高中数学联赛试题及答案

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1、全国高中数学联赛试题解说 与前三届相似，今年的全国高中数学竞赛仍分联赛和加试赛两部分，但是今年的试题明显比去年难，陕西赛区的平均成绩下降了近60分.为了体现本栏目的宗旨，下面仅对今年的联赛试题进行解说，供参照. 一、选择题(本题满分36分，每题6分) 已知a为给定的实数，那么集合=x23x2+0,的子集的个数为（)1. C.4 D不拟定解说：M表达方程+2=在实数范畴内的解集由于=140，因此具有2个元素.故集合有2=4个子集,选 2.命题：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点. 命题2:长方体中,必存在到各条棱距离相等的点；命题:长方体中，必存在到各个面距离相等的点以上三个命题中对的的有(

2、). .0个 .1个 C2个 D3个 解说：由于长方体的中心到各顶点的距离相等,因此命题对的.对于命题2和命题3，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点.因此，本题只有命题1对的,选. 3在四个函数y=i|、y=cos|x、y|g、ylg|six|中，以为周期、在（0，2)上单调递增的偶函数是(） .n|x y=s| .g| Dy=lg|x 解说：可考虑用排除法|不是周期函数(可通过作图判断)，排除；yo|的最小正周期为2，且在(0，2）上是减函数,排除；|cgx|在（0，2）上是减函数，排除.故应选 4如果满足C60,1，B的A恰有一种,那么的取

3、值范畴是( ). A.k= .1k12 .012或=8解说：这是“已知三角形的两边及其一边的对角,解三角形”此类问题的一种逆向问题，由课本结论知，应选结论D阐明:本题也可以通过画图直观地判断,还可以用特殊值法排除、C 5若（1+2)10的展开式为a+1xa2x+x，则0+3+a6+a9+98的值为（ ） .333 B366 3999 .3解说：由于规定的是展开式中每间降两项系数的和,因此联想到的单位根，用特殊值法取=-(1/）+(/)，则3=1，2+1令x=1,得 31000a01a+aa; 令x=，得 00+a1+a22+; 令x，得0a+a124+a3a4000. +得 1000=（0+a

4、+a199).a0+aa18=99，选. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和不小于2,而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和不不小于2元,则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，成果是（ ）. A2枝玫瑰价格高 B.枝康乃馨价格高.价格相似 D.不拟定解说:这是一种大小比较问题.可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为x元、元，则由题设得+3y4，4+5y24，112-12220. x3,选A.图1 解法2:由不等式、及x0、构成的平面区域如图1中的阴影部分(不含边界).令23=2c，则c表达直线l:2x3yc在x轴上的截距.显然,当过点（，2)时,2c有最小值为0故2-30，即23，选. 阐明:(1）本题类

5、似于下面的193年一道全国高中数学联赛试题：已知函数M()a-满足:4(1）1，-1f(2）,那么(3）应满足( ）. -7f(）26.4(3)15C-1(3)2D28/3（3)3 （2）如果由条件、先分别求出x、的范畴，再由2x的范畴得结论，容易出错.上面的解法1运用了整体的思想,解法则直观可靠，详见文1.二、填空题（本题满分分,每题9分) .椭圆1(2-)的短轴长等于_解说:若注意到极点在椭圆的左焦点，可运用特殊值法;若注意到离心率和焦参数p（焦点到相应准线的距离)的几何意义，本题也可以直接求短半轴的长解法1:由（0)+=1，得2/3，（）13,c=13 从而b/3，故2.解法2：由=/=

6、/，=c及b22-c2，得b=/3.从而2b=2/阐明：这是一道符合教学大纲而超过高考范畴的试题. 若复数z、z2满足1=2,|=3，z1-22=(32)-i,则z2=_ 解说：参照答案给出的解法技巧性较强,根据问题的特点，用复数的三角形式似乎更符合学生的思维特点,并且也不繁 令z1=（c+sn），z23（oii)，则由32z2（32)-i及复数相等的充要条件，得6(cos-cs）=3，6(n-sin)-,即n（)/)i（)/2）3/2,12c（+)2)i(（）/2)=1 二式相除,得(+)/2）=/2.由万能公式,得 sin（）1213，os(+)=-5 故z16cs（）n(） -（3013

7、)(213）i 阐明:本题也可以运用复数的几何意义解 9.正方体BCD-AB11的棱长为1,则直线1C与B1的距离是_. 解说：这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多,下面给出一种基本的解法.图2 为了保证所作出的表达距离的线段与1C1和BD都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内.为此,作正方体的对角面DD1B1,则11面D1,且B面BDD11设C1B1D0，在面BD11内作OD1,垂足为，则线段O的长为异面直线A1C与B的距离.在11中,等于斜边D1上高的一半，即OH=/6 1.不等式|（l/2x)+232的解集为_解说:从外形上看，这是一种绝对值不等式，先求得lg2x，或-

8、/lg10，或10 从而x4，或1x27，或0111.函数y=x的值域为_. 解说：先平方去掉根号. 由题设得（y)2=3x+,则(y2-2）/(2-3).由yx，得（y-2)/（2y-3). 解得13/2，或y2 由于能达到下界0,因此函数的值域为1,2)，+） 阐明:()参照答案在求得y32或2后,还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要.（2)本题还可以用三角代换法和图象法来解，但是较繁,读者不妨一试图3.在一种正六边形的六个区域栽种欣赏植物（如图3），规定同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物.既有4种不同的植物可供选择,则有_种栽种方案解说:为了论述以便起见,我们给六块区域依次

9、标上字母、E、按间隔三块、C、E种植植物的种数,分如下三类. (）若A、C、E种同一种植物，有4种种法当A、C、种植后，、E可从剩余的三种植物中各选一种植物(容许反复），各有种措施.此时共有433=08种措施（）若A、E种二种植物，有42种种法当、C、种好后，若A、种同一种,则B有3种措施，D、各有2种措施；若、或、种同一种，相似(只是顺序不同）.此时共有(322)=3种措施 (3）若A、E种三种植物,有种种法.这时、D、各有2种种措施.此时共有322=9种措施根据加法原理，总共有=08432+1932种栽种方案阐明：本题是一种环形排列问题. 三、解答题(本题满分60分,每题20分) 13设n

10、为等差数列，为等比数列，且1=a12，b22,ba32(2）.又（b1b+b)，试求an的首项与公差解说：这是一种有关等差、等比数列的基本问题数列与的前三项满足=a(=1，2,),由此可拟定数列n的首项与公差d的关系;由(b1+b）=便可求出a和d的值设an的公差为,由1a2,得d0由b1b3,得24a122 2a1a3（舍去,否则a3）， 或2=1 (a1d）=-a1（a12),即a4a120.解得=（2）. 若=（-）a1,则q=2a2=(1）21,不符合规定.若=（-2)1,则=22/(1） 由（1bbn)=1，得（1)=+1， 即2/(1-（1）)1.解得a12=. 由2=1及a1知.

11、 a1,（)=224设曲线:（x/）+y=（a为正常数)与C2：y2=2（)在轴上方仅有一种公共点P. （1）求实数m的取值范畴(用表达); （2)O为原点，若C与轴的负半轴交于点A，当02时,试求O的面积的最大值（用表达). 解说：（)可将曲线C1与的公共点的个数问题转化为研究它们的方程构成的方程组解的个数问题.由（/2）+1,消去y，得=2（） 2+2ax22-a2 问题转化为方程在区间(a，）上有惟一解或两个相等的实根设（）x22ax+a2 当,即m=（a2）/2时,x-2由-aa,得0a1这时方程有等根当（-a）f(a)0,即a时，方程在区间（-a，a)内有一种根（另一根在区间外) 当

12、f（a）0，即=a时，xP=a-2a.由-aa2a，得0a1这时方程在区间(-,a)内有惟一解;当f（a)0，即m=-a时,由-a-2,得.故-a 综上所述，当0a时，=(a2）/，或-a；当a1时，-aa (2)A（，),SP=(/)ayP.当a1时，由(1)知-0,从而yP. 要使yP最大，则应最小易知,当m=时,（x）min22从而（yP）2故（SOA)ax=当=（1)2时,-从而P,故SOP(1）a. 下面比较a与(1/)的大小.()2-(（12）=(/4)(3-）(-1).当0a1/3时,（12)a； 当12时,(12）故(SP)ax=(1/2)a（0a1/3),(/3aR. (2）

13、设三个电阻的组件（如图）的总电阻为RA，则 RAB=（RR（+2)）+R（R13+R23)(RR2).显然，R+越大,则RA越小,所觉得使A最小，必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一种.图6图(）设四个电阻的组件（如图7)的总电阻为R，则 1/RC=(/B）+（)=(RR2+R3+R1RRR24）(1R+R1R3R+R3）.记S,S2=，则、S为定值.于是R（3)（1-R4)显然,当R4最小，且1R最大时，RCD最小.故应取3,R3,，才干使总电阻的阻值最小 （4）回到图5,把由1、R、R构成的组件用等效电阻B替代.要使G最小,由（3）知必须使R5；且由(1)知应使RC最小由(2）知，要使E最小，必须使5,且应使CD最小而由(3)知,要使RCD最小,应使4R且4.综上所述，按照图5选用电阻，才干使该组件的总电阻值最小 阐明：根据电学知识，两个电阻并联，其组件的阻值不不小于这两个电阻中阻值最小的一种，因此,本题也可以倒过来思考参照文献1 刘康宁平面区域问题.中学数学教学参照,1