高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法

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1、函数的定义域与值域的常用措施（一)求函数的解析式1、函数的解析式表达函数与自变量之间的一种相应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是=f（）,不能把它写成f（x，y）0；2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所拟定的自变量的范畴一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中保证恒等变形;3、求函数解析式的一般措施有:（1）直接法:根据题给条件，合理设立变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出。(2)待定系数法：若明确了函数的类型,可以设出其一般形式，然后裔值求出参数的值;(3)换元法：若给出了复合函数f（)的体现式，求f(x）的体现式

2、时可以令g（）,以换元法解之;(4)构造方程组法:若给出f(x）和f（-）,或f(x)和f（1/x)的一种方程,则可以x代换(或1/x），构造出另一种方程,解此方程组，消去f(x)(或f(1/）)即可求出f（x)的体现式;（5）根据实际问题求函数解析式:设定或选用自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出的体现式；要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般规定用集合或区间来表达；2、常用题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,另一方面要考察自变量所在位置，位置决定了自变量的范畴,最后将求定

3、义域问题化归为解不等式组的问题；、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等；、对复合函数=fg（）的定义域的求解，应先由y=(u）求出的范畴，即(x）的范畴,再从中解出x的范畴I1；再由()求出y=（）的定义域I2，I和I2的交集即为复合函数的定义域；、分段函数的定义域是各个区间的并集;6、具有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范畴内定义域不同样,则在论述结论时分别阐明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在论述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；(三)求函数的值域1、函数的

4、值域即为函数值的集合,一般由定义域和相应法则拟定，常用集合或区间来表达;、在函数：AB中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C,则是的子集；若C，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集;4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;论述结论时要就参数的不同范畴分别进行论述；5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集;6、求函数值域的措施十分丰富，应注意总结;（四)求函数的最值、设函数yf(x)定义域为A，则当x时总有f(x)f(）=M,则称当x=o时f（x)取最大值M；当xA时总有f（x）f（）=N,则称当x=1时（x

5、）取最小值N;2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题;3、闭区间的持续函数必有最值。【典型例题】考点一:求函数解析式1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。例1.已知函数yf(x）满足xy2且x4故所求定义域为：x|x-2且x4。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例.已知函数由下表给出，求其定义域X12346Y231435-617解:1，2，3，4,5,6。3、求与复合函数有关的定义域:由外函数f（)的定义域可以拟定内函数g(x）的范畴,从而解得xI1,又由g(x)定义域可以解得xI2则I12即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的体现式后再行求解。解:又由

6、于xx *联立*、*两式可解得:例若函数f(2x）的定义域是-1,1，求(lo2x）的定义域。解:由（2)的定义域是-1，可知：212x，因此f()的定义域为21,2，故lg2x-,2，解得,故定义域为。4、求解含参数的函数的定义域:一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。例10. 求函数的定义域。解:若，则xR；若，则;若，则;故所求函数的定义域：当时为R,当时为，当时为。阐明：此处求定义域是对参变量a进行分类讨论,最后论述结论时不可将分类讨论的成果写成并集的形式,必须根据的不同取值范畴分别论述。考点三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的措施十分丰富,下面通过例题

7、来探究某些常用的措施；随着高中学习的进一步,我们将学习到更多的求函数值域与最值的措施。1、分离变量法例11 求函数的值域。解：，由于,故y2，因此值域为yy。阐明:这是一种分式函数，分子、分母均具有自变量,可通过等价变形，让变量只出目前分母中,再行求解。2、配措施例2. 求函数y=2x2+4x的值域。解：y2x2x=2（x2+2x1）-2=2(x+1）2，故值域为yy2。阐明：这是一种二次函数，可通过配方的措施来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此措施求解,如y=af2（x）+b（x)c。3、鉴别式法例3求函数的值域。解:可变形为:（y）x2+（5y-）x+6y-

8、3=0,由0可解得:。阐明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式拟定,题中条件不再此外给出;如果题中条件此外给出了定义域,那么一般状况下就不能用此法求解值域；第二，用鉴别式法求解函数值域的理论根据是函数的定义域为非空数集，因此将原函数变形为一种有关的一元二次方程后,该方程的解集就是原函数的定义域，故0。4、单调性法例4. 求函数，的值域。解：由于函数为增函数，故当x时，ym;当x=5时，ymax=,因此函数的值域为。5、换元法例15.求函数的值域。解：令，则y=2t4t2=（t-)2+4,t0，故所求值域为|4。6、分段函数的

9、值域：应为各区间段上值域的并集。例6. 求函数的值域。解：当1，2时,y1，2；当x2，时,4,9；当x,4时，y,。综上所述,y1,23，。、图像法：例17设f()若f(g(x)的值域是0，),则函数=g(x)的值域是 ( )A.(，1,+) B.(-，10,+)C.0,+) D.1,+)解析：如图为f(x)的图象，由图象知f()的值域为(1,+),若f(g()的值域是0，+),只需g（x）(，-10，+). 故选.8、反函数法:运用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。例8求函数的值域。解：由解得,， 函数的值域为。9、有界性求法:运用某些函数有界性求得原函数的值域。例9：求函数的值域。解：由函数的解析式可以懂得,函数的定义域为,对函数进行变形可得，,（，),，,函数的值域为