.初三数学重点难点总复习-专题圆.生

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1、九年级数学总复习圆专项复习一、圆的概念集合形式的概念：1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离不小于定长的点的集合； 、圆的内部：可以看作是到定点的距离不不小于定长的点的集合轨迹形式的概念：、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条

2、直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；、点在圆上 点在圆上；、点在圆外 点在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点;2、直线与圆相切 有一种交点；、直线与圆相交 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离(图1) 无交点 ;外切(图) 有一种交点 ；相交（图) 有两个交点 ;内切(图)有一种交点 ;内含（图5） 无交点 ; 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1:(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2）弦的垂直平分线通过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦,并

3、且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中，只要懂得其中2个即可推出其他3个结论,即： 是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其她3个结论。推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在中， 弧弧例题1、基本概念1下面四个命题中对的的一种是( )A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 在一种圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中,对的的是（）.A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B.过弦的中点的直线必过圆心 C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧例

4、题2、垂径定理1、 在直径为52m的圆柱形油槽内装入某些油后,截面如图所示，如果油的最大深度为1cm,那么油面宽度AB是_cm2、在直径为52m的圆柱形油槽内装入某些油后，,如果油面宽度是48c,那么油的最大深度为_cm.3、如图，已知在中,弦，且，垂足为，于，于.(）求证：四边形是正方形（）若,求圆心到弦和的距离4、已知:BC内接于O,A=C，半径OB=m，圆心O到C的距离为3cm，求AB的长5、如图，F是以为圆心，B为直径的半圆上任意一点,是的中点，ADB于，求证：AD=F.例题、度数问题1、已知:在中,弦,点到的距离等于的一半,求:的度数和圆的半径. 2、 已知：O的半径，弦AB、A的长

5、分别是、求的度数。例题、相交问题如图，已知O的直径AB和弦D相交于点E，=6cm，=2cm，BD=30，求CD的长.ABDCEO例题5、平行问题在直径为50cm的O中,弦A=40cm,弦D=48cm，且ABCD,求：AB与CD之间的距离例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦A,交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为求证:.例题、平行与相似已知：如图,是的直径,是弦，,于求证：六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中，只要懂得其中的1个相等,则可以推出其他的3个结论，即：;； 弧弧七、圆周角

6、定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角2、圆周角定理的推论：推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在中,、都是所对的圆周角 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即:在中，是直径 或 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。【例】用直角钢尺检查某一工件与否正好是半圆环形，根据图形3-3-9所示的情形，

7、四个工件哪一种肯定是半圆环形？ 【例2】如图，已知O中，为直径,AB10m,弦AC=6m，ACB的平分线交于D,求C、和BD的长.【例3】如图所示，已知B为O的直径，AC为弦，BC,交C于D,C=cm(1)求证：AD； （2）求OD的长； （3）若siA-1=0，求O的直径.【例】四边形BC中，B，BC=，A=ACAD=a，如图，求BD的长【例】如图1,A是半O的直径,过、两点作半O的弦,当两弦交点正好落在半O上C点时，则有ACABCBC=AB2(1)如图2，若两弦交于点P在半O内,则AP+BPBD=B与否成立?请阐明理由(2）如图3,若两弦A、B的延长线交于点,则AB2=参照(）填写相应结论

8、，并证明你填写结论的对的性八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在中， 四边形是内接四边形 例1、如图7-107，中，两弦A,M是A的中点,过M点作弦求证：E，,O,C四点共圆九、切线的性质与鉴定定理（1)切线的鉴定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件:过半径外端且垂直半径，两者缺一不可 即:且过半径外端 是的切线（2)性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理:即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中懂得其中两个

9、条件就能推出最后一种。十、切线长定理切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即:、是的两条切线 平分运用切线性质计算线段的长度例1:如图，已知：B是的直径,P为延长线上的一点，PC切于C,CDAB于D，又P=,O的半径为.求:OD的长运用切线性质计算角的度数例：如图，已知:AB是O的直径,C切于,AC于E，BC的延长线与AE的延长线交于F，且AFF.求:的度数运用切线性质证明角相等例3：如图，已知：A为O的直径，过A作弦C、A,并延长与过的切线交于、N.求证:CN=DN.运用切线性质证线段相等例:如图，已知：AB是O直径,COA，D切于D，

10、AD交O于.求证:D=CE.运用切线性质证两直线垂直例5:如图,已知:ABC中,AB=A,以B为直径作O,交BC于,D切O于D，交AC于E求证：DEC十一、圆幂定理（1） 相交弦定理：圆内两弦相交，（2） 交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中,弦、相交于点, (2）推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径, (3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中,是切线，是割线 （)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即:在中，、是割线

11、 例1.如图,正方形BCD的边长为，以B为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F，交CD于E,求D:AE的值。例2.中的两条弦A与C相交于E,若AE=6cm,BEcm，D7m,那么E=_c。图2例3.如图3,是O外一点，PC切O于点C,AB是O的割线,交O于、B两点，如果P:PB1：4，C=2cm,O的半径为1,则圆心O到AB的距离是_c。 图3例4.如图4，AB为O的直径，过B点作O的切线BC,OC交O于点E，AE的延长线交BC于点D,(1）求证:;(2）若C2厘米,求C、的长。图4例5.如图5，A、C切O于A、,DB为割线。求证：ADC=CDAB图例6.如图6，在直角三角形AB

12、C中，A,以AB边为直径作,交斜边BC于点D，过点作O的切线交AC于E。求证：BC2OE。图6 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图:垂直平分。即:、相交于、两点 垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1)公切线长:中，；（2）外公切线长：是半径之差; 内公切线长：是半径之和 。十四、圆内正多边形的计算（）正三角形 在中是正三角形,有关计算在中进行:;（2)正四边形同理，四边形的有关计算在中进行,:（)正六边形同理，六边形的有关计算在中进行,.十五、扇形、圆柱和圆锥的有关计算公式1、扇形：()弧长公式：；（2)扇形面积公式:：圆心角 ：扇形多相应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积、圆柱:（1）圆柱侧面展开图 =(2)圆柱的体积:3 .圆锥侧面展开图（1）=（)圆锥的体积：