《2017届高考数学一轮总复习第八章立体几何初步第45讲空间点直线平面之间的位置关系课件文新人教A版.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017届高考数学一轮总复习第八章立体几何初步第45讲空间点直线平面之间的位置关系课件文新人教A版.ppt（43页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第 45讲 空间点、直线、平面之 间的位置关系 【学习目标】 1 . 掌握平面的基本性质 ， 并能利用其证明共面、共 线、共点问题 . 2 . 掌握点、线、面关系的文字语言、符号语言、图 形语言的密切联系及相互转化 . 3 . 掌握空间两条直线的位置关系 ， 并能够证明两条 直线的异面关系及求两条异面直线所成的角 . 4 . 掌握两条直线平行和垂直关系的有关概念 ， 并能 用上述概念进行论证和解决有关问题 . 【基础检测】 1 . 已知 m ， n 表示两条不同直线 ， 表示平面 . 下 列说法正确的是 ( ) A . 若 m ， n ， 则 m n B . 若 m ， n ， 则 m n C
2、 . 若 m ， m n ， 则 n D . 若 m ， m n ， 则 n B 【解析】 利用直线与平面平行和垂直的判定定理 直接判断或利用正方体判断 . 方法一：若 m ， n ， 则 m ， n 可能平行、 相交或异面 ， A 错； 若 m ， n ， 则 m n ， 因为直线与平面垂 直时 ， 它垂直于平面内任一直线 ， B 正确； 若 m ， m n ， 则 n 或 n ， C 错； 若 m ， m n ， 则 n 与 可 能相交 ， 可能平行 ， 也可能 n ， D 错 . 方法二：如图 ， 在正方体 AB CD A B C D 中 ， 用平面 AB CD 表示 . A 项中 ，
3、若 m 为 A B ， n 为 BC ， 满足 m ， n ， 但 m 与 n 是相交直线 ， 故 A 错 . B 项中 ， m ， n ， m n ， 这是线面垂 直的性质 ， 故 B 正确 . C 项中 ， 若 m 为 AA ， n 为 AB ， 满足 m ， m n ， 但 n ， 故 C 错 . D 项中 ， 若 m 为 A B ， n 为 BC ， 满足 m ， m n ， 但 n ， 故 D 错 . 2 . a ， b ， c 是空间中的三条直线 ， 下面给出五个 命题： 若 a b ， b c ， 则 a c ； 若 a b ， b c ， 则 a c ； 若 a 与 b 相交
4、， b 与 c 相交 ， 则 a 与 c 相交； 若 a 平面 ， b 平面 ， 则 a ， b 一定是异面 直线； 若 a ， b 与 c 成等角 ， 则 a b. 上述命题中正确的命题是 _( 只填序号 ) . 3 . 已知 m ， n 为异面直线 ， m 平面 ， n 平面 . 直线 l 满足 l m ， l n ， l ， l ， 则 ( ) A . 且 l B . 且 l C . 与 相交 ， 且交线垂直于 l D . 与 相交 ， 且交线平行于 l D 【解析】 l m ， m 平面 ， l ， l ， 同理 l . 若 ， 则 m n ， 与 m ， n 为异面直线矛盾 ， 故
5、与 相交 ， 且交线平行于 l. 4 . 如图 ， 正方体的底面与正四面体的底面在同一平 面 上 ， 且 AB CD ， 则直线 EF 与正方体的六个面所在 的平面相交 的平面个数为 _ . 4 【解析】 取 CD 的中点 H ， 连接 EH ， FH. 在正四面 体 CDEF 中 ， 由于 CD EH ， CD FH ， 所以 CD 平面 EF H ， 所以 AB 平面 EFH ， 则平面 EF H 与正方体的左 右两侧面平行 ， 则 EF 也与之平行 ， 则与其余四个平面 相交 . 5 . 已知正方体 AB CD A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， E ， F 分别为 BB 1 ， C
6、C 1 的中点 ， 那么异面直线 AE 与 D 1 F 所成角的余 弦值为 . 【解析】 连接 DF ， 则 AE DF ， D 1 FD 即为异面直线 AE 与 D 1 F 所成 的角 . 设正方体棱长为 a ， 则 D 1 D a ， DF 5 2 a ， D 1 F 5 2 a ， cos D 1 FD 5 2 a 2 5 2 a 2 a 2 2 5 2 a 5 2 a 3 5 . 3 5 【知识要点】 1 平面的基本性质 (1) 公理 1 ：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么 _ 这个平面内 (2) 公理 2 ：过 _ _ _ 上的三点有且只有一 个平面的三个推论： 经过一条直线
7、和 _ _ _ _ 一点确定一个平面 经过两条 _ _ _ 直线确定一个平面 经过 _ _ _ _ 确定一个平面 其外 相交 两条平行直线 (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线 这条直线上所有点都在 不在同一直线 2 直线与直线位置关系 (1) 空间两直线位置关系有三种： _ _ _ 、 _ _ _ 、 _ _ _ (2) 公理 4 ：平行于同一直线的两条直线互相 _ _ _ (3) 等角定理：如果两个角的两边对应平行，那么这 两个角 _ _ _ _ (4) 已知 a ， b 为异面直线，过空间任一点 O 作 a a ， b b ，则
8、 a ， b 所成的 _ _ _ 叫异面直线所成 的角，异面直线所成角的范围是 _ _ _ _ 3 直线与 平面的关系三种： _ _ _ 、 _ _ _ 、 _ _ _ _ _ 4 平面与平面的关系两种： _ _ _ 、 _ _ _ 平行 相交 异面 平行 相等或互补 锐角 (或直角 ) 0， 2 相交 平行 直线在平面内 平行 相交 位置关 系 图示 符号语 言 公共点个 数 直线 l 在 平面 内 _ _ _ 直线 l 与 平面 相 交 _ _ _ _ _ 直线 l 与 平面 平 行 l _ 5直线与平面的位置关系 l A 1 无数个 0 5. 平面与平面的位置关系： 位置关系 图示 符号
9、语 言 公共点个 数 两平面 平行 0 两平面 相交 l 无数个 一、平面的基本性质及公理的应用 例 1 如图 ， 正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ， P 为 BC 的中点 ， Q 为线段 CC 1 上的动点 ， 过点 A ， P ， Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ， 则下列命题 正确的是 ( 写出所有正确命题的编号 ) . 当 0CQ 1 2 时 ， S 为四边形； 当 CQ 1 2 时 ， S 为等腰梯形； 当 CQ 3 4 时 ， S 与 C 1 D 1 的交 点 R 满足 C 1 R 1 3 ； 当 3 4 CQ1 时 ， S 为六边形； 当
10、CQ 1 时 ， S 的面积为 6 2 . 【解析】 对于 ， 当 0 CQ 1 2 时 ， 过点 A 在面 ADD 1 A 1 内作 PQ 的平行线交于线段 DD 1 处 ， 故截面 S 为四边形；对于 ， 当 CQ 1 2 时 ， 同 的作法可知 ， 此时的截面为 APQD 1 ， 且 D 1 Q AP 5 2 ， 故该截面 为等腰梯形；对于 ， 当 CQ 3 4 时 ， 过点 A 在面 ADD 1 A 1 内作 PQ 的平行线交于线段 D 1 A 1 于点 M ， 且 MD 1 1 3 ， 然后再过点 M 在面 A 1 B 1 C 1 D 1 内作 AP 的平行 线交 C 1 D 1 于
11、点 R ， 且满足 C 1 R 1 3 ， 此时的截面是五边 形 APQR M ；对于 ， 由 可知 ， 当 3 4 CQ1 时 ， 截 面是五边形 ， 故 错误；对于 ， 当 CQ 1 时 ， 即点 Q 在 C 1 处 ， 取 A 1 D 1 的中点 M ， 此时过点 A ， P ， Q 的截 面是菱形 APQM ， 边长为 5 2 ， 其中一条对角线 AQ 3 ， 所以可得截面 S 的面积为 6 2 .综上 ， 答案是 . 二、空间直线的位置关系 例 2 (1) a ， b ， c 是空间三条直线 ， 下面给出四个 命 题： 如果 a b ， b c ， 则 a c ； 如果 a ， b
12、是异面直线 ， b ， c 是异面直线 ， 则 a ， c 也是异面直线； 如果 a ， b 相交 ， b ， c 相交 ， 则 a ， c 也相交； 如果 a ， b 共面 ， b ， c 共面 ， 则 a ， c 也共面 . 上述命题中 ， 真命题的个数是 ( ) A . 3 B . 2 C . 1 D . 0 D (2) AB CD 为空间四边形 ， 不同的两 点 E ， F AC ， 不同的两点 G ， H BD ， 求证： EG 和 HF 是异面直线 . 【解析】 (1 ) 如果 a b ， b c ， 则 a 与 c 或共面 ( 相 交 ， 平行 ) 或异面 ， 故 错 .如果 a
13、 ， b 异面 ， b ， c 异 面 ， 则 a ， c 或相交或平行或异面 ， 故 错 .如果 a ， b 相交 ， b ， c 相交 ， 则 a 与 c 或相交或平行或异面 ， 故 错 .如果 a ， b 共面 ， b ， c 共面 ， 则 a ， c 或共面或异 面 ， 故 错 . (2) 证明：假设 EG ， HF 共面 ， 记为 ， 则 E ， F ， G ， H ， 从而 E ， F ， G ， H . AC ， BD . A ， B ， C ， D ， 这与 A ， B ， C ， D 是空间四 边形矛盾 . EG ， HF 是异面直 线 . 【点评】 异面直线的判定方法 (1
14、) 定义法：依据定义判断两直线不可能在同一平 面内 . (2) 定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与 平面内不经过该点的直线为异面直线 . ( 此结论可作为定 理使用 ) . (3) 反证法：即假设两直线不是异面直线 ， 那么它 们是共面直线 ( 即假设两直线相交或平行 ) ， 结合原题中 的条件 ， 得出矛盾 ， 否定假设 ， 肯定两条直线异面 . 三、异面直线所成的角 例 3 (1) 如图 ， 正四棱锥 P AB CD 的底面积为 3 ， 体积为 2 2 ， E 为侧棱 PC 的中点 ， 则 PA 与 BE 所成的角为 ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 C (2) 已知正
15、四棱柱 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， AA 1 2A B ， E 为 AA 1 的中点 ， 则异面直线 BE 与 CD 1 所成的 角的余弦值为 . 3 10 10 【解析】 (1) 连结 AC 、 BD 交于点 O ， 连结 OE ， 易得 OE P A. 所求角为 BE O. 由所给条件易得 OB 6 2 ， OE 1 2 PA 2 2 ， BE 2 ， cos OE B 1 2 ， OEB 60 ， 选 C. (2) 如图 ， 连接 BA 1 .因为 BA 1 CD 1 ， 所以 A 1 BE 即为 BE 与 CD 1 所成 的角或其补角 .在 ABA 1 中 ， 设
16、 AB 1 ， 则 AA 1 2 ， 所以 A 1 B 5 ， A 1 E 1 ， BE 2 .所以 cos A 1 BE 3 10 10 . 【点评】 (1 ) 求异面直线所成的角常采 用 “ 平移线 段法 ” ， 平移的方法一般有三种类型：利用图中已有 的平行线段平移；利用特殊点 ( 线段的端点或中点 ) 作 平行线平移；补形平移 .计算异面直线所成的角通常 放在三角形中进行 . (2) 注意异面直线的夹角的取值范围是 (0 ， 90 ， 因此异面直线的平行线的夹角可能是异面直线 的夹角 ， 也可能是其补角 ， 应取其中不超过 90 的那 个；找平行线是求异面直线夹角的关键 . 备选题例
17、4 已知 A 1 B 1 C 1 ABC 是直三棱柱 ， BCA 90 ， D 1 ， E 1 分别是 A 1 B 1 ， A 1 C 1 的中点 . 若 BC CA CC 1 ， 则 BD 1 与 AE 1 所成角的余弦值为 ( ) A. 15 10 B. 30 15 C. 1 2 D. 30 10 D 【解析】 解法一： 如图在平面 A 1 ABB 1 内把线段 BD 1 平移到 AF 1 ， 则 E 1 AF 1 就是所求的角 . 设 BC CA CC 1 2a ， 则 A 1 E 1 a ， A 1 F 1 2 a ， E 1 A 1 F 1 135 ， (E 1 F 1 ) 2 5a
18、 2 ， AE 1 5 a ， BD 1 6 a. cos E 1 AF 1 30 10 . 解法二 ： 把直三棱柱补成一个直四棱柱 A 1 B 1 F 1 C 1 AB FC ， 取 B 1 F 1 的中点 G 1 ， 则 BG 1 AE 1 ， D 1 BG 1 是所求的角 .同样可求得 cos D 1 BG 1 30 10 . 1 . 判断有关空间位置关系命题真假的关键是： 熟 悉基本定理； 熟练模型的使用与模拟实验 . (1) 证明若干点共线 ， 通常证明这些点都是某两个 平面的公共点 ， 根据公理 3 ， 这些点都在交线上；或选 择其两点确定一条直线 ， 然后证明其他点都在这条直线
19、上 . (2) 证明若干条直线共点与证明若干点共线的方法 类似 ， 都可以转化成证明 “ 点在直线 上 ” 的问题 ( 证明 两条直线的交点在第 3 条直线上 ) . (3) 证明若干元素 ( 点或直线 ) 共面 ， 常用两种方法： 方法一是根据公理 3 或推论确定一个平面 ， 然后再证其 他元素也在这个平面内；方法二 是根据公理 2 或其推论 确定两个平面 ， 然后再证明这两个平面重合 . 2 . 求异面直线所成的角 ， 常用平移转化法 ， 即平移一条 ( 或两条 ) 作出夹角 ， 再解三角形 . 注意： (1) 当用平移转化法繁琐或无法平移时 ， 可考虑两 条异面直线是否垂直； (2) 两
20、条异面直线所成的角不超过 90 . 3 . 证明两直线是异面直线的常用方法是 “ 判定定理 ” 和 “ 反证法 ” ， 其中 “ 反证法 ” 最常用 . 1 . (2015 广东 ) 若直线 l 1 和 l 2 是异面直线 ， l 1 在平面 内 ， l 2 在平面 内 ， l 是平面 与平面 的交线 ， 则下列 命题正确的是 ( ) A . l 与 l 1 ， l 2 都不相交 B . l 与 l 1 ， l 2 都相交 C . l 至多与 l 1 ， l 2 中的一条相交 D . l 至少与 l 1 ， l 2 中的一条相交 D 【解析】 根据条件确定相应的位置关系 ， 再对照 选项确定答
21、案 . 由直线 l 1 和 l 2 是异面直线可知 l 1 与 l 2 不平行 ， 故 l 1 ， l 2 中至少有一条与 l相交 . 2 . (2015 全国新课标 ) 如图 ， 长方体 AB CD A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， AB 16 ， BC 10 ， AA 1 8 ， 点 E ， F 分别在 A 1 B 1 ， D 1 C 1 上 ， A 1 E D 1 F 4. 过点 E ， F 的 平面 与此长 方体的面相交 ， 交线围成一个正方形 . (1) 在图中画出这个正方形 ( 不必说明画法和理 由 ) ； (2) 求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 . 【解析】 (1
22、) 交线围成的正方形 EHGF 如图所示 . (2) 如图 ， 作 EM AB ， 垂足为 M ， 则 AM A 1 E 4 ， EB 1 12 ， EM AA 1 8. 因为四边形 EHGF 为正方形 ， 所以 EH EF BC 10. 于是 MH EH 2 EM 2 6 ， AH 10 ， HB 6. 故 S 四边形 A 1 EHA 1 2 (4 10) 8 56 ， S 四边形 EB 1 BH 1 2 (12 6) 8 72. 因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱 ， 所以其体积的比值为 9 7 7 9 也正确 . 1 . 若空间中四条两两不同的直线 l 1 ， l 2 ， l
23、 3 ， l 4 ， 满 足 l 1 l 2 ， l 2 l 3 ， l 3 l 4 ， 则下列结论一定正确的是 ( ) A . l 1 l 4 B . l 1 l 4 C . l 1 与 l 4 既不垂直也不平行 D . l 1 与 l 4 的位置关系不确定 【解析】 在正六面体中求解 ， 也可 以借助教室中的实物帮助求解 . 在如图所示的正六面体中 ， 不妨 设 l 2 为直线 AA 1 ， l 3 为直线 CC 1 ， 则直 线 l 1 ， l 4 可以是 AB ， BC ；也可以是 AB ， CD ；也可以是 AB ， B 1 C 1 ， 这三组直线相交 ， 平行 ， 垂直 ， 异面
24、， 故选 D. D 2 . 下列命题中正确的是 ( ) A . 若直线 l 上有无数个点不在平面 内 ， 则 l B . 若直线 l 与平面 平行 ， 则 l 与平面 内的任意一 条直线都平行 C . 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行 ， 那么另一条也与这个平面平行 D . 若直线 l 与平面 平行 ， 则 l 与平面 内的任意一 条直线都没有公共点 【解析】 若直线 l上有无数个点不在平面 内 ， 则 l 或直线 l与平面 相交 ， A 错误；若直线 l与平面 平行 ， 则 l与平面 内的任意一条直线都没有公共点 ， B 错误 ， D 正确；如果两条平行直线中的一条 与一个 平面平行
25、， 那么另一条与这个平面平行或在这个平面 内 ， C 错误 . D 3 . (2015 湖北 ) l 1 ， l 2 表示空间中的两条直线 ， 若 p ： l 1 ， l 2 是异面直线 ， q ： l 1 ， l 2 不相交 ， 则 ( ) A . p 是 q 的充分条件 ， 但不是 q 的必要条件 B . p 是 q 的必要条件 ， 但不是 q 的充分条件 C . p 是 q 的充分必要条件 D . p 既不是 q 的充分条件 ， 也不是 q 的必要条件 【解析 】 根据空间两条直线的位置关系和充要条 件的定义进行判断 . 若 l 1 ， l 2 异面 ， 则 l 1 ， l 2 一定不相
26、交；若 l 1 ， l 2 不相 交 ， 则 l 1 ， l 2 是平行直线或异面直线 ， 故 p q ， qD /p ， 故 p 是 q 的充分不必要条件 . A 4 . 点 E ， F ， G ， H 分别为空间四边形 AB CD 中 AB ， BC ， CD ， AD 的中点 ， 若 AC BD ， 且 AC 与 BD 所成角的大小为 90 ， 则四边形 EFGH 是 ( ) A . 梯形 B . 空间四边形 C . 正方形 D . 有一内角为 60 的菱形 【解析】 点 E ， F ， G ， H 分别为空间四边形 AB CD 中 AB ， BC ， CD ， AD 的中点 ， EF
27、HG 綊 1 2 AC ， EH FG 綊 1 2 BD ， EF FG G H HE ， 并且 所成角为直角 ， 四边形 EF GH 为正方形 . C 5 . 如图所示 ， 在正三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中 ， 底面边长和高均为 2 ， D 为 A 1 B 1 的中点 ， 则异面直线 A 1 B 与 CD 所 成角的正弦值等于 ( ) A. 10 5 B. 15 5 C. 35 7 D. 14 7 【解析】 如图所示 ， 取 BB 1 的中点 E ， 连接 DE ， DC 1 ， C E. 在 A 1 BB 1 中 ， BE B 1 E ， A 1 D DB 1 ， 所以 DE
28、 A 1 B ， 故 CDE 为异 面直线 A 1 B 与 CD 所成的角或其补角 . 在 Rt B 1 DE 中 ， B 1 D B 1 E 1 ， 故 DE B 1 D 2 B 1 E 2 2 ， C 在等边 A 1 B 1 C 1 中 ， C 1 D 3 2 A 1 B 1 3 ， 在 Rt BCE 中 ， CE CB 2 BE 2 2 2 1 2 5 ， 在 Rt CC 1 D 中 ， CC 1 2 ， 故 CD CC 2 1 C 1 D 2 2 2 （ 3 ） 2 7 ， 在 CED 中 ， cos CDE DE 2 DC 2 EC 2 2DE DC （ 2 ） 2 （ 7 ） 2
29、（ 5 ） 2 2 2 7 14 7 ， 所以 异面直线 A 1 B 与 CD 所成角的余弦值为 14 7 ， 故 sin 1 14 7 2 35 7 .故选 C. 6 . 一个正方体纸盒展开后如图所 示 ， 在原正方体纸盒中有如下结 论： AB EF ； AB 与 CM 所成的角为 60 ； EF 与 MN 是异面直线； MN CD. 以上四个命题中 ， 正确命题的序号是 . 7 . 如图所示 ， 平面 ABEF 平面 AB CD ， 四边形 ABEF 与 AB CD 都是直 角梯形 ， BAD F AB 90 ， BC 綊 1 2 AD ， BE 綊 1 2 AF ， G ， H 分别为
30、FA ， FD 的中点 . (1) 证明：四边形 BC HG 是平行四边形； (2) C ， D ， F ， E 四点是否共面？为什么？ 【解析】 (1) 证明：由题意知 ， FG GA ， FH HD ， GH 綊 1 2 AD ， 又 BC 綊 1 2 AD ， GH 綊 BC. 故四边形 BC HG 是平行四边形 . (2) C ， D ， F ， E 四点共面 .理由如下： 由 BE 綊 1 2 AF ， G 是 FA 的中点知 ， BE 綊 GF ， EF BG ， 由 (1) 知 BG CH ， 所以 EF CH ， 故 EC ， FH 共 面 . 又点 D 在直线 FH 上 ，
31、所以 C ， D ， F ， E 四点共面 . 8 . 如图所示 ， 等腰直角三角形 ABC 中 ， A 90 ， BC 2 ， DA AC 、 DA AB. 若 DA 1 ， 且 E 为 DA 的中点 . 求 异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值 . 【解析】 取 AC 的中点 F ， 连接 EF ， BF ， 在 ACD 中 ， E 、 F 分别是 AD 、 AC 的中点 . EF CD. BEF 或其补角即为异面直线 BE 与 CD 所成的 角 . 在 Rt EAB 中 ， AB AC 1 ， AE 1 2 AD 1 2 . BE 5 2 . 在 Rt EAF 中 ， AF 1 2
32、AC 1 2 ， AE 1 2 . EF 2 2 . 在 Rt BAF 中 ， AB 1 ， AF 1 2 ， BF 5 2 . 在等腰三角形 EBF 中 ， cos FE B 1 2 EF BE 2 4 5 2 10 10 . 异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 10 10 . 9 . 右图为一简单组合体 ， 其底 面 AB CD 为正方形 ， PD 平面 AB CD ， EC PD ， 且 PD 2EC 2 2 . (1) 求证： AC 平面 PB E ； (2) 若 AD 2 ， 求两异面直线 AD 与 PB 所成的角的 大小 . 【解析】 (1 ) 证明：连结 AC 与 BD
33、交于点 F ， 取 PB 的 中点 N ， 连结 NE ， NF ， F 为 BD 的中点 ， NF PD 且 NF 1 2 PD ， 又 EC PD 且 EC 1 2 PD . NF EC 且 NF EC ， 四边形 NF CE 为平行四 边形 . NE FC ， 即 AC NE ， 又 NE 平面 PB E ， AC 平面 PB E ， AC 平面 PB E. (2) 连结 PC ， AD BC ， PB C 是两异面直线 AD 与 PB 所成的角 ( 或补角 ) 在 Rt PB C 中 ， BC PC ， 由已知求得 BC 2 ， PB 4 ， PB C 60 ， 两异面直线 AD 与 PB 所成的角为 60 .
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