32立体几何中向量方法1

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1、3.2 3.2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(1)(1)11.1.利用向量判断位置关系利用向量判断位置关系 利用向量可证明利用向量可证明四点共面、线线平行、四点共面、线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直线面平行、线线垂直、线面垂直等问题，等问题，其方法是通过其方法是通过向量的运算向量的运算来判断，这是数来判断，这是数形结合的典型问题形结合的典型问题.2 例例1 1 在正方体在正方体ACAC1 1中，中，E E,F F分别是分别是BBBB1 1,CDCD的中点，求证：平面的中点，求证：平面AEDAED平面平面A A1 1FDFD1.1.ABCDA1B1C1D1EFxyz3评述：评述

2、：此题用综合推理的方法不易入手此题用综合推理的方法不易入手.用向量代数用向量代数的方法则先证明线线垂直，再由线线垂直来的方法则先证明线线垂直，再由线线垂直来证明线面垂直，从而证得面面垂直证明线面垂直，从而证得面面垂直.证明面面证明面面垂直的原理是一致的，只不过是证明的手段垂直的原理是一致的，只不过是证明的手段不同不同.利用向量解几何题的一般方法是：把线段或利用向量解几何题的一般方法是：把线段或角转化为向量表示，并用已知向量表示未知角转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，通过向量运算去计算或证明向量，通过向量运算去计算或证明.42.2.利用向量求空间角利用向量求空间角 利用向量可以进行求线线

3、角、线利用向量可以进行求线线角、线面角、面面角，关键是进行向量的计面角、面面角，关键是进行向量的计算算.5 例例2 2 空间四边形空间四边形ABCD中，中，AB=BC=CD,ABBC，BCCD，AB与与CD成成60600 0角，求角，求AD与与BC所成的角所成的角.6注意异面直线所成的角与异面直线上两向量注意异面直线所成的角与异面直线上两向量夹角的关系：相等或互补夹角的关系：相等或互补.求异面直线所成的角的关键是求异面直线上求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示，必须把所求向量用空

4、间的一组基向量来表示，本题正遵循了这一规律本题正遵循了这一规律.本题多次运用了封闭回路本题多次运用了封闭回路.评述：评述：7 如果向量如果向量n的基线与平面的基线与平面垂直垂直,则则向量向量n叫做平面叫做平面的的法向量法向量或说向量或说向量n与与平面平面正交正交.平面平面的一个法向量垂直于与平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量共面的所有向量一个平面的所有法向量互相平行一个平面的所有法向量互相平行.直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和平面内的两条相交直线如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直垂直,那么这条直线垂直于这个平面那么这条直线垂直于这个平面.3.3.定义

5、定义:8 已知已知a,b是平面是平面内的两条相交直线内的两条相交直线,且直且直线线n,n.求证求证:n.证明:设m是内的任一条直线,在n,a,b,m上分别取非零向量n,a,b,m.因为a和b相交,由共面向量定理可知,存在唯一的数对(x,y)使m=xa+yb,nm=xna+ynb由已知条件由已知条件,可以推知可以推知na=0,=0,nb=0.=0.因此因此nm=0,=0,得得nm.因为直线因为直线n垂直于平面垂直于平面内的任一直线内的任一直线,所以直线垂直于平面所以直线垂直于平面.3.3.例题例题:9 设设A是空间任一点是空间任一点,n为空间任一非零向为空间任一非零向量量,适合条件适合条件AMn

6、=0.=0.的点的点M M 构成什么样的图形构成什么样的图形?AMn=0.我们用上式表述通过空间一点并且与一个向量我们用上式表述通过空间一点并且与一个向量垂直的平面垂直的平面.通常称为一个通常称为一个平面的向量表示平面的向量表示.设设n1 1,n2 2分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,则容易得到则容易得到讨论：讨论：/(或重合或重合)n1/n2 n1n2 n1n2=010例例3 3 已知点已知点A A(a,0,0),0,0),B B(0,(0,b b,0),0),C C(0,0,(0,0,c c),),求平面求平面ABCABC的一个法向量的一个法向量.设平面设平面ABC的一个法向量为的一

7、个法向量为 n=(x,y,z),则则解解:由已知得由已知得AB=OB-OA=(-a,b,0)不妨令不妨令x=bc则则y=ac,z=ab.OABzyCxnAC=OC-OA=(-a,0,c)因此因此,可取可取n=(bc,ac,ab)为平面为平面ABCABC的一个法向量的一个法向量.114.4.利用向量求空间距离利用向量求空间距离 空间距离是一种重要的几何量，利空间距离是一种重要的几何量，利用常规方法求距离，需要较强的转化用常规方法求距离，需要较强的转化能力，而用向量法则相对简单能力，而用向量法则相对简单.12 例例4 4 正方体正方体ACAC1 1棱长为棱长为1 1，求平面，求平面ADAD1 1C

8、 C与平与平面面A A1 1BCBC1 1的距离的距离.A1B1C1D1ABCDxyz13评述：评述：此此题用找公垂线的方法比较难下手，用向题用找公垂线的方法比较难下手，用向量代数的方法则简捷、高效，显示了向量量代数的方法则简捷、高效，显示了向量代数方法在解决立体几何问题的优越性代数方法在解决立体几何问题的优越性.平行平面间的距离可转化为直线到平面的平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或再转化为点到平面的距离距离或再转化为点到平面的距离.14(1)求求CD的长的长.(2)CD与与AB所成的角所成的角.5.5.练习练习:15ABCDA1B1C1D1 正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，

9、中，P 为为DD1的中的中点，点，O1，O2，O3分别是平面分别是平面A1B1C1D1，平面，平面BB1C1C，平面，平面ABCD的的中心中心.（1）求证：）求证：B1O3 PA.O3PxyzO2O15.5.练习练习:16ABCDA1B1C1D1 正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，P 为为DD1的点，的点，O1，O2，O3分别是平面分别是平面A1B1C1D1，平面，平面BB1C1C，平面，平面ABCD的中心的中心.O3Pxyz（2）求异面直线）求异面直线PO3与与O1O2成的角成的角.O2O15.5.练习练习:176.6.小结小结本堂课的学习重点是用向量代数的方本堂课的学习重点是用向量代数的方法解决立体几何问题，但在学习中应法解决立体几何问题，但在学习中应把几何综合推理与向量代数运算推理把几何综合推理与向量代数运算推理有机结合起来有机结合起来;向量代数推理是更加精练，严密的推向量代数推理是更加精练，严密的推理，每一步都要根据运算法则进行理，每一步都要根据运算法则进行;学习过程中应善于学习过程中应善于“前思后想前思后想”，提，提炼方法，开拓思路炼方法，开拓思路.18 课本课本P107 P107 练习练习 P111 P111 习题习题3.23.2 A A组组 1,2,3,51,2,3,5.5.5.作业作业:1920