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1、201 7 新课标 名师导学 新高考第一轮总复习同 步测试卷 文科数学 ( 十 六 ) ( 圆锥曲线 ) 时间： 60 分钟 总分： 100 分 一、选择题 ( 本大题共 6 小题 ， 每小题 6 分 ， 共 36 分 .每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要 求的 .) 1 . 抛物线 y 2 4x 的焦点坐标是 ( ) A. 2 ， 0 B. 0 ， 2 C. 1 ， 0 D. 0 ， 1 【解析】 因为抛物线 y 2 4x ， 所以焦点坐标为 (1 ， 0 ) ， 故选 C . C 2 . 已知双曲线 y 2 a 2 x 2 b 2 1(a 0 ， b0 ) 的离心率为 3 ， 则双
2、曲线的渐近线方程为 ( ) A . y 2 2 x B . y 2 x C . y 2x D . y 1 2 x 【解析】 根据题意 ， a b a 2 c 2 a 2 1 e 2 1 1 2 2 2 ， 则 所求双曲线的渐近线方程为 y 2 2 x ， 所以选 A . A 3 . 若抛物线 y 2 2x 上有两点 A 、 B ， 且 AB 垂直于 x 轴 ， 若 | AB | 2 2 ， 则抛物线的焦点到直线 AB 的距 离为 ( ) A. 1 2 B. 1 4 C. 1 6 D . 1 8 【解析】 由于 AB 垂直于 x 轴 ， 显然 |y A | |y B | 1 2 | AB | 2
3、 ， 将两点的纵坐标代入抛物线方程 y 2 2x ， 可得 x A x B 1 ， 即直线 AB 的方程为 x 1 ， 而抛物线的焦点坐标为 1 2 ， 0 ， 所以焦点到直线 AB 的距离为 1 2 ， 故选 A. A 4 . 设抛物线 y 2 8x 的焦点为 F ， 准线为 l ， P 为抛 物线上一点 ， 且 PA l ， A 为垂足 ， 如果直线 AF 的斜 率为 1 ， 则 PF 等于 ( ) A . 2 B.4 C.8 D.1 2 【解析】 抛物线方程为 y 2 8x ， 焦点 F (2 ， 0 ) ， 准线方程 l 为 x 2. 直线 AF 的斜率为 1 ， 直线 AF 的方程为
4、 y (x 2) ， 当 x 2 时 ， y 4 ， 可得 A 点坐标为 A 2 ， 4 ， PA l ， A 为垂足 ， P 点纵坐标为 4 ， 代入抛物线方程 ， 得点 P 坐标为 P 2 ， 4 ， PF PA 2 ( 2) 4. B 5 . 双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1 a0 ， b0 与抛物线 y 2 2px(p 0) 相交于 A ， B 两点 ， 公共弦 AB 恰好过它们的 公共焦点 F ， 则 双曲线 C 的离心率为 ( ) A. 2 B.1 2 C.2 2 D.2 2 【解析】 由题可知点 A p 2 ， p 在双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1 a0 ，
5、 b0 上 ， 故 p 2 a 2 b 2 c ， c ， 2c 在双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1 a0 ， b0 上 ， 即 c 2 a 2 2c 2 b 2 1 c 4 6a 2 c 2 a 4 0 e 4 6e 2 1 0 ， e 2 3 2 2 ， e 1 2 . B 6 . 定义：关于 x 的不等式 |x A|B 的解集叫 A 的 B 邻域 . 已知 a b 2 的 a b 邻域为区间 ( 2 ， 8 ) ， 其 中 a ， b 分别为椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1 的长半轴和短半轴 . 若此 椭圆的一焦点与抛物线 y 2 4 5 x 的焦点重合 ， 则椭圆 的
6、方程为 ( ) A. x 2 8 y 2 3 1 B. x 2 9 y 2 4 1 C. x 2 9 y 2 8 1 D . x 2 16 y 2 9 1 B 【解析】 由题中的定义知 ， 关于 x 的不等式 |x (a b 2)| a b 的解集为 ( 2 ， 8 ) ， 解这个不等式 得 ( a b)x (a b 2) a b ， 解得 2xb 0) 的两个焦 点 ， 若在 C 上存在一点 P ， 使 PF 1 PF 2 ， 且 PF 1 F 2 30 ， 则 C 的离心率为 . 【解析】 由题意 ， Rt PF 1 F 2 中 ， PF 2 1 2 F 1 F 2 c ， PF 1 3
7、2 F 1 F 2 3 c ， 而 PF 1 PF 2 2a (1 3 )c ， 故 e c a 3 1. 3 1 9 . 中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 与双曲线有公共焦点 ， 左、右焦点分 别为 F 1 、 F 2 ， 且它们在第一象限的交 点为 P ， PF 1 F 2 是以 PF 2 为底边的等腰三角形 . 若 PF 2 10 ， 双曲线离心率的取值范围为 1 ， 2 ， 则椭圆离心 率的取值范围是 . 【解析】 由题意得： c 2c 10 2 (1 ， 2 ) c10 ， 因 此椭圆离心 率 c 2c 10 2 c c 5 1 5 c 5 2 3 ， 1 . 2 3， 1 10
8、. 设 F 1 ， F 2 分别为椭圆 x 2 3 y 2 1 的左、右焦点 ， 点 A ， B 在椭圆上 . 若 F 1 A 5 F 2 B ， 则点 A 的坐标 是 . (0， 1)或 (0， 1) 【解析】 由题意知 F 1 ( 2 ， 0 ) ， F 2 ( 2 ， 0 ). 设 A(a ， b ) ， B (x B ， y B ) ， 则 F 1 A (a 2 ， b ) ， F 2 B (x B 2 ， y B ). 由 F 1 A 5 F 2 B 得 x B a 6 2 5 ， y B b 5 ， 代入椭圆方 程得 a 6 2 5 2 3 b 5 2 1. 又 a 2 3 b 2
9、 1 ， 联立 ， 解得 a 0 ， b 1. A (0 ， 1 ) 或 (0 ， 1). 三、解答题 ( 本大题共 3 小题 ， 共 40 分 .解答应写 出文字说明 ， 证明过程和演算步骤 .) 11 . (13 分 ) 已知双曲线的方程是 1 6x 2 9y 2 144. (1) 求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； (2) 设 F 1 和 F 2 是双曲线的左、右焦点 ， 点 P 在双 曲线上 ， 且 | PF 1 | | PF 2 | 32 ， 求 F 1 PF 2 的大小 . 【解析】 (1) 由 16x 2 9y 2 144 得 x 2 9 y 2 16 1 ， 所以 a 3
10、 ， b 4 ， c 5 ， 所以焦点坐标 F 1 ( 5 ， 0 ) ， F 2 (5 ， 0 ) ， 离心率 e 5 3 ， 渐近线方程为 y 4 3 x. (2) 由双曲线的定义可知 | PF 1 | | P F 2 | 6 ， cos F 1 PF 2 | PF 1 | 2 |PF 2 | 2 |F 1 F 2 | 2 2| PF 1 | PF 2 | （ | PF 1 | | P F 2 |） 2 2| P F 1 | PF 2 | |F 1 F 2 | 2 2| PF 1 | PF 2 | 36 64 100 64 0 ， 所以 F 1 PF 2 90 . 12 . (13 分 )
11、 如图 ， 已知 F 为抛物 线 y 2 4x 的焦点 ， 点 A ， B ， C 在该抛物线上 ， 其中 A ， C 关于 x 轴对称 (A 在第一象限 ) ， 且直线 BC 经过点 F. (1 ) 若 ABC 的 重 心 为 G 3 2 ， 4 3 ， 求直线 AB 的方程； (2) 设 S ABO S 1 ， S CFO S 2 ， 其中 O 为坐标原点 ， 求 S 2 1 S 2 2 的最小值 . 【解析】 (1 ) 设 A x 1 ， y 1 ， B x 2 ， y 2 ， C x 1 ， y 1 ， 则 ABC 的重心为 G 2x 1 x 2 3 ， y 2 3 ， 于是 2x 1
12、 x 2 9 2 y 2 4 ， 解得 x 2 4 ， y 2 4 ， x 1 1 4 y 1 1 故直线 AB 的方程： 4x 5y 4 0 ； (2) 设直线 BC ： x 1 my ， 联立方程 y 2 4x 得 ， y 2 4my 4 0 ， 则 y 1 y 2 4 ， 即 y 1 y 2 4. 再设直线 AB ： y kx n ， 联立方程 y 2 4x 得 ， ky 2 4y 4n 0 ， 则 y 1 y 2 4n k 4 ， 即 n k ， 故直线 AB ： y k x 1 ， 即直线 AB 过定点 E 1 ， 0 ， S ABO S 1 1 2 OE y 2 y 1 1 2 y
13、 2 y 1 ， S CFO S 2 1 2 OF y 1 |y 1 | 2 ， 于是 S 2 1 S 2 2 1 4 y 2 y 1 2 1 4 y 2 1 2y 2 1 y 2 2 8 4 1 4 2y 2 1 16 y 2 1 8 ， 1 4 2 2y 2 1 16 y 2 1 8 2 2 2. 13 . (14 分 ) 设抛物线 C 1 ： y 2 4x 的准线与 x 轴交于点 F 1 ， 焦点为 F 2 ；以 F 1 ， F 2 为 焦点 ， 离心率为 1 2 的椭圆记作 C 2 . (1) 求椭圆的标准方程； (2) 直线 l 经过椭圆 C 2 的右焦点 F 2 ， 与抛物线 C
14、1 交于 A 1 ， A 2 两点 ， 与椭圆 C 2 交于 B 1 ， B 2 两点 . 当以 B 1 B 2 为直径的圆经过 F 1 时 ， 求 |A 1 A 2 |长 . (3) 若 M 是椭圆上的动点 ， 以 M 为圆心 ， MF 2 为 半径作圆 M ， 是否存在定圆 N ， 使得 M 与 N 恒相切？若存在 ， 求 出 N 的方程 ， 若不存在 ， 请说 明理由 . 【解析】 (1) 椭圆方程 x 2 4 y 2 3 1. (2) 当直线 l 与 x 轴垂直时 ， B 1 1 ， 3 2 ， B 2 1 ， 3 2 ， 又 F 1 ( 1 ， 0 ) ， 此时 B 1 F 1 B
15、2 F 1 0 ， 所以以 B 1 B 2 为直径的圆不 经过 F 1 ， 不满足条件； 当直线 l 不与 x 轴垂直时 ， 设 l ： y k (x 1) ， 由 y k （ x 1 ） x 2 4 y 2 3 1 即 3 4k 2 x 2 8k 2 x 4k 2 12 0 ， 因为焦点在椭圆内部 ， 所以恒有两个交点 ， 设 B 1 (x 1 ， y 1 ) ， B 2 (x 2 ， y 2 ) ， 则 x 1 x 2 8k 2 3 4k 2 ， x 1 x 2 4k 2 12 3 4k 2 ， 因为以 B 1 B 2 为直径的圆经过 F 1 ， 所以 B 1 F 1 B 2 F 1 0
16、， 又 F 1 ( 1 ， 0 ) ， 所以 ( 1 x 1 )( 1 x 2 ) y 1 y 2 0 ， 即 (1 k 2 )x 1 x 2 (1 k 2 )(x 1 x 2 ) 1 k 2 0 ， 所以解得 k 2 9 7 . 由 y 2 4x y k （ x 1 ） 得 k 2 x 2 (2k 2 4)x k 2 0 ， 因为直线 l 与抛物线有两个交点 ， 所以 k 0 ， 设 A 1 (x 3 ， y 3 ) ， A 2 (x 4 ， y 4 ) ， 则 x 3 x 4 2k 2 4 k 2 2 4 k 2 ， x 3 x 4 1 ， 所以 A 1 A 2 x 3 x 4 p 2 4 k 2 2 64 9 . (3) 存在定圆 N ， 使得 M 与 N 恒相切 ， 其方程为： (x 1) 2 y 2 16 ， 圆心是左焦点 F 1 . 由椭圆的定义可知： MF 1 MF 2 2a 4 ， MF 1 4 MF 2 ， 所以两圆相内切 .
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