高中数学排列组合题型总结

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1、排列组合题型总结 排列组合问题千变万化，解法灵活,条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时,除做到:排列组合分清,加乘原理辩明,避免反复漏掉外，还应注意积累排列组合问题得以迅速精确求解。一 直接法1 特殊元素法例1用1，2，3，4,5,6这6个数字构成无反复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1)数字1不排在个位和千位（2)数字不在个位，数字6不在千位。分析:（1）个位和千位有个数字可供选择，其他2位有四个可供选择，由乘法原理:=242特殊位置法（2)当1在千位时余下三位有=60,1不在千位时，千位有种选法,个位有种,余下的有,共有=192因此总共有12+

2、22二 间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2）可用间接法=25例2有五张卡片,它的正背面分别写与1,与,与5,6与，8与9,将它们任意三张并排放在一起构成三位数,共可构成多少个不同的三维书? 分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用，类别较复杂，因而可使用间接计算:任取三张卡片可以构成不同的三位数个,其中在百位的有个，这是不合题意的。故共可构成不同的三位数-=432（个)三 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。 例3 在一种具有个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入措施? 分析:原有的8个节目中

3、具有9个空档，插入一种节目后,空档变为10个，故有0中插入措施。四 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起当作一种大元素与女生全排列有种排法,而男生之间又有种排法，又乘法原理满足条件的排法有：57练习1.四个不同的小球所有放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种()2 某市植物园要在0天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多,要安排持续参观天，其他只参观一天，则植物园30天内不同的安排措施有(）(注意持续参观天,即需把30天种的持续两天捆

4、绑当作一天作为一种整体来选有其他的就是19所学校选8天进行排列)五 阁板法 名额分派或相似物品的分派问题,合适采阁板用法例5 某校准备组建一种由12人构成篮球队,这12个人由8个班的学生构成,每班至少一人，名额分派方案共 种 。分析:此例的实质是12个名额分派给8个班,每班至少一种名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板,一种插法相应一种名额的分派方式，故有种练习.(a+d)5有多少项？当项中只有一种字母时,有种（即a.b.cd而指数只有5故。当项中有2个字母时,有而指数和为1,即将15分派给2个字母时,如何分，闸板法一分为2,即当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可当项种个

5、字母都在时 四者都相加即可.练习2有2个不加区别的小球放入编号为1,3的三个盒子里,规定每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的措施?()3.不定方程X1+X+X3+X50=100中不同的整数解有（)六 平均分堆问题 例6 本不同的书平均提成三堆,有多少种不同的措施? 分析:分出三堆书（a1,a2)，(a3,a),(5,a6)由顺序不同可以有=种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均提成三堆方式有种练习：16本书分三份,2份1本，1份本，则有不同分法？2某年级6个班的数学课，分派给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派措施的种数。七 合并单元格解决染色问题例（全国卷（文、

6、理）)如图,一种地辨别为5个行政区域，现给地图着色,规定相邻区域不 得使用同一颜色,既有四种颜色可供选择，则不同的着色措施共有 种(以数字作答)。 分析:颜色相似的区域也许是2、3、4、5 下面分状况讨论: ()当2、4颜色相似且、5颜色不同步,将2、合并成一种单元格,此时不同的着色措施相称于个元素 的全排列数(）当2、4颜色不同且3、5颜色相似时,与情形()类似同理可得 种着色法()当2、4与3、分别同色时，将2、4;3、分别合并,这样仅有三个单元格 从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有种措施. 由加法原理知:不同着色措施共有2=48+24=2（种）练习1（天津卷(文)将3种作物种植1

7、2345 在如图的5块实验田里，每快种植一种作物且相邻的实验田不能种植同一作物， 不同的种植措施共 种（以数字作答） (2)2（江苏、辽宁、天津卷（理）某都市中心广场建造一种花圃，花圃分为个部分（如图3），现要栽种种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同同样颜色的话,不同的栽种措施有 种（以数字作答）.(120）图3 图43如图4，用不同的5种颜色分别为BCDE五部分着色,相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用,则符合这种规定的不同着色种数(50)4如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同,不

8、相邻区域颜色相似，不相邻区域颜色相似与否不受限制，那么不同的着色措施是 种(8)图5 图6.将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使用,则不同的染色措施共 种（40) 八 递推法例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级,要走上这0级楼梯，共有多少种不同的走法？分析:设上级楼梯的走法为种,易知a11,22,当n2时,上n级楼梯的走法可分两类:第一类:是最后一步跨一级,有n-种走法,第二类是最后一步跨两级,有an-2种走法,由加法原理知:an=a-+ -2,据此,=a1+a23,a4=#+a25,a5=+a3=8，a613,7=21，a83

9、,a9=55,a10=8.故走上10级楼梯共有8种不同的措施。九.几何问题 1.四周体的一种顶点位A,从其他顶点与各棱中点取3个点,使它们和点在同一平面上，不同的取法有 种（3+3=33）2.四周体的棱中点和顶点共10个点（1)从中任取3个点拟定一种平面，共能拟定多少个平面？(-+4-3+36+6+26=29） (）以这10个点为顶点，共能拟定多少格凸棱锥？三棱锥 C1044C64-6C44-344=14四棱锥 644=9 6=8 共有11十 先选后排法例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承当，乙丙各需人承当，从10人中选派4人承当这三项任务,不同的选派措施有( ）A1260种B.025种C.25

10、20种D.5054种分析：先从1人中选出2人十一.用转换法解排列组合问题例10某人持续射击8次有四次命中，其中有三次持续命中,按“中”与“不中”报告成果，不同的成果有多少种.解 把问题转化为四个相似的黑球与四个相似白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题=20种例11 个人参与秋游带0瓶饮料，每人至少带瓶，一共有多少钟不同的带法.解 把问题转化为个相似的白球不相邻地插入已经排好的10个相似的黑球之间的9个空隙种的排列问题.=126种例1 从,2，,100个自然数中任取10个不持续的自然数，有多少种不同的去法解 把稳体转化为10个相似的黑球与99个相似白球，其其中黑球不相邻的排列问题。例13 某都市

11、街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种解 无论如何走必须通过三横四纵，因此，把问题转化为3个相似的白球与四个相似的黑球的排列问题.=35(种）例14 一种楼梯共个台阶12步登完，可一步登一种台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法解 根据题意要想1步登完只能6个一步登一种台阶，6个一步登两个台阶，因此,把问题转化为个相似的黑球与个相似的白球的排列问题.=4（种)例15 求(a+bc）0的展开式的项数.解 展开使的项为abc,且+10，因此，把问题转化为2个相似的黑球与1个相似的白球的排列问题.=66（种)例16 亚、欧乒乓球对抗赛，

12、各队均有5名队员,按事先排好的顺序参与擂台赛，双方先由1号队员比赛,负者裁减，胜者再与负方号队员比赛,直到一方全被裁减为止,另一方获胜,形成一种比赛过程.那么所有也许浮现的比赛过程有多少种?解 设亚洲队队员为a1，a2，,a5,欧洲队队员为1,b2，b5,下标表达事先排列的出场顺序，若以依次被裁减的队员为顺序.比赛过程转化为这个字母互相穿插的一种排列，最后师胜队种步被裁减的队员和也许未参与参赛的队员,因此比赛过程可表达为5个相似的白球和5个相似黑球排列问题，比赛过程的总数为22(种）十二.转化命题法例17 圆周上共有个不同的点,过其中任意两点连一弦,这些弦在圆内的交点最多有多少各？分析:因两弦

13、在圆内若有一交点，则该交点相应于一种以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的个不同的点能构成多少个圆内接四边形,因此这些目前圆内的交点最多有=136（个）十三概率法例18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课,如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等,均为,故本例所求的排法种数就是所有排法的，即A=360种十四.除序法 例19 用，2,3,4，5,6,7这七个数字构成没有反复数字的七位数中，（1)若偶数，4,6顺序一定,有多少个?()若偶数2,4，6顺序一定,奇数1，3,5,7的顺序也一定的有多少个? 解（1)（2）十五.错位排列例2 同室四人各写一张贺卡，先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分派措施有 种（9)公式1) n=4时a43(a）=9种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排.2)!(+-+练习有五位客人参与宴会，她们把帽子放在衣帽寄放室内,宴会结束后每人戴了一顶帽子回家,回家后,她们的妻子都发现她们戴了别人的帽子,问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种?（44）