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1、第二章 时域离散信号和系统的频域分析信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法，本章学习序列的傅立叶变换，它和模拟域中的傅立叶变换是不一样的。2.1 序列的傅立叶变换的定义序列的傅立叶变换的定义FT:IFT:下一页下一页IFT:X(n)和X(ejw)是一对傅立叶变换对，FT存在的充分必要条件是：如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅立叶变换亦可用冲激函数的形其傅立叶变换亦可用冲激函数的形式表示出来。式表示出来。2.2 序列的傅立叶变换的性质 1、FT的周期性 2、FT的线性 3、FT的时移和频移特性 4、FT的对称性 5、F
2、T的时域卷积定理 6、FT的频域卷积定理的周期性由序列的傅立叶变换公式：N取整数，可以把频率分成两部分其中的M为整数。因此序列的傅立叶变换是频率的周期函数。因此序列的傅立叶变换是频率的周期函数。的线性设那么式中a和b为常数。3.FT 的时移和频移特性设那么4.FT 的对称性 在学习FT的对称性之前首先介绍共轭对称和公轭反对称以及它们的性质。满足为共轭对称序列，且共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。满足为共轭反对称序列，且共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数。一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和来表示：将上式中的n用-n代替，再取共轭，可得到下式：利用上面的两个公式即可求得xe(
3、n)和xo(n)，即对于频域，同样有FT 的对称性的对称性1、将序列分成实部xr(n)和虚部xi(n)将实部进行FT其具有共轭对称性。将虚部进行FT其具有共轭反对称性。结论结论：序列分为实部和虚部两部分，实部对应的序列分为实部和虚部两部分，实部对应的FT具有具有共轭对称性，虚部和共轭对称性，虚部和j一起对应的一起对应的FT具有共轭反对具有共轭反对称性称性。2、将序列分成共轭对称xe(n)与共轭反对称xo(n)两部分且有：对上面两式取FT，得到结论结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应FT的实部，序列的共轭反对称部分xo(n)对应FT的虚部。共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数将xe(n)用
4、实部和虚部表示：将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到：对比上面两式，因为左边相等，故可以得到：共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数将x0(n)用实部和虚部表示：将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到：对比上面两式，因为左边相等，故可以得到：5.时域卷积定理设证明：令 k=n-m ，则该定理说明：在求系统的输出信号时，可以在时域用卷积来计算，也可以在频域先求输出的FT，再作逆变换。6.频域卷积定理设则证明：交换积分和求和次序得到：该定理表明：在时域两序列相乘，转换到在时域两序列相乘，转换到 频域服从卷积关系频域服从卷积关系。2.3 2.3 周期序列的离散傅立叶级数周期序列的离散傅立叶级数
5、 及傅立叶变换表示式及傅立叶变换表示式 问题的提出：因为周期序列不满足绝对可和的条件，因此FT不存在，但周期序列可以展开成离散傅立叶级数，引入 函数，周期序列的FT可用公式表示。1、周期序列的离散傅立叶级数周期序列的离散傅立叶级数(DFS)(DFS)设 是以N为周期的周期序列，其傅立叶级数为：式中傅立叶级数的系数（为什么？）令则上面两式是一对DFS.例题：见pp-36对 两边同乘 ，并对n在一个周期中求和为什么下式成立？为什么下式成立？因为只有m=k时才有值2 2、周期序列的傅立叶变换表示式、周期序列的傅立叶变换表示式模拟系统中时域离散系统上式表示复指数序列的FT是在 处的单位冲激函数，强度为
6、 ，这个结果是否成立？则须考察它的反变换必须存在，且唯一等于按照反变换的定义在 区间，只包括一个冲激函数，故等式右边为 周期序列的傅立叶变换式周期序列的傅立叶变换式对于一般的周期序列 展成离散傅立叶级数类似复指数序列的FT，第k次谐波 的FT为：因此 的FT为：如果k在 之间变化，上式可简化成例 2.3.2 见pp-39注意：对于一个周期信号，其傅立叶级数和傅立叶变换的形状是一 样的，不同的是在画法上有所不同。例 2.3.3 见pp-392.4 2.4 时域离散信号和模拟信号的时域离散信号和模拟信号的傅立叶变换之间的关系傅立叶变换之间的关系模拟信号的傅立叶变换用 表示采样信号的傅立叶变换用 表示 （见教材pp20）序列的傅立叶变换（即时域离散信号的傅立叶变换）与模拟信号的立叶变换之间的关系如何？时域离散信号的傅立叶变换我们知道模拟信号的傅立叶反变换为：取t=n T时，则有 （*）式由于时域离散序列x(n)是采样信号 构成，所以有由于两者的积分上下限不同，故无法得到 之间 的关系。将(*)式变成无数个小区间之和，区间为又知道 所以我们把两个等式进行比较，可得结论：时域离散信号的傅立叶变换仍然是模拟信号的傅立叶变换以周期 进行周期延拓。例 2.4.1 pp-42
数字信号处理丁玉美版教案第2章14节
