高中数学联赛一试试题

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1、全国高中数学联赛一试试题一 填空题:本大题共8小题，每题8分,共64分。1.设集合，集合,则集合B中所有元素的和为2.在平面直角坐标系中，点A、B在抛物线上,满足,F是抛物线的焦点,则.在中,已知，则的值为.已知正三棱锥的底面边长为,高为，则其内切球半径为5.设a、b为实数,函数满足：对任意,有，则的最大值为6.从中任取5个不同的数,其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x,y满足，则的取值范畴是8.已知数列共有项，其中,且对每个均有，则这样的数列的个数为二解答题：本大题共3小题,共5分。解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节。.(本题满分16分）给定正数数列满足这里.证明：存在常数,使得1

2、0. （本题满分20分)在平面直角坐标系中,椭圆的方程为，分别为椭圆的左、右顶点,分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上不同于和的任意一点.若平面中有两个点满足,试拟定线段的长度与的大小关系,并给出证明。11（本题满分2分）设函数,求所有的正实数对,使得对任意实数均有全国高中数学联合竞赛加试试题一 （本题满分0分)如图,AB是圆的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段上两点，满足A=F=F连接P、P并延长,与圆分别项交于点、D.求证:(解题时请将图画在答卷纸上)二 (本题满分40分)给定正整数u、v数列的定义如下:,对整数,记.证明：数列中有无穷多项是完全平方数。三 （本题满分0分)一次考试共有m道试

3、题，n个学生参与,其中为给定的整数.每道题的得分规则是:若该题恰有x个学生没有答对,则每个答对盖提的学生得x分，未答对的学生得0分.每个学生的总分为其m道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排列为,求的最大也许值。四 (本题满分5分)设为不小于1的整数,证明：存在2k个不被整除的整数,若将她们任意提成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除。全国高中数学联合竞赛一试试题参照答案及评分原则阐明：1. 评阅试卷时,请根据本评分原则。填空题只设8分和0分;其她各题的评阅,请严格按照本原则评分档次给给分，不要增长其她中间档次。2. 如果考生的解答和本解答的不同,只要给合理的思路、环节对的，在评卷时可参

4、照本评分原则合适划分档次评分,解答题中第9题分为一种档次.第10、小题5分为一种档次,不要增长其她中间档次一 填空题：本大题共8小题，没小题分，共6分.1. 答案：-5【解答】易知当时,，有;而当时,有.因此，根据B的定义可知.因此，集合B中所有元素的和为-52. 答案:2【解答】点F的坐标为（,）.设，则,故即，故=23. 答案：11【解答】由于,因此,故4. 答案：【解答】如图，设球心O在面AB与面AP内的照相分别为和K,AB中点为M，内切球半径为,则P、共线,，且,=,于是解得:5. 答案:【解答】易知,则当即时,，故的最大值为6. 答案【解答】设取自若互不相邻,则由此可知从中取5个互不

5、相邻的数的选法与从中取5个不同的数的选法相似，即种.因此从中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻的概率为：7. 答案：【解答】令,此时,且条件中档式化为,从而满足方程:如图所示，在平面内，点的轨迹是觉得圆心,为半径的圆在的部分，即点O与弧的并集,因此,从而 8. 答案：491.【解答】令,则对每个符合条件的数列，有且（)反之,由符合条件的8项数列也许唯一拟定一种符合题设条件的项数列。记符合条件的数列的个数为N,显然中有偶数个，即个;继而有个2，个1.当给定时，的取法有种，易见k的也许值只有:因此因此，根据相应原理，符合条件的数列的个数为41二 解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字

6、阐明、证明过程或演算环节。9. 【解答】当时,等价于 对常数，用数学归纳法证明:时结论显然成立.又对，假设,则由式可知=因此,由归纳法可知上式成立。10. 【解答】令,则,，设，其中，.由,可知: 将、相减得：，即,将其代入可得：故，于是根据，同理可得因此由于,故（其中档号成立的充足必要条件是，即点P的坐标是）11. 【解答】已知条件可以转化为：对任意实数,有先谋求a、b所满足的必要条件，在中令得:即对任意的实数，有：由于,故可以取到任意大的值,因此必有,即：在式中再令，得:，即对任意实数x,有将式的左边记作为,显然（否则,由可知,此时，其中,故可取到负值，矛盾)，于是=对一切实数x成立,从而

7、必有:,即进一步考虑到,再根据,可得：至此,求得满足的必要条件如下：下面证明,对满足的任意实数对以及任意实数,总有成立,即:对任意取非负值。事实上,在式成立时,有再结合，可得： = 综上所述,所求的正实数对全体为全国高中数学联赛加试试题参照答案及评分原则一【证明】连接.由于,从而= 同理可得:另一方面，由于故将两式相乘可得:，即 由托勒密定理 由 得:即:二 【证明】对正整数,有 =因此 = =设,其中k是非负整数，q是奇数.取,其中为满足的任意正整数,此时,注意到q是奇数，故:因此，是完全平方数.由于有无穷多种，故数列中有无穷多项是完全平方数。三 【解答】对任意的设第题没有答对者有人,则第答

8、对者有人，由得分规则知,这个人在第k题均得到分.设个学生的得分和为S，则有 由于每一种人在第道题上至多得分，故由于，故有,因此 由柯西不等式可得:于是=另一方面，若有一种学生所有答对,其她个学生所有答错,则综上所述，的最大值为四【证明】 先考虑为2的幂的情形。设,则.取个及个,显然这些数字均不被n整除将2k个数任意提成两组，则总有一组中具有2个,她们的和为，被n整除。目前设n不是2的幂，取2k个数为由于不是2的幂，故上述2k个数均不被n整除。 若可将这些提成两组,使得每一组中任意若干个数的和均不能被n整除。不妨设1在第一组，由于-+1=0,被整除,故两个1必须在第二组;由于（-1)+(-1）2=0,被n整除，故2在第一组,进而推出-在第二组。 目前归纳假设均在第一组,而均在第二组,这里，由于，被n整除,故在第一组，从而在第二组,故由归纳法可知,在第一组,在第二组。最后,由于被n整除,故在第一组。因此中若干个数的和，特别地，由于,故在第一组中有若干个数的和为n,固然被n整除，矛盾！ 因此,将前述2k个整数任意提成2组,则总有一组中有若干个数之和被n整除。