椭圆及其性质知识点题型总结

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1、知识清单1.椭圆的两种定义： 平面内与两定点片，F2的距离的和等于定长2血a 比柑|)的动点P的轨迹，即点集 M=PI IPFl+IPF2l=2a, 2aIFF2l； (2a =Fl时为线段?2，“ 1为双曲线)d(利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点 为焦点，定直线为准线) .2标准方程：(1)焦点在x轴上，中心在原点：芒+竺=1 (ab0)；a 2 b2焦点 F1 (c, 0)，F2 (c, 0)。其中c = !a2 -b2 (一个Rt三角形)y 2 x2(2)焦点在y轴上，中心在原点：1= 1 (ab0)；a 2 b2焦点 F1 （0，c），F2

2、 （0，c）o 其中c = Ja2 -b2注意：在两种标准方程中，总有ab0，c =；a2 - b2并且椭圆的焦点总在长轴上;两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 (A0，B0，AHB),当AV B时，椭圆的焦点在x轴上，AB时焦点在y轴上。x = a cos03参数方程：焦点在x轴，q (0为参数)y = b sm 04 一般方程：Ax2 + By2 = 1( A 0, B 0)5性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：亘+ 21 = 1 (ab0)有以下性质：a 2 b2 坐标系下的性质： 范围：IxIWa, IyIWb； 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O (0,

3、0)； 顶点：A1 (-a, 0), A2(a, 0), B1 (0, -b), B2 (0, b),长轴IA1A2I=2a,短轴IB1B2I=2b；( a 半长轴长， b 半短轴长)；x2 y 2椭圆的准线方程：对于-+右=1，左准线l1: x =a2；右准线12a2:X =-cy 2x2对于二+厂=1,a 2b2a2下准线11： y = c上准线la2:y = cb2=(焦参数)ca2焦点到准线的距离p =- c =c椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称“焦半径公式：P (X0, y0)为椭圆上任一点。IPFI= r左 =a+ex0, IPF2I=厂右=a

4、-ex0；|PF|= a + c, |PF|max=a - c ，左加右减,min|PF |= r =a+ey ， |PF |= r =a-ey1 下 02 上 0上减下加通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通 径最短=岂兰a平面几何性质：离心率：e=a(焦距与长轴长之比)G，1)；e越大越扁，e=是圆。b 22a 2焦准距P=；准线间距=(ZAPA )=ZAB A1 2 212 max 1 2 2cc两个最大角Of PF ) = ZF BF ,12 max焦点在y轴上，中心在原点:y 2 x 2 += 1 (ab0)的性质可类似的给出。a 2 b 26焦点

5、三角形应注意以下关系：(1) 定义：r +r =2a12(2) 余弦定理：r2 + r2 2rrcos e =(2c)2r1r21 2面积：S APF1F 2 = 22C| y0l= C|y0e1=b 2 - tan2(其中 P( x , y )为椭圆上一点，|PF|=r, |PF|=r,ZFPF= e )7.共焦点的椭圆系设法：0 0 1 1 2 2 1 2把椭圆邑+竺=1 ( a b 0 )的共焦点椭圆设为a 2 b 2七+斤=心一方2)a 2 +九 b2 +九8.特别注意：椭圆方程中的 a,b,c,e 与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐 标系有关因此确定椭圆方程需要三个条

6、件:两个定形条件a,b, 个定位条件焦点坐标或 准线方程.9.弦长公式：+ 右 |yi 打1 + k2 计x + x = 12 acx x =、1 2 aa,b,c 为方程的系数考点解析考点一 椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用例1 .椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经 过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴 长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭 圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（）A4a B2(ac) C2(a+c)Dx2y 2例2.点P为为椭圆+厉=1

7、（a b ）上一点， F2是椭圆的两个焦点，试求:|PF|-|PfJ取得最值时的P点坐标。题型 2 求椭圆的标准方程例 3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且 此焦点与长轴上较近的端点距离为4迈4,求此椭圆方程.考点二 椭圆的几何性质题型 1:求椭圆的离心率（或范围）例4在ABC中，=300,1 AB 2, LbC =打.若以A，B为焦点的椭圆经过点C, 则该椭圆的离心率e二 .题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）兰+兰=1例 5.的最大值与最小值已知实数X，y满足42，求X2 + y2 - X考点三 椭圆的最值问题题型 1: 动点在椭圆上

8、运动时涉及的距离、面积的最值x2 y 2+ = 1例6.椭圆16 9上的点到直线l: x + y-9二0的距离的最小值为.题型 2.|開+1|丹|1、的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离 网+1昭|心率，求的最小值。C： + = 1例7.已知椭圆厉 16内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。2、的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点）,P为C上的一个动点,F是C的一个焦点，求刈+ 1丹1的最值。例 8 已知椭圆2516=1内有一点A (2, 1), F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求刈+昭1的最大值与最小值。

9、3、刊+赧的最值若A为椭圆C外一定点，/为C的一条准线，P为C上的一个动点，P至M的距离为d,求例9.已知椭圆2516夕卜一点A (5，6)，1为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点PPA+-d到！的距离为d,求 5的最小值。4、椭圆上定长动弦中点至准线距离的最值dd +莓=b 0)例10.定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线/的最短距离。考点四 直线与椭圆相交问题题型 1 直线与椭圆相交求弦长(1) 常用分析一元二次方程解的情况，仅有还不够，且用数形结合的思想。(2) 弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但厶0这一制约条件不同意。bAB 二 J1 + k2

10、xxJ p 讣 It 瑞二 “+k 2 计x + x =12 a z 皿S(a,b,c 为cxx =、1 2 a方程的系数)例11.已知直线l过椭圆8x2 + 9y2二72的一个焦点，斜率为2, l与椭圆相交于M、N两点, 求弦Mn |的长。题型2“点差法”解题。“设而不求”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直 线方程，用“点差法”来求解。b2a2b2xoa2y0步骤：1.设A(x1，y1) B(x2，y2)分别代入椭圆方程；/、y y b2(x + x )2.设p(x , y )为AB的中点。两式相减，12 = 1200X xa2(y + y )

11、12123.得出k二Z乙x x12x2 y 2注：一般的，对椭圆石+厉=1上弦AB及中点，M，有 5 - Kom =例12.已知椭圆+ y2 = 1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程考点五.轨迹问题 这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。1直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x, y)，直接列出动点所应满足的方程。 2代入法：一个是动点Q(x0，y)在已知曲线F(x,y)=O,上运动，而动点P(x,y)与Q点满 足某种关系，要求 P 点的轨迹。其关键是列出 P、 Q 两点的关系式 x 二 f (x, y) 0y 二 y(x, y)o3. 定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定

12、义相符，则通过这个定义 求出方程。 一,，十x 二 f (t)r4. 参数法：在x，y间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用5(t为参数)I y 二 y(t)来反映x，y之间的关系。常用的参数有斜率k与角等。例13： AABC的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6),另两边斜率的乘积是9，求顶点A的轨迹方程：考点六 综合性问题，与平面向量结合(2011 四川卷理)(本小题满分12 分)椭圆有两顶点A(-l, 0)、B(1, 0),过其焦点F(0, 1)的直线l 与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P直线AC与直线BD交于 点 Q (I) 当|CD | = | 2时，求直线l的方程；

13、(II) 当点P异于A、B两点时，求证：OP - OQ为定值。解：由已知可得椭圆方程为1 + x 1 = 1，设1的方程为y -1 = k (x - 0), k为1的斜率则y kx + 1y i(I + k i) x i + I kx 1 0+ x I 12I kx + x 1 I I + kI1x x 1 I I + kIy1 + yy1 yI 4-I + k i-2 k i + 2I + k I.、/、8k I + 88 k 4 + 8 k i 977 rr(x x )i + (y y )i + n ki I n k 21 I1 i (I + k i)i(I + k i)iI1的方程为y

14、2x +1或y 一*2x +1为所求.(II)当直线1与x轴垂直时与题意不符.1 设直线1的方程为y kx +1, (k丰0且农h1)，所以p点坐标为(一 ，0)kIk1设 C (x , y ), D (x , y )，由(I)知 x + x , xx 1 1I I1 II+kI1 I I+kI 因为-1 xi, x 所以廿与十异号直线AC的方程为y 匸(x +1),x + 11x+1 将两直线方程联立，消去y得二x1直线bd的方程为y (x1)x 1Iy (x +1)i y (x 1)1I1(X + 1)2(1 + X )(1 + X )1 二 1 2 (X -1)2(1 - X )(1 -

15、 X )2 1 2/X + 1、y2(x + 1)22 - 2x2()2 二 2 1 二2-x-1y2(x -1)22-2x21 2 1)21-又 y y 二 k 2 X X + k (X + X ) + 1 二1 2 1 2 1 22(1 - k)(1 + k)2(1 + k)2 k - 1二一.k2 + 2k2 + 2 k +1.L-1与y y异号，3与口同号, k +11 2 X-1 k +1.A+1 二匚！，解得 x = -kX -1 k + 1因此Q点坐标为（-k，y），OPfQ =(-jd-k, y o) =1故OpOQ为定值.（2013 四川卷理）（本小题满分12 分）已知椭圆C

16、 :竺+丘二1,（ ab0）的两个焦点分别为F （-1,0）, F （1,0），且椭圆C经过 a 2 b 212点p（4丄）（I）求椭圆C的离心率；（II）设过点A（0,2）的直线l与椭圆C交于M、N两点，点Q是线段MN上的点，且+| AQ |2| AM |2| AN |21 ，求点Q的轨迹方程.解：（1）由椭圆定义知，( 42r 1、2 jr 42r 1 + J-1+冀3丿(3丿XI 3丿(3丿2a= | PF | + | PF | =122 =用，所以a =打2 . 又由已知，c = l.c所以椭圆C的离心率e =厂巨亍1 0,得 k2 .2由可知，x1+x2=条2+1xx=12满足 10(y 2)2 3x2= 18,故xG0,2 -2U0,代入中并化简，得x 2=宀因为点Q在直线y=kx+2 上,y-2所以k = ，代入中并化简，得10(y2)23x2= 18. x33由及k2 ，可知0x2 ，即xG由题意, Q(x, y) 在椭圆 C 内, 所以一lWyWl. 、又由 10(y2)2=18+3x2有(y2)2G 9,9 |且一lWyWl,L 5 4丿所以，点Q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18,其中xG |-爭半丿