二次根式的化简与计算的策略与方法

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1、二次根式的化简与计算的方略与措施 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时,一般遵循如下做法： 先将式中的二次根式合适化简二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（,) 对于二次根式的除法,一般是先写成分式的形式，然后通过度母有理化进行运算 二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基本上去括号与合并同类项. 运算成果一般要化成最简二次根式.化简二次根式的常用技巧与措施二次根式的化简是二次根式教学的一种重要内容,对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外,还要掌握某些特殊的措施和技巧,会收到事半功倍的效果，下面

2、通过具体的实例进行分类解析.公式法【例1】计算； 【解】原式 原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便. .观测特性法 【例2】计算： 【措施导引】若直接运用根式的性质去计算,须要进行两次分母有理化，计算相称麻烦，观测原式中的分子与分母,可以发现,分母中的各项都乘以，即得分子,于是可以简解如下: 【解】原式.【例】把下列各式的分母有理化.（)；(）(） 【措施导引】式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等,计算将很繁,观测分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法： 【解】原式 【措施导引】式可以直

3、接有理化分母，再化简但是,不难发现式分子中的系数若为“1”,那么原式的值就等于“1”了!因此,可以解答如下：【解】原式 3运用配措施【例4】化简 【解】原式 【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“” 4.平措施 【例】化简【解】 【解后评注】对于此类共轭根式与的有关问题,一般用平措施都可以进行化简 5.恒等变形公式法 【例6】化简 【措施导引】若直接展开,计算较繁,如运用公式,则使运算简化. 【解】原式 6.常值换元法 【例7】化简 【解】令，则：原式 裂项法 【例】化简【解】原式各项分母有理化得 原式 【例9】化简 【措施导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁,

4、但我们不难发现每一种分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解: 【解】原式 8构造对偶式法 【例1】化简 【解】构造对偶式，于是没,则,， 原式 .由里向外,逐级化简 【解】 而 原式【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体,逐级化简的措施解决. 0.由右到左,逐项化简 【例11】化简 【措施导引】原式从右到左是层层递进的关系,因此从右向左进行化简. 【解】原式 【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的核心，由平方差公式将多重根号逐级脱去,逐项化简,其环节紧凑，一环扣一环，如果不具有纯熟的技能是难以达到化简之目的的返回二次根式大小比较的常用措施 二次根式的化

5、简具有极强的技巧性，而在不求近似值的状况下比较两个无理数(即二次根式)的大小同样具有很强的技巧性,对初中生来说是一种难点，但掌握某些常用的措施对它的学习有很大的协助和增进作用 1.根式变形法 【例1】比较与的大小 【解】将两个二次根式作变形得 ，即【解后评注】本解法根据是:当,时,，则;若,则.平措施 【例2】比较与的大小 【解】， ， 【解后评注】本法的根据是:当,时,如果,则，如果，则3分母有理化法 通过运用分母有理化，运用分子的大小来判断其倒数的大小 【例3】比较与的大小 【解】 又 .分子有理化法 在比较两个无理数的差的大小时，我们一般要将其进行分子有理化，运用分母的大小来判断其倒数的

6、大小. 【例】比较与的大小 【解】 又 .而5.等式的基本性质法 【例】比较与的大小 【解法】 又 即 【解后评注】本解法运用了下面两个性质:都加上同一种数后，两数的大小关系不变非负底数和它们的二次幂的大小关系一致 【解法2】将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积，得 又 【解后评注】本解法的根据是：都乘以同一种正数后，两数的大小关系不变. 6运用媒介值传递法【例6】比较与的大小 【解】 又 【解后评注】合适选择介于两个无理数之间的媒介法,运用数值的传递性进行比较 .作差比较法 在对两数进行大小比较时,常常运用如下性质: ； 【例7】比较与的大小 【解】 8.求商比较法 与求差比较法相相应的尚

7、有一种比较的措施,即作商比较法,它运用的是如下性质,当，时,则： ; 【例】比较与的大小【解】 【解后评注】得上所述，具有根式的无理数大小的比较往往可采用多种措施,来求解有时还需多种措施配合使用，其中根式变形法，平措施是最基本的，对于具体的问题要作具体分析,以求用最佳的措施解出对的的成果二次根式的化简与计算的方略与措施二次根式是初中数学教学的难点内容,读者在掌握二次根式有关的概念与性质后,进行二次根式的化简与运算时，一般遵循如下做法: 先将式中的二次根式合适化简 二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（，） 对于二次根式的除法，一般是先写成分式的形式，然后通过度母有理化进行运算

8、.二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基本上去括号与合并同类项 运算成果一般要化成最简二次根式 化简二次根式的常用技巧与措施二次根式的化简是二次根式教学的一种重要内容,对于二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握某些特殊的措施和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析. 1.公式法 【例1】计算; 【解】原式原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便2观测特性法 【例2】计算： 【措施导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相称麻烦，观测原式中的分子与分母,可以发现，分母中的各项都乘以，

9、即得分子,于是可以简解如下: 【解】原式 【例3】把下列各式的分母有理化. （1）;（2）（） 【措施导引】式分母中有两个因式,将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等,计算将很繁，观测分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法： 【解】原式 【措施导引】式可以直接有理化分母，再化简但是,不难发现式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，可以解答如下: 【解】原式 运用配措施【例】化简 【解】原式 【解后评注】注意这时是算术根,开方后必须是非负数,显然不能等于“”平措施 【例5】化简 【解】 . 【解后评注】对于此类共轭根式与的有关问题,一般用

10、平措施都可以进行化简 恒等变形公式法【例】化简【措施导引】若直接展开,计算较繁，如运用公式，则使运算简化. 【解】原式 常值换元法 【例7】化简 【解】令,则:原式 7裂项法 【例】化简【解】原式各项分母有理化得 原式 【例9】化简 【措施导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每一种分数的分子等于分母的两个因数之和,于是则有如下简解： 【解】原式 8构造对偶式法 【例1】化简 【解】构造对偶式,于是没 ,则, 原式 9由里向外,逐级化简 【解】 而 原式【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐级化简的措施解决 10由右到左，逐项化简【例11】化简

11、【措施导引】原式从右到左是层层递进的关系，因此从右向左进行化简 【解】原式 .【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的核心，由平方差公式将多重根号逐级脱去，逐项化简，其环节紧凑,一环扣一环,如果不具有纯熟的技能是难以达到化简之目的的返回二次根式大小比较的常用措施 二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的状况下比较两个无理数（即二次根式)的大小同样具有很强的技巧性，对初中生来说是一种难点，但掌握某些常用的措施对它的学习有很大的协助和增进作用 1根式变形法 【例】比较与的大小 【解】将两个二次根式作变形得 , ,即【解后评注】本解法根据是:当,时，则；若,则 .平措施【例】比较与的大小

12、【解】，,【解后评注】本法的根据是：当，时，如果,则,如果,则. .分母有理化法 通过运用分母有理化,运用分子的大小来判断其倒数的大小.【例】比较与的大小 【解】 又 4.分子有理化法 在比较两个无理数的差的大小时，我们一般要将其进行分子有理化，运用分母的大小来判断其倒数的大小. 【例4】比较与的大小 【解】 又 .而5.等式的基本性质法 【例5】比较与的大小 【解法】 又 即 【解后评注】本解法运用了下面两个性质:都加上同一种数后，两数的大小关系不变非负底数和它们的二次幂的大小关系一致. 【解法】将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积,得 又 【解后评注】本解法的根据是:都乘以同一种正数后,

13、两数的大小关系不变6运用媒介值传递法 【例6】比较与的大小 【解】 又 【解后评注】合适选择介于两个无理数之间的媒介法，运用数值的传递性进行比较 .作差比较法 在对两数进行大小比较时，常常运用如下性质：; 【例7】比较与的大小 【解】 8.求商比较法 与求差比较法相相应的尚有一种比较的措施，即作商比较法，它运用的是如下性质,当，时,则: ； 【例8】比较与的大小.【解】 【解后评注】得上所述,具有根式的无理数大小的比较往往可采用多种措施,来求解有时还需多种措施配合使用,其中根式变形法,平措施是最基本的，对于具体的问题要作具体分析，以求用最佳的措施解出对的的成果二次根式大小比较的常用措施 二次根

14、式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的状况下比较两个无理数(即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性，对初中生来说是一种难点,但掌握某些常用的措施对它的学习有很大的协助和增进作用. 1根式变形法 【例1】比较与的大小 【解】将两个二次根式作变形得 ,即【解后评注】本解法根据是:当，时，则;若，则 2.平措施【例2】比较与的大小 【解】,， 【解后评注】本法的根据是：当，时，如果，则,如果，则. 3分母有理化法 通过运用分母有理化,运用分子的大小来判断其倒数的大小 【例】比较与的大小 【解】 又 分子有理化法 在比较两个无理数的差的大小时,我们一般要将其进行分子有理化，运用分母的大小来判断其倒

15、数的大小 【例4】比较与的大小 【解】 又 .而5.等式的基本性质法【例5】比较与的大小【解法1】 又 即 【解后评注】本解法运用了下面两个性质：都加上同一种数后,两数的大小关系不变.非负底数和它们的二次幂的大小关系一致 【解法】将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积，得 又 【解后评注】本解法的根据是:都乘以同一种正数后，两数的大小关系不变 运用媒介值传递法 【例】比较与的大小 【解】 又 【解后评注】合适选择介于两个无理数之间的媒介法,运用数值的传递性进行比较.作差比较法 在对两数进行大小比较时,常常运用如下性质：; 【例7】比较与的大小【解】 .求商比较法 与求差比较法相相应的尚有一种比较的措施,即作商比较法，它运用的是如下性质,当，时,则：;【例8】比较与的大小 【解】 【解后评注】得上所述,具有根式的无理数大小的比较往往可采用多种措施,来求解.有时还需多种措施配合使用,其中根式变形法，平措施是最基本的,对于具体的问题要作具体分析,以求用最佳的措施解出对的的成果.