2017届高考数学一轮总复习第九章直线与圆圆锥曲线第55讲抛物线课件文新人教A版.ppt

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1、第 55讲 抛物线 【学习目标】 了解抛物线的定义、标准方程及几何性质 ， 并能利 用他们解决有关综合问题 . 【基础检测】 1 . 若动点 P 到定点 F( 1 ， 0 ) 与到定直线 l ： x 1 的 距离相等 ， 则动点 P 的轨迹是 ( ) A . 直线 B. 抛物线 C . 圆 D. 椭圆 【解析】 由抛物 线定义知动点 P 的轨迹是抛物线 . B 2 . 抛物线 x 2 4y 0 上一点 P 到焦点的距离为 3 ， 那么 P 点的纵坐标为 ( ) A . 3 B.2 C. 5 2 D . 2 B 【解析】 由焦半径公式得 | PF | y P p 2 ， 其中 F(0 ， 1 )

2、 为焦点 ， p 2 是焦准距 .又因为 | PF | 3 ， y P | PF | 2 2 3 1 2. 故 P 点纵坐标为 2. 3 . 已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0 ， b0 ) 与抛物线 y 2 8x 有一个公共的焦点 F ， 且两曲线的一个交点为 P ， 若 PF 5 ， 则双曲线的离心率为 ( ) A. 5 B. 2 C. 2 3 3 D. 3 B 【解析】 F 2 ， 0 ， p 4 ， 所以 a 2 b 2 4 ， 根据 抛物线的焦半径公式 ， PF x p 2 x 2 5 ， 解得 x 3 ， 代入抛物线方程有 y 2 24 ， 因为点 P 是交点 ，

3、 所以代入双曲线 ， 有 9 a 2 24 b 2 1 ， 解得： a 2 1 ， b 2 3 ， 所以离心率 e c a 2. 4 . 若 AB 为 经过抛物线 y 2 4x 焦点的弦 ， 且 AB 4 ， O 为坐标原点 ， 则 OAB 的面积等于 _ _. 2 【解析】 根据题意设 A x 1 ， y 1 ， B x 2 ， y 2 ， 由抛 物线的定义可知 AB x 1 1 x 2 1 x 1 x 2 2 4 ， 解得： x 1 x 2 2 ， 又因为过焦点的弦 A ， B 的 横坐标还满足： x 1 x 2 1 ， 由 联立解得： x 1 x 2 1 ， 所以 A 1 ， 2 ， B

4、 1 ， 2 ， 所以 S AO B 1 2 4 1 2 ， 答案为： 2. 【知识要点】 1 抛物线的定义 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离 _ 的点 的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫 做抛物线的准线 注意：定点 F 不在定直线上，否则轨迹退化为一条直 线 相等 2 抛物线的标准方程，图形及几何性质 见下表： y 2 2 px ( p 0 ) y 2 2 px ( p 0 ) x 2 2 py ( p 0 ) x 2 2 py ( p 0 ) 标准 方程 P 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 焦点 F p 2 ， 0 F p 2 ， 0 F

5、 0 ， p 2 F 0 ， p 2 准线 x p 2 x p 2 y p 2 y p 2 范围 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 对称轴 _ _ _ _ 顶点 O (0 ， 0) O (0 ， 0) 离心率 e 1 e 1 开口 _ _ _ _ _ _ 性 质 焦半径 _ _ _ _ _ _ _ _ x0,y R x0,y R x R,y0 x R,y0 x轴 y轴 向右 向左 向上 向下 0pPF = + x2 0pPF = + x2 0pPF = + y2 0pPF = + y2 一、抛物线的标准方程 例 1 已知抛物线 C ： x 2 2py(p0) ， O 为坐标原 点 ， F 为

6、抛物线的焦点 ， 直线 y x 与抛物线 C 相交于 不同的两点 O ， N ， 且 | ON| 4 2 . ( 1) 求抛物线 C 的方程； (2) 若直线 l 过点 F 交抛物线于不同的两点 A ， B ， 交 x 轴于点 M ， 且 MA a AF ， MB b BF ， 对任意的 直线 l ， a b 是否为定值？若是 ， 求出 a b 的值；否 则 ， 说 明理由 . 【解析】 (1) 联立方程 y x ， x 2 2py 得 x 2 2px 0 ， 故 O(0 ， 0 ) ， N (2p ， 2p ) ， | ON | 4p 2 4p 2 2 2 p ， 由 2 2 p 4 2 得

7、 p 2 ， 抛物线 C 的方程为 x 2 4y . (2) 显然直线 l 的斜率一定存在且不等于零 ， 设其 方程为 y kx 1 ， 则直线 l 与 x 轴交点为 M 1 k ， 0 ， 记点 A(x 1 ， y 1 ) ， B (x 2 ， y 2 ) 由 y kx 1 ， x 2 4y 得 x 2 4 kx 4 0 ， (4k) 2 ( 16) 16(k 2 1) 0 ， x 1 x 2 4k ， x 1 x 2 4. 由 MA a AF ， 得 x 1 1 k ， y 1 a( x 1 ， 1 y 1 ) ， a y 1 1 y 1 kx 1 1 kx 1 ， 同理可得 b kx 2

8、 1 kx 2 ， a b kx 1 1 kx 1 kx 2 1 kx 2 2 x 2 x 1 kx 1 x 2 1 ， 对任意的直线 l ， a b 为定值 1. 二、抛物线的性质 例 2 (1) 已知 ABC 三个顶点均在抛物线 y 2 4x 上 ， 抛物线的焦点为 F ， 若 FA FB CF ， 则 | F A| | F B| | FC| _ . 【解析】 (1 ) 抛物线焦点坐标为 (1 ， 0 ). 设 A ， B ， C 三点的横坐标分别为 x 1 ， x 2 ， x 3 ， FA (x 1 1 ， y 1 ) ， FB (x 2 1 ， y 2 ) ， CF (1 x 3 ，

9、y 3 ) ， x 1 1 x 2 1 1 x 3 ， 所以 x 1 x 2 x 3 3 ， 所以 | F A| |FB| |FC| x 1 x 2 x 3 3 6. 6 (2) 抛物线 y 2 4x 的焦点 F ， 过点 (0 ， 3 ) 的直线与 抛物线交于 A 、 B 两点 ， 线段 AB 的垂直平分线交 x 轴 于点 D ， 若 | AF| | BF| 6 ， 则点 D 的横坐标为 _. 4 【解析】 (2) 设 A x 1 ， y 1 ， B x 2 ， y 2 ， 直线 AB 方程 y kx 3 ， 联 立 y 2 4x y kx 3 ， 得 k 2 x 2 6k 4 x 9 0

10、， (6k 4) 2 4 9k 2 0 ， x 1 x 2 4 6k k 2 ， 由抛物线的性质得 AF BF x 1 x 2 p 6 ， x 1 x 2 4 ， 因此 4 6k k 2 4 ， 解得 k 1 2 或 k 2 ， k 1 2 不满足 ， k 2 ， 因此 AB 方程为 y 2x 3 ， AB 的中点 2 ， 1 ， 线段 AB 的垂直平分线方程为 y 1 1 2 x 2 ， 令 y 0 ， 得 x 4 ， 故答案为 4. 【点评】 涉及抛物线上的点到焦点 ( 准线 ) 的距离 问题 ， 可优先考虑利用抛物线 的定义转化为点到准线 ( 焦点 ) 的距离问题求解 . 三、抛物线的综

11、合应用 例 3 已知抛物线 C 1 ： y 2 2px(p0) 的焦点为 F ， 抛 物线上存在一点 G 到焦点的距离为 3 ， 且点 G 在圆 C ： x 2 y 2 9 上 . (1) 求抛物线 C 1 的方程； (2) 已知椭圆 C 2 ： x 2 m 2 y 2 n 2 1(m n0 ) 的一个 焦点 与抛物线 C 1 的焦点重合 ， 且离心率为 1 2 . 直线 l ： y kx 4 交椭圆 C 2 于 A ， B 两个不同的点 ， 若原点 O 在以线 段 AB 为直径的圆的外部 ， 求 k 的取值范围 . 【解析】 (1) 令 G （ x 0 ， y 0 ） ， 由题知 y 2 0

12、 2px 0 x 2 0 y 2 0 9 解得： x 0 1 ， y 0 2 2 ， p 4 ， 所以抛物线 C 1 的方 程为： y 2 8x . (2) 由 (1) 得抛物线 C 1 的焦点 F(2 ， 0 ) ， 椭圆 C 2 的一个焦点与抛物线 C 1 的焦点重合 ， 椭圆 C 2 半焦距 c 2 ， m 2 n 2 c 2 4 ， 椭圆 C 2 的离心率为 1 2 ， 2 m 1 2 m 4 ， n 2 3 ， 椭圆 C 2 的方程为： x 2 16 y 2 12 1. 设 A(x 1 ， y 1 ) 、 B(x 2 ， y 2 ) ， 由 y kx 4 x 2 16 y 2 12

13、1 得 (4k 2 3)x 2 32 k x 16 0 ， 由根与系数的关系得： x 1 x 2 32k 4k 2 3 ， x 1 x 2 16 4k 2 3 ， 由 0 ( 32k ) 2 4 16(4k 2 3)0 k 1 2 或 k0 ， OA OB (x 1 ， y 1 ) (x 2 ， y 2 ) y 1 y 2 x 1 x 2 (k x 1 4) (kx 2 4) x 1 x 2 (k 2 1)x 1 x 2 4 k (x 1 x 2 ) 16 (k 2 1) 16 4k 2 3 4k 32k 4k 2 3 16 16 （ 4 3k 2 ） 4k 2 3 0 2 3 3 k 2 3

14、 3 由 、 得实数 k 的范围是 2 3 3 k 1 2 或 1 2 k 0) 的焦点弦 ， 且 A(x 1 ， y 1 ) ， B (x 2 ， y 2 ) ， 点 F 是抛物线的焦点 ( 如图 ) ， 可以证明： (1) y 1 y 2 p 2 ， x 1 x 2 p 2 4 ； (2) | AB| x 1 x 2 p 2p sin 2 ( 为直线 AB 的倾斜 角 ) ； (3) S AO B p 2 2sin ( 为直线 AB 的倾斜角 ) ； (4) 1 | AF | 1 | B F | 为定值 2 p ； (5) 以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切； (6) 以 AF( 或

15、BF) 为直径的圆与 y 轴相切； (7) CFD 90 ； (8) 以 CD 为直径的圆切 AB 于点 F ； (9) 三点 A ， O ， D 或 B ， O ， C 共线 . 1 . (2015 全国新课标 ) 已知椭圆 E 的中心在坐标原 点 ， 离心率为 1 2 ， E 的右焦点与抛物线 C ： y 2 8x 的焦 点重合 ， A ， B 是 C 的准线与 E 的两个交点 ， 则 | AB | ( ) A . 3 B.6 C.9 D.1 2 B 【解析】 根据已知条件求出椭圆的方程 ， | AB| 2| y A |， 只需求出 |y A |即可 . 抛物线 y 2 8x 的焦点为 (

16、2 ， 0 ) ， 椭圆中 c 2 ， 又 c a 1 2 ， a 4 ， b 2 a 2 c 2 12 ， 从而椭圆方程为 x 2 16 y 2 12 1. 抛物线 y 2 8x 的准线为 x 2 ， x A x B 2 ， 将 x A 2 代入椭圆方程可得 |y A | 3 ， 故 | AB| 2 | y A | 6. 2 . (2015 福建 ) 已知点 F 为抛物线 E ： y 2 2px(p 0) 的焦点 ， 点 A(2 ， m ) 在抛 物线 E 上 ， 且 | AF| 3. (1) 求抛物线 E 的方程； (2) 已知点 G( 1 ， 0 ) ， 延长 AF 交 抛物线 E 于点

17、 B ， 证明：以点 F 为圆心且与直线 GA 相切 的圆 ， 必与直线 GB 相切 . 【解析】 解法一： (1) 由抛物线的定义得 | AF| 2 p 2 . 因为 | AF| 3 ， 即 2 p 2 3 ， 解得 p 2 ， 所以抛物线 E 的方程为 y 2 4x. (2) 因为点 A (2 ， m ) 在抛物线 E ： y 2 4x 上 ， 所以 m 2 2 . 由抛物线的对称性 ， 不妨设 A(2 ， 2 2 ). 由 A(2 ， 2 2 ) ， F (1 ， 0 ) 可得直线 AF 的方程为 y 2 2 (x 1). 由 y 2 2 （ x 1 ） ， y 2 4x ， 得 2x

18、2 5x 2 0 ， 解得 x 2 或 x 1 2 ， 从而 B( 1 2 ， 2 ). 又 G( 1 ， 0 ) ， 所以 k GA 2 2 0 2 （ 1 ） 2 2 3 ， k GB 2 0 1 2 （ 1 ） 2 2 3 ， 所以 k GA k GB 0 ， 从而 AGF BGF ， 这表 明点 F 到直线 GA ， GB 的距离相等 ， 故以 F 为圆心且 与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切 . 解法二： (1) 同解法一 . (2) 设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径 为 r. 因为点 A(2 ， m) 在抛物线 E ： y 2 4x 上 ， 所以 m 2 2

19、 . 由抛物线的对称性 ， 不妨设 A( 2 ， 2 2 ). 由 A(2 ， 2 2 ) ， F (1 ， 0 ) 可得直线 AF 的方程为 y 2 2 (x 1). 由 y 2 2 （ x 1 ） ， y 2 4x ， 得 2x 2 5x 2 0 ， 解得 x 2 或 x 1 2 ， 从而 B( 1 2 ， 2 ). 又 G( 1 ， 0 ) ， 故直线 GA 的方程为 2 2 x 3y 2 2 0 ， 从而 r |2 2 2 2 | 8 9 4 2 17 . 又直线 GB 的方程为 2 2 x 3y 2 2 0 ， 所以点 F 到直线 GB 的距离 d |2 2 2 2 | 8 9 4

20、2 17 r. 这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直 线 GB 相切 . 1 . 若抛物线 y 2 px 的焦点与椭圆 x 2 6 y 2 2 1 的右焦 点重合 ， 则 p 的值为 ( ) A . 8 B.2 C . 4 D.4 【解析】 抛物线 y 2 px 的焦点为 p 4 ， 0 ， 椭圆 x 2 6 y 2 2 1 的右焦点为 (2 ， 0 ) ， p 4 2 ， p 8. A 2 . 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ax(a 0) 的焦点 F ， 且和 y 轴交于点 A ， 若 OAF (O 为坐标原点 ) 的面 积为 4 ， 则抛物线方程为 ( ) A

21、 . y 2 4x B . y 2 8x C . y 2 4x D . y 2 8x 【解析】 由题意得 | OF| | a | 4 ， tan AFO 2 ， | OA | | a | 2 ， S AO F 1 2 | OF | OA | a 2 16 4 ， a 8. 抛物线方程为 y 2 8 x. D 3 . 已知倾斜角为 60 的直线 l 通过抛物线 x 2 4y 的 焦点 ， 且与抛物线相交于 A ， B 两点 ， 则弦 AB 的长为 ( ) A . 4 B.6 C . 10 D.1 6 【解析】 设点 A(x 1 ， y 1 ) ， B (x 2 ， y 2 ) ， 则依题意得 焦

22、点 F(0 ， 1 ) ， 准线方程是 y 1 ， 直线 l ： y 3 x 1 ， 由 y 3 x 1 ， x 2 4y ， 消去 x 得 y 2 14y 1 0 ， y 1 y 2 14 ， | AB| |AF| | BF| (y 1 1) (y 2 1) (y 1 y 2 ) 2 16. D 4 . 已知圆 C ： x 2 y 2 6x 8y 21 0 ， 抛物线 y 2 8x 的准线为 l ， 设抛物线上任意一点 P 到直线 l 的距 离为 m ， 则 m | PC| 的最小值为 ( ) A . 5 B. 41 C. 41 2 D. 4 【解析】 根据抛物线的定义 ， 抛物线上任意一点

23、 P 到直线 l 的距离等于到焦点 F 的距离 ， m | PC| | PF | | P C| | FC| 41 . B 5 . 若抛物线 C ： y 2 2px 的焦点在直线 x 2y 4 0 上 ， 则 p _ ； C 的准线方程为 . 【解析】 抛物线 C ： y 2 2px 的焦点坐标为 p 2 ， 0 ， 该点在直线 x 2y 4 0 上 ， 则有 p 2 4 0 ， 解得 p 8 ， 此时抛物线的准线方程为 x 4. 8 x 4 6 . 若抛物线 y 2 2px 的焦点坐标为 (1 ， 0 ) ， 则 p _ ；准线方程为 . 【解析】 因为焦点坐标为 (1 ， 0 ) ， 所以

24、p 2 ， 准 线方程为 x 1. x 1 2 7 . AB 是抛物线 y 2 x 的一条焦点弦 ， 若 | AB| 4 ， 则 AB 的中点到直线 x 1 2 0 的距离为 _. 【解析】 根据抛物线的定义 ， 把焦点弦转化为点 到准线的距离 . 设 A(x 1 ， y 1 ) ， B (x 2 ， y 2 ) ， 焦点 F 1 4 ， 0 ， 准线方程 x 1 4 ， 根据抛物线的定义 ， | AF| x 1 1 4 ， | BF| x 2 1 4 ， 所以 | AB| x 1 x 2 1 2 4 ， 所 以 x 1 x 2 2 7 4 ， 即 AB 中点的横坐标是 7 4 ， 所以 AB

25、 中点 到直线 x 1 2 0 的距离是 7 4 1 2 9 4 . 9 4 8 . 已知 ABP 的三个顶点都在抛物线 C ： x 2 4y 上 ， F 为抛物线 C 的焦点 ， 点 M 为 AB 的中点 ， PF 3 FM . (1) 若 | PF | 3 ， 求点 M 的坐标； ( 2) 求 ABP 面积的最大值 . 【解析】 (1) 由题意知焦点 F(0 ， 1 ) ， 准线方程为 y 1. 设 P(x 0 ， y 0 ) ， 由抛物线定义知 | PF | y 0 1 3 ， 得到 y 0 2 ， 所以 P(2 2 ， 2 ) 或 P( 2 2 ， 2 ). 由 PF 3 FM 得 M

26、 2 2 3 ， 2 3 或 M 2 2 3 ， 2 3 . (2) 设直线 AB 的方程为 y kx m ， 点 A(x 1 ， y 1 ) ， B (x 2 ， y 2 ) ， P (x 0 ， y 0 ). 由 y kx m ， x 2 4y 得 x 2 4 kx 4m 0. 于是 16k 2 16 m 0 ， x 1 x 2 4k ， x 1 x 2 4m ， 所以 AB 的中点 M 的坐标为 (2k ， 2k 2 m). 由 PF 3 FM ， 得 ( x 0 ， 1 y 0 ) 3(2 k ， 2k 2 m 1) ， 所以 x 0 6k ， y 0 4 6k 2 3m. 由 x 2

27、 0 4y 0 ， 得 k 2 1 5 m 4 15 . 由 0 ， k 2 0 ， 得 1 3 m 4 3 . 又因为 | AB| 4 1 k 2 k 2 m ， 点 F(0 ， 1 ) 到直线 AB 的距离为 d |m 1| 1 k 2 ， 所以 S ABP 4S ABF 8| m 1| k 2 m 16 15 3m 3 5m 2 m 1 . 记 f( m ) 3m 3 5m 2 m 1 1 3 m 4 3 ， 令 f( m ) 9m 2 10m 1 0 ， 解得 m 1 1 9 ， m 2 1. 可得 f(m) 在 1 3 ， 1 9 上是增函数 ， 在 1 9 ， 1 上是减 函数 ，

28、 在 1 ， 4 3 上是增函数 . 又 f 1 9 256 243 f 4 3 ， 所以 ， 当 m 1 9 时 ， f (m) 取到 最大值 256 243 ， 此时 k 55 15 . 所以 ， A BP 面积的最大值为 256 5 135 . 9 . 已知动圆过定点 A(2 ， 0 ) ， 且与直线 x 2 相 切 . (1) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程； (2) 是否存在过点 (0 ， 1 ) 的直线 l ， 与轨迹 C 交于 P ， Q 两点 ， 使得 AP QP ， 若存在 ， 求出直线 l 的方 程 ， 若不存在 ， 请说明理由 . 【解析】 (1) 由题意可知 ， 圆心到定

29、点 A(2 ， 0 ) 的 距离与到定直线 x 2 的距离相等 ， 由抛物线定义可 知 ， 轨迹 C 为以 A(2 ， 0 ) 为焦点 ， x 2 为准线的抛物 线 ， p 4 ， 抛物线方程为 y 2 8x. (2) 假设存在直线 l 符合题意 . 由题意易知 ， 直线 l 的斜率 k 存在且不为零 ， 又因过点 (0 ， 1 ) ， 故设直线 l 的方程为 y kx 1 ， 联立直线与抛物线方程 y kx 1 ， y 2 8x ， 消元整理得 k 2 x 2 (2k 8)x 1 0 ， 设交点坐标为 P(x 1 ， y 1 ) ， Q (x 2 ， y 2 ) ， 则 (2k 8) 2 4k 2 0 ， k 2 且 k 0. 且 x 1 x 2 2k 8 k 2 ， x 1 x 2 1 k 2 ， 此时 AP AQ (x 1 2 ， y 1 ) (x 2 2 ， y 2 ) (k 2 1)x 1 x 2 (k 2) (x 1 x 2 ) 5 (k 2 1) 1 k 2 (k 2) 8 2k k 2 5 4k 2 12 k 15 k 2 0 ， 解得 k 3 2 6 符合 ， 存在符合题意的直线 l ， 其方程为 y 3 2 6 x 1 或 y 3 2 6 x 1.