2017届高考数学一轮总复习第二章函数第9讲指数与指数函数幂函数课件文新人教A版.ppt

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1、第 9讲 指数与指数函数、幂函数 【学习目标】 1 了解指数幂的概念、掌握有理数指数幂的运 算性质 2 掌握指数函数的概念、图象和性质 3 了解幂函数的概念，结合函数 y x ， y x 2 ， y x 3 ， y 1 x ， y x 1 2 的图象了解它们的变化情况 【基础检测】 1 . 下列根式、分数指数幂的互化中 ， 正确的是 ( ) A. x ( x) 1 2 B . x 1 3 3 x C. x y 3 4 4 y x 3 (x ， y 0 ) D . 6 y 2 y 1 3 C 【解析】 x x 1 2 ， 故 A 错； x 1 3 1 3 x ， 故 B 错； 当 x ， y 0

2、 时 ， x y 3 4 1 x y 3 4 y x 3 4 4 y x 3 ， 故 C 正确； 6 y 2 y 1 3 ， 所以 D 错 ， 故选 C . 2 . 如图给出四个幂函数的图像 ， 则图像与函数的大致 对应是 ( ) A . y x 1 3 y x 2 y x 1 2 y x 1 B. y x 1 3 y x 1 2 y x 2 y x 1 C . y x 2 y x 3 y x 1 2 y x 1 D . y x 3 y x 2 y x 1 2 y x 1 D 【解析】 图像 关于 y 轴对称 ， 即函数为偶函数 ， 所以答案 B 、 C 舍去；图像 关于原点对称 ， 且在 (

3、 ， ) 增函数 ， 同时其图像在第一象限是凹的 ， 而函数 y x 1 3 的图像在第一象限是凸的 ， 故选 D . 3 . 若幂函数 y (m 2 3m 3) 的图象不 过原点 ， 则 m 的取值是 ( ) A. 1 m 2 B . m 1 或 m 2 C. m 2 D . m 1 D 【解析】 由幂函数的定义 ， 可得 m 2 3m 3 1 m 2 m 20 m 1. 2m m 2x ， 则 或 4 . 将 a 7 6 1 2 ， b 6 5 1 2 ， c 6 7 1 3 这三个数从小到大 排列正确的是 ( ) A . c ab B . c b a C . abc D . ac b A

4、 【解析】 c 6 7 1 3 7 6 1 3 ， 结合指数函数 y 7 6 x 的 单调性可知 ca ， 结合幂函数 y x 1 2 的单调性可知 ab ， c a1 且 n N * ) ，那么这个数就叫做 a 的 n 次方根，即若 x n a ( n 1 ， n N * ) ，则 x _ 式子 n a 叫做 _ _ ， n 叫 _ _ _ ， a 叫 _ _ _ _ (2) 根式的性质： a 的 n ( n 1 ， n N * ) 次方根，当 n 为奇数时， 有一个 n 次方根为 _ _ ；当 n 为偶数时，若 a 0 ， 有两个互为相反数的 n 次方根为 _ _ ，若 a 0 ， 其 n

5、 次方根为 _ ，若 a 0 ， m ， n N * ， n 1) a （ a 0 ） a （ a 0) (2) a r a s _ _ _ _( r ， s Q ， a 0) (3)( a r ) s _ _ _ _ _ _( r ， s Q ， a 0) (4)( ab ) r _ _ _ _ _ _ _( r Q ， a 0 ， b 0) ar s ars arbr ar s 4 指数函数的概念、图象和性质 定义 形如 y a x ( a 0 且 a 1) 的函数 叫指数函数 图 象 (1) 定义域： _ _ (2) 值域： _ _ _ _ _ _ _ _ _ (3) 过点 _ _ _

6、_ ， 即 x 0 时， y 1 (4) 在 R 上是 _ _ _ _ _ _ _ 在 R 上是 _ _ _ _ _ _ _ 性 质 (5) x 0 时， _ _ _ _ _ _ , x 0 时， _ _ _ _ _ x 1 0y1 0y1 5. 幂函数 (1) 一般地，形如 的函数叫做幂函 数，其中 x 是 自变量， 是常数 (2) 在同一平面直角坐标系中，幂函数 y x ， y x 2 ， y x 3 ， y x 1 2 ， y x 1 的图象比较如下 熟记 1 ， 2 ， 3 ， 1 2 ， 1 时幂函数的图象是解决有 关幂函数问题的基础 y x ( R) (3 ) 幂函 数的性质如下：

7、 当 0 时 ， 幂函数 y x 有下列性质： 图象都通过点 (0 ， 0 ) 、 (1 ， 1 ) ； 在第一象限内 ， 函数值随 x 的增大而增大； 在第一象限内 ， 过 (1 ， 1 ) 点后 ， 图象向右上方无限 伸展 . 当 0 时 ， 幂函数 y x 有下列性质： 图象都通过点 (1 ， 1 ) ； 在第一象限内 ， 图象向上与 y 轴无限地接近 ， 向 右与 x 轴无限地接近 . 一、分式指数幂及根式的化简与求值 例 1 计算下列各式的值 . (1) 2 7 9 0. 5 0. 1 2 2 10 27 2 3 3 0 37 48 ； (2)(2 3 a 2 b )( 6 a 3

8、b ) ( 3 6 a 6 b 5 ) . 【解析】 (1) 2 7 9 0. 5 0.1 2 2 10 27 2 3 3 0 37 48 25 9 1 2 1 10 2 64 27 2 3 3 1 37 48 5 3 2 1 2 10 1 2 4 3 3 2 3 3 37 48 5 3 2 1 2 10 ( 1) ( 2) 4 3 3 2 3 3 37 48 5 3 10 2 4 3 2 3 37 48 5 3 100 3 4 2 3 37 48 10 0. (2 ) 2 3 a 2 b 6 a 3 b 3 6 a 6 b 5 4a 1 b 0 4a . 2 1 1 1 1 5 3 2 6

9、2 3 6= 4 a b 2 1 1 511 3 3 6 6222 6 3a b a b a b 【点评】 关于指数式的运算 ， 主要技能是熟练运用 指数幂各种运算性质 ， 以及分解、配方等技巧 .利用分数 指数幂来进行根式运算 ， 其顺序是先把根式化为分数指 数幂 ， 再根据幂的运算性质进行计算 . 二、指数函数的图象及性质 例 2 ( 1) 函数 f(x ) x 3 1 ， x0 1 3 x ， x 0 的图象大致为 ( ) (2 ) 若指数函数 f(x ) 的图像过点 ( 2 ， 4 ) ， 则 f(3 ) _ ；不等式 f(x ) f( x) 5 2 的解集为 . A 1 8 ( 1，

10、 1) 【解析】 (1 )x 0 时 ， f (x ) x 3 是增函数 ， 排除 C 、 D ， x 0 时 ， f (x) 1 3 x 是减函数 ， 排除 B ， 选 A. (2 ) 因为函数 f(x ) 是指数函数 ， 可设 f(x) a x ， 则 f( 2) 4 a 1 2 ， 即 f(x ) 1 2 x ， 所以 f(3 ) 1 2 3 1 8 ； f (x ) f( x) 5 2 1 2 x 1 2 x 5 2 1 2 x 2 x 0 ， 上式可化为 1 t t 5 2 2t 2 5t 20 (2 t 1) (t 2) 0 1 2 t 2 ， 即 1 2 2 x 2 1x 0 ，

11、 a 1 ) 是定义 域为 R 的奇函数 . (1 ) 若 f (1 )0 ， 试求使不等式 f x 2 tx f 2 x 1 0 在 定义域上恒成立的 t 的取值范围； (2 ) 若 f (1 ) 8 3 ， 且 g ( x ) a 2 x a 2 x 2 mf ( x ) 在 1 ， 上的最小值为 2 ， 求 m 的值 . 【解析】 (1 ) f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数 ， f (0 ) 0 ， 1 ( k 1) 0 ， k 2. 函数 f ( x ) a x a x ( a 0 且 a 1) ， f (1 )0 ， a 1 a 0 ， 又 a 0 ， a 1. 由于 y a

12、 x 单调递增 ， y a x 单调递减 ， 故 f ( x ) 在 R 上单调递增 . 不等式化为： f ( x 2 tx ) f ( 2 x 1) . x 2 tx 2 x 1 ， 即 x 2 ( t 2) x 1 0 恒成立 ， ( t 2) 2 4 0 ， 解得 4 t 0. (2 ) f (1 ) 8 3 ， a 1 a 8 3 ， 即 3 a 2 8 a 3 0 ， a 3 ， 或 a 1 3 ( 舍去 ) . g ( x ) 3 2 x 3 2 x 2 m (3 x 3 x ) (3 x 3 x ) 2 2 m (3 x 3 x ) 2. 令 t F ( x ) 3 x 3 x

13、， 可知 F ( x ) 显然是增函数 . x 1 ， t f (1 ) 8 3 ， 令 h ( t ) t 2 2 mt 2 ( t m ) 2 2 m 2 t 8 3 ， 若 m 8 3 ， 当 t m 时 ， h ( t ) mi n h ( m ) 2 m 2 2 ， m 2 ， 舍去； 若 m b 1 1 a b 0 图象 底大于 1 时，底 大者靠近 y 轴 底小于 1 时，底 小者靠近 y 轴 1 . (20 15 陕西 ) 设 f ( x ) 1 x ， x 0 ， 2 x ， x 0 时是增函数； 幂函数 y x n ， 当 n 0 时 ， 其图象才 都经过点 (1 ， 1

14、) 和点 (0 ， 0 ) ， 故 错误；幂函数 y x n ， 当 n 1 时 ， 其图象就是一条直线 ， 故 错误；幂函数 y x n ， 当 n 0 时 ， 其图象是 y 1 这条直线上去除 (0 ， 1 ) 点后的剩余部分 ， 故 错误；当 n 2 时 ， y x 2 不是 增函数 ， 故 错误；根据幂函数的性质可知：只有 是正确的 . 2 . 函数 f ( x ) 2 1 | x | 的图象是 ( ) C 【解析】 由函数解析式可知定义域为 R ， 且满足 f x f x ， 因此函数是偶函数 ， 且当 x 0 时函数取得最大值 ， 因此 C 项正确 . 3 . 已知函数 y a x

15、 1 ( a 0 ， 且 a 1) 的图象恒过定点 A ， 若点 A 在一次函数 y mx n 的图象上 ， 其中 m ， n 0 ， 则 1 m 1 n 的最小值为 ( ) A . 1 B. 2 C . 2 D . 4 D 【解析】 函数 y a x 1 a 0 ， 且 a 1 的图象恒过定 点 A ， 可得 A 1 ， 1 ， 点 A 在一次函数 y mx n 的图 象上 ， m n 1 ， m ， n 0 ， 1 m 1 n 1 m 1 n m n 2 n m m n 2 2 n m m n 4 ， 当 且仅当 n m 1 2 时取得 等号；故选 D. 4 . 设 y 1 4 0 . 9

16、 ， y 2 8 0 .4 8 ， y 3 1 2 1. 5 ， 则 ( ) A . y 3 y 1 y 2 B . y 2 y 1 y 3 C . y 1 y 3 y 2 D . y 1 y 2 y 3 B 【解析】 由指数函数的性质 ， 当底数大于 1 时 ， 函 数为增函数 ， y 2 8 0 .4 8 4 0 .9 6 ， y 3 1 2 1.5 2 1 .5 4 0 .7 5 . 所以 y 2 y 1 y 3 . 5 . 函数 y 1 8 x 2 3 x 2 的增区间为 ( ) A. ， 3 2 B. 3 2 ， C . 1 ， 2 D . ( ， 1 2 ， ) A 【解析】 函数

17、由 y 1 8 t ， t x 2 3 x 2 复合而成 ， 函数定义域为 R ， y 1 8 t 为减函数 ， t x 2 3 x 2 在 ， 3 2 上递减 ， 在 3 2 ， 上递增 ， 因此原函数的增 区间为 ， 3 2 . 6 . 若 x 0 ， y 0 且 2 x 1 2 2 y 1 ， 则 1 x 1 y 的最小值为 ( ) A . 3 B . 2 2 C . 2 D . 3 2 2 D 【解析】 由 2 x 1 2 2 y 1 得： 2 x 2 1 2 y x 1 2 y ， 即 x 2 y 1 ， x 0 ， y 0 ， 那么 1 x 1 y ( x 2 y ) 1 x 1

18、y 3 2 y x x y 3 2 2 ， 显 然等号能成立 ， 故选 D. 7 . 已知函数 f x e x 1 ， g x x 2 4 x 3 ， 若 a ， b R 使得 f a g b ， 则实数 b 的取值范围为 . 2 2 ， 2 2 【解析】 由题可知 f x e x 1 1 ， g x x 2 4 x 3 x 2 2 1 1. 若有 f a g b ， 则 g b 1 ， 1 ， 即 b 2 4 b 3 1 ， 即 b 2 4 b 20 ， 解得 2 2 b 0 恒成立 ， 求实数 m 的取值范围 . 【解析】 (1) 函数的定义域为 R ， f ( x ) 2 x 1 2 x

19、 1 1 2 x 1 1 2 x 1 1 2 x 1 2 x 2 x 1 2 x 1 f ( x ) ， 则函数 f ( x ) 为奇函数； (2) 先说明函数 f ( x ) 在 ( ， ) 上是增函数 ， 因为 f ( x ) 1 2 2 x 1 ， 随 x 的增大 2 x 1 也增大 ， 2 2 x 1 也增 大 ， f ( x ) 随 x 的增大而增大 ， 说明函数 f ( x ) 在 ( ， ) 上是增函数 .不等式 f (2 x ) f ( x 2 m )0 恒成立 ， 即 f (2 x ) f ( x 2 m ) ， 即： f (2 x ) f ( m x 2 ) ， 2 x m x 2 ， m x 2 2 x 恒成立 ， 又因为 x 2 2 x ( x 1) 2 1 最小值为 1 ， 则 m 1.