， ACD 的重心 ， EF 与 AD 交于点 M ， 则 AM DM _. 2 【解析】 连接 AE ， AF ， 并延长交 BC 于 G ， H ， 点 E 、 F 分别是 ABD ， ACD 的重心 ， AE EG AF FH 2 ， EF GH ， AM DM 2. 故答案为 2. 5 .如图 ， 在 ABC 中 ， CD AB 于 D ， 若 BC 2 BD AB ， 则 ACB _ _. 【解析】 BC 2 BD AB ， BC AB BD BC ， 又 B 公共 ， CDB ACB ， 又

18、CD AB ， CDB 90 ， ACB CDB 90 . 90 6 .如图 ， 在 Rt ABC 中 ， ACB 90 ， CD AB 于 D ， AD 4 ， s in ACD 4 5 ， 则 CD _ ， BC . 【解析】 由 CD AB ， 可知 A DC 90 ， 在 Rt ACD 中 ， sin ACD AD AC 4 AC 4 5 ， 得 AC 5 ， 则 CD AC 2 AD 2 3. 3 15 4 由射影定理 AC 2 AD AB ， 得 AB AC 2 AD 25 4 ， 又 BC 2 B D AB (A B AD )A B AB 2 AD AB 25 4 2 4 25

19、4 25 9 16 ， 从而 BC 15 4 . 7 .如图 ， 在等腰梯形 ABCD 中 ， AB CD ， BD BC ， BE CD 于 E ， AC 交 BE 于 F ， 若 DC 2BC 4. 则 EF _ . 【解析】 在 Rt DBC 中 ， BC 2 CE CD ， 即 2 2 CE 4. 得 CE 1 ， 又 BDC ACD 30 .则 EF EC tan 30 3 3 . 3 3 8 .如图 ， 在正方形 ABCD 中 ， P 是 BC 上的点 ， 且 BP 3PC ， Q 是 CD 的中点 ， 求证： ADQ QCP . 【证明】 在正方形 ABCD 中 ， Q 是 CD

20、 的中点 ， AD QC 2. BP PC 3 ， BC PC 4. 又 BC 2DQ ， DQ PC 2. 在 ADQ 和 QCP 中 ， AD QC DQ CP ， 且 D C 90 ， AD Q QCP . 9 .如图 ， 在 ABC 中 ， AB AC ， AD 是中线 ， P 为 AD 上一点 ， CF AB ， BP 的延长线交 AC 、 CF 于 E 、 F 两点 ， 求证： PB 2 PE PF . 【解析】 证明：连接 P C. 易证 PC PB ， ABP AC P . CF AB ， F AB P .从而 F AC P . 又 EPC 为 CPE 与 FPC 的公共角 ，

21、 从而 CPE FPC ， CP FP PE PC . PC 2 PE PF .又 PC PB ， PB 2 PE PF . 10 .如图 ， 已知在 ABC 中 ， 点 D 是 BC 边上的 中点 ， 且 AD AC ， DE BC ， DE 与 AB 相交于点 E ， EC 与 AD 相交于点 F. (1) 求证： ABC FCD ； (2) 若 S FCD 5 ， BC 10 ， 求 DE 的长 . 【解析】 (1) 证明： DE BC ， D 是 BC 边上的 中点 ， EB EC. B ECD ， 又 AD AC ， ADC ACD ， ABC FCD . (2) 过点 A 作 AM BC ， 垂足为点 M ， ABC FCD ， BC 2C D ， S ABC S FCD BC CD 2 4. 又 S FCD 5 ， S ABC 20. 又 S ABC 1 2 BC AM 1 2 10 AM 20 ， 解得 AM 4. 又 DE AM ， DE AM BD BM . DM 1 2 DC 5 2 ， BM BD DM 5 5 2 15 2 ， DE 4 5 15 2 ， 解得 DE 8 3 .