导数放缩

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1、导数的放缩的应用1已知数列满足.（）设，,证明:;(）证明：(为自然对数底数）；()设 ,，试比较与与的大小关系，并阐明理由.解:(）即证：，即证:,设,当时，在上单调递增，当时,在上单调递减，（当且仅当时等号成立),即时，有，, 4分（用数学归纳法给分)（)由（)知：当且时，有，即当且时,有,由于，因此 ，即 8分()，理由如下:解法一:由（)知:, 设 ，由于，因此 12分解法二:由于, 且,因此下面用数学归纳法证明:时，即，当时,左边,即当时不等式成立；假设当时不等式成立,即， 则当时, ， ， ， ,因此当时,不等式也成立；综合时，即成立,因此.2（广州综合测试)已知函数f(x)mex

2、 x-1.(1)当=1时，求曲线=(x)在点（1，f(）)处的切线方程；(2)当m1时，证明：f(）1解：(）当m时,f(x)xn-1，因此f（x）=ex.因此f（）=e，f（1)1因此曲线yf(x)在点(1,f（)处的切线方程为y-(e1)（e1)(1),即=(1）.(2)证明:当m时，f（x)=mexlnx-1xx（0).要证明(x),只需证明e-ln x-0设(x)=ex-n x-2,则g（)x设h（x）e-，则h(x)x0,因此函数h(x)g(x)ex在(0，)上单调递增.由于=e-20,g（1)e-10，因此函数(x)ex-在(0，）上有唯一零点0，且x.由于g()0，因此ex0，即

3、ln x0=-x.当x（0,x0)时，g(）0.因此当0时,(x)获得最小值(x0).故g（x)g(x0)=ex0-ln -2x00.综上可知，当m1时，f(x)13已知函数(x)axblx1，此函数在点(1，f（1)处的切线为x轴(1)求函数f（x)的单调区间和最大值;(2)当x0时,证明：n；(3)已知N*,n，求证:+n1+解：(1)由题意得由于f(x)=a,因此解得因此(x)-x+l 1即f(x)=-1，又函数f(x)的定义域为(0,+)，因此当0x，当x1时，f()0故函数f(x)的单调递增区间为(0，1），单调递减区间为(1，)，函数(x)的最大值为f(1)0.()证明:由(1）知

4、f(x)x+ x,且(x)0（当且仅当时取等号），因此n xx1(当且仅当x1时取等号)当x0时,由1，得l -1;由1,得lnln.故当x0时，.(3)证明：由()可知,当x时，ln取1,2，-,nN*，n2，将所得各式相加，得+n+lnln1+,故+1,证明当x(0,1）时,1(c1)xcx解:()由题设，f(）的定义域为(0,)，f（x）=,令f(）0,解得x1.当0x,f（x）单调递增;当1时,f(x），f(x)单调递减.(2)证明:由(1)知，f（)在=1处获得最大值,最大值为f（)=因此当x1时,l x1.故当x（,+)时,l x1，n1,即1，g(x)单调递增；当x时,g（)0，

5、g（x)单调递减.由(2)知1c,故0x01.又g(）=g（1)=0,故当00.因此当x(0,）时,+(-1)xx.5、已知函数,其中a为实数,若，求函数的最小值;若方程在上有实数解，求a的取值范畴;设均为正数，且，求证：.【答案】(）(2）（）见解析【解析】（）f(x）=ex-1，由（x）=0得0当x0时，f（)0，f（x）在（0，+）内递增;当时，(),f()在(-，0）内递减；故函数f()在x0处获得最小值f（1）=0（2)f（x)=-(0)当时，f（x)0，（）在（0，2内递增；f（）f()0，方程()=0在（0,2上无实数解;当e2时,（x)0，f(x)在(，2内递减；f()f(0）

6、=0，方程f（x)在(0，2上无实数解；当1e2时，由f（)=0,得x=na,当0ln时,(）,（x)递减;当na，f（）递增;又(0）0,f(）=e2-由f（2)=-a-1得故的取值范畴为（)由（1）知,当x(0,+)时,exx+1，即ln(x+1）x.k,k0,从而有lnakak-1，得bknaakbk-bk（=,2,，）,求和得即，故3.已知函数.（1）讨论的单调性;（）若有两个零点，求的取值范畴【解析】 （1）由于故当时,.从而恒成立.在上单调递减当时,令，从而，得.单调减极小值单调增 综上,当时，在上单调递减; 当时，在上单调递减,在上单调递增(2)由(1）知,当时，在上单调减，故在

7、上至多一种零点，不满足条件.当时,.令.令，则.从而在上单调增,而.故当时,.当时.当时若,则，故恒成立，从而无零点，不满足条件.若,则，故仅有一种实根,不满足条件若，则，注意到故在上有一种实根,而又.且故在上有一种实根又在上单调减，在单调增,故在上至多两个实根.又在及上均至少有一种实数根，故在上恰有两个实根综上,4.设实数,整数，。（）证明：当且时，;（）数列满足，。证明:。（)当时,原不等式成立；假设时不等式成立，当时，,因此时,原不等式也成立。综合可知，当且时，对一切整数,不等式均成立。（)证法1：先用数学归纳法证明。当时，由题设知成立。假设时,不等式成立。由易知。当时,由于，由得，由（

8、)中的结论得,因此，即,因此当时,不等式也成立;综合可知对一切正整数,不等式均成立。再由可得,即;综上所述，。证法:设，则,并且;由此可知在单调递增，当时,。当时,由,即可知,并且,从而，故当时,不等式成立；假设时不等式成立,则当时，即有，因此当时，原不等式也成立。综合可知对一切正整数,不等式均成立。5.函数。（）讨论的单调性。()设，,证明:。（)的定义域为,。(i）当时，若,则,在是增函数;若，则,在是减函数；若,则，在是增函数。(ii)当时,，成立当且仅当，在是增函数。(iii）当时,若,则，在是增函数;若，则，是减函数；若,则，在是增函数。(）由(）知，当时,在是增函数。当时，即（)。又由()知，当时,在是减函数。当,即()。下面用数学归纳法证明。（i)当时,由已知,故结论成立；（ii)设当时结论成立,即,当时，,，即当时有，结论成立。根据（i）、(i)知对任何结论都成立。