数学中考压轴题

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1、数学中考压轴题1由于受甲型1流感(起初叫猪流感)的影响，月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每斤猪肉价格是原价格的,本来用6元买到的猪肉下调后可多买2斤.(1)求4月初猪肉价格下调后每斤多少元？(2)4月中旬，经专家研究证明，猪流感不是由猪传染,不久改名为甲型H11流感.因此，猪肉价格4月底开始回升，通过两个月后,猪肉价格上调为每斤14元.求、6月份猪肉价格的月平均增长率解析(1)【思路分析】设4月初猪肉价格下调后每斤元,由“下调后每斤猪肉价格是原价格的”可得原价格为每斤元根据“本来用6元买到的猪肉下调后可以多买2斤”列方程解答.解：设4月初猪肉价格下调后每斤x元，则原价格为每斤元.(分)根据题

2、意得:-2,(3分）解得:=1,经检查,x=1是原方程的解.(分）答:4月初猪肉价格下调后每斤元.（5分）()【思路分析】由()题可知，猪肉的原价格是10元,设月平均增长率为,则第一种月上调后的价格为1(1+y）,第二个月上调后的价格为10（1+y）,根据题意可列方程解:设5、6月份猪肉价格的月平均增长率为,根据题意得,10(y）2144,（6分)解得：y1=0.=0,y-22（不合题意舍去）,答:、6月份猪肉价格的月平均增长率为20%.(8分)2如图，抛物线y=ax2b4(a)的图象过A（-1,0),B(4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC,动点从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿向点B

3、运动,运动时间为秒，当点P与点重叠时停止运动.(1)求抛物线的解析式；(2)如图,当t=1时,求AC的面积；(）如图,过点P向x轴作垂线分别交x轴、抛物线于、F两点.求PF的长度有关t的函数解析式,并求出P的长度的最大值;连接CF,将PF沿CF折叠得到F,当t为什么值时，四边形F是菱形？ 解析(1)【思路分析】将、B两点的坐标代入抛物线解析式中,即可得到有关、b的二元一次方程组,解方程组即可.解:抛物线y=ax2bx4(a)的图象过A(，0)，(4,0)两点，,解得:,抛物线的解析式为:=x2+x+或=()(x-4）(3分）(2)【思路分析】规定ACP的面积，可用AB的面积减去P的面积本题核心

4、是如何求解APB的面积过点作PQAB于点,则PQ是PB的高在AB中根据PB的长度及PA的度数,运用三角函数求出PQ,该题即可得到解决.第2题解图解：当t=1时,CP.抛物线=-(+1）（)的图象与y轴交于点C,C（,4).C=.(4分)CB=,CO=OB4,CB=4,CB=,BPCB-=,(分)过点P作QAB于点Q,如解图,Q=PBsinCA=3=3.（分）CSACSABP =ABOC-PQ 54-53 =.(分)(3）【思路分析】求出直线BC的解析式,根据BA的度数以及P的长度与t的关系式,可得到OE的长度与t的关系式，设出点、的坐标，由点F的纵坐标减去点P的纵坐标即可得出P的长度有关的函数

5、体现式,结合二次函数的性质即可求出最值;由翻转特性可知P=，PF=F,若四边形PFPC是菱形，则有PCPF,由此得出有关t的一元二次方程，解方程拟定t值解:设直线BC的解析式为=kx+m（k0），直线BC过B（4,0),（0,4)两点,，解得:.直线BC解析式为y=-4(9分)Pt,CBA45，E,点P在直线C上,点F在抛物线上，设(t,-t+4),F（，-t2+3+4)，(4）PF=t2+4-（-t+4)-t24t,（t4)当t=时，最大4（1分)第2题解图F沿CF折叠得到P，如解图，PC=PC，=,当四边形FPC是菱形时,只需P.t-t24，解得:t1=(舍去)，t=.当t=4- 时,四边

6、形PFPC是菱形.（1分）3商场为了促销某件商品，设立了如图的一种转盘，它被提成了3个相似的扇形,各扇形分别标有数字、4，指针的位置固定,该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取，每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字(指针指向两个扇形的交线时,当作右边的扇形），先记的数字作为价格的十位数字,后记的数字作为价格的个位数字（1）请用列表或树状图的措施(只选其中一种)，表达出两次所得数字也许浮现的所有成果；(2)求出顾客购买商品的价格不超过0元的概率. 第题图解析 解:（1）列表如下：第一次成果第二次2423433333443444(4分)或画树状图如解图:第3题解图（4分)共有9种等也许的

7、成果()如（1)的列表法或树状图法所示，在一共9种等也许的事件中，其中两次指针指向的两个数字构成的价格不超过3元的有3种状况顾客购买商品的价格不超过30元的概率为:.(分)4如图，在平面直角坐标系中，O为顶点，平行四边形BD的边B在x轴上,D点在轴上，C点坐标为(2,0),C=6，C=60,点E是A边上一点，E=3，过D、O、三点,抛物线y=a2c过点、B、三点(1）求抛物线的解析式;(2)求证:ED是P的切线;（3）若将DE绕点逆时针旋转90,E点的相应点E会落在抛物线y=ax2+b+上吗?请阐明理由；（)若点M为此抛物线的顶点,平面上与否存在点,使得以点、D、M、N为顶点的四边形为平行四边

8、形?若存在,请直接写出点的坐标，若不存在,请阐明理由. 第题图解析 （1)【思路分析】根据题意先拟定D、B、三点的坐标,然后用待定系数法可得抛物线的解析式.解:由题意得D、B、C三点的坐标分别是(0,2）、(-4,)、（2，0),分别代入=ax 2+x+c中得,，解得 ，因此抛物线的解析式为y=-x2-x+2.（2分)()【思路分析】延长E交x轴于点F,构造BDE,运用相似三角形的性质求得BF的长;在DOF中，运用锐角三角函数得到FDO的度数,进而求出DE90.解:延长DE交x轴于点，如解图所示,BC,ADEE，第4题解图,即=,BF=2,B(-4，0）,O=，=6.（分)(,),OD=2在t

9、O中，tanFDO=，FO6.(4分)BCD=,CDO0,CDE=90，DDE,ED是P的切线（5分）（)【思路分析】根据旋转的性质求得E点的坐标,代入抛物线的解析式验证即可解:点E不会落在抛物线y=-+2上.理由如下:第题解图将DE绕点逆时针旋转9,E点的相应点是E，点的相应点是A,如解图所示,则AA=,ADC,EDO=0,ADE0,AE=AEAD=3，A=BCD=60,D=，（6分)过点E作EGy轴于点G，则G=30，AG=，G=6-=,在AEG中,E=，E(,2）,(7分）当x=时，y=() 2,=-+2.因此点E不会落在抛物线y-x 2-x+上.（分)()【思路分析】先求得M点的坐标,

10、然后分别以MB、DM、B为平行四边形的对角线,通过平移的性质拟定N点的坐标.解:存在点,使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形,理由如下：=-x2=-（+）+，M（1,),且（-4,0),D(0，2),如解图所示：第题解图当B为平行四边形BDN的对角线时,点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点B,则点（-1,）向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点N1（5,);(9分)当为平行四边形NDM的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点，则点D（0,2）向右平移3个单位,再向上平移个单位得到点N(3，)；（0分）当BD为平行四边形BDN的对角线时,点M向左平移个单位,再

11、向下平移个单位得到点,则点D（0,2)向左平移3个单位,再向下平移个单位得到点N3(3，),（1分)综上所述,点的坐标为（5，)、（,)、(3，).（12分)5如图,在B中，BBC,D是AC的中点,BE平分ABD交AC于点E,点O是B上一点,O过、E两点，交B于点G,交AB于点F.(1）判断直线AC与的位置关系，并阐明理由；（)当=6,A=0时,求O的半径 第5题图解析 ()【思路分析】连接OE,如解图,由B平分BD和E=OB，可得OED,由等腰三角形的性质得BAC,因此C，根据切线的鉴定定理可得AC与相切解:连接O,如解图,(分)第5题解图BE平分B,OBE=DE，(分）O=OB，BEEB，

12、OEB=DB,OE,(分）ABBC,D是AC中点,BDC，OEAC，AC与O相切;（4分）(2)【思路分析】设O半径为r,易证AOEB,运用相似三角形相应边成比例，建立有关的方程，然后解方程求出解:设O半径为r,则AO1,(5分)由(1)知，O,AOEA,=，即=,(分)，即O半径为(8分)6如图,直线l:y3x与轴交于点，与y轴交于点B，把B沿y轴翻折,使得点落到点C，抛物线过点、C和D(,）.（1)求直线BD和抛物线的解析式;(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M，点在坐标轴上,以点、D为顶点的三角形与MCD相似,求所有满足条件的点N的坐标;()在抛物线上与否存在点P,使PB6？若存在,求出

13、点P的坐标；若不存在，阐明理由.第6题图解析(1)【思路分析】由待定系数法求出直线D和抛物线的解析式.解:直线l:=x3与x轴交于点,与y轴交于点B.（-1,0），B(0,3);把AO沿轴翻折,使点落到点，C（，0)设直线D的解析式为:y=+b,点(0，3),D(,0)在直线BD上，,解得=-1，b3;直线D的解析式为:yx+3（1分）由于点D（3，0），点C(1,)均在抛物线上,故可设抛物线的解析式为：y(x1)（-3),点B(0,3)也在抛物线上，3=a(-)（-3),解得:a1,抛物线的解析式为:y=(）（x)x-x3.（3分)(2）【思路分析】解题核心一方面拟定MD为等腰直角三角形,由

14、于BND与相似,因此BND也是等腰直角三角形.如解图所示，符合条件的点N有个.解:抛物线的解析式为：y=2-4+（x-2）1，抛物线的对称轴为直线=2，顶点坐标为(，1)第6题解图直线x+与抛物线的对称轴交于点,M(2,1).设对称轴与x轴交点为点F,则CFFMF=,M为等腰直角三角形.以点N、B、为顶点的三角形与C相似，BN为等腰直角三角形.如解图所示:(）若BD为斜边,则易知此时直角顶点为原点O,N1(0,0）;(分）()若B为直角边，为直角顶点,则点N在x轴负半轴上,B=DO=3，N2(3，0）;(6分)（）若D为直角边，D为直角顶点，则点在y轴负半轴上，OB=D=O=，N3(0,3）(

15、分）满足条件的点N坐标为:(，0),（,0)或（0,）.（8分)（）【思路分析】解题核心是求出PD面积的体现式,然后根据SD=6的已知条件，列出方程求解即可.第6题解图解:假设存在点,使SPB=6，设点P坐标为(m,n）.()当点P位于直线B上方时，如解图所示：过点作P轴于点E,连接P、PB,则En，D=m-3.PBD=S梯形EOB-SODSE=(3+)3-（m3)n=6，化简得:mn7 ,（m,）在抛物线上,n=24m+3,代入式整顿得:2-34=0，解得:m，2-1,n3,n28,P1(4，3)，P2（-,）；(10分）第6题解图()当点P位于直线B下方时,如解图所示:过点P作E轴于点E,

16、连接PD、PB,则P=m,O-,E3-nSB=S梯形PEOD+BODBE=(+m）（n）33-(n)=,化简得:mn-1，(，n）在抛物线上，nm24m+3,代入式整顿得:2m+4=0，=70,此方程无解.故此时点P不存在.（11分)综上所述,在抛物线上存在点P，使PB=,且点P的坐标为（4,3）或(-,8)(分)第题解图一题多解:假设存在点,使PD=6，如解图所示,过点P作直线l平行BD,l与D的距离为，l与轴交点为B，B=，SPBDBDd=6，d=,BD与y轴夹角为45，BB4，将D上移或下移4个单位,上移个单位,l解析式为:y=-x,联立l解析式与抛物线解析式得：x23x4=,x1,x2

17、-1，此时点P坐标为(4,3)或（-1,);下移个单位,解析式为y-x1,联立l解析式与抛物线解析式可得:2x=0，此方程无解,此时点P不存在.综上所述,点P的坐标为(4,3)或(-1，8）7如图，在AC和AD中,AB=C，AD=A，AC=DE=0(1)求证:B=CE,DE;（2）将图中的绕点A顺时针旋转角(90),如图，(1）的结论还成立吗?请阐明理由第7题图解析 （)【思路分析】要证BD，可先证BD、C所在的两个三角形即AD、ACE全等，根据题意可用AS证全等;要证BCE,可先延长BD,交于点F，证BE(或C)为90即可；而要证=，可先证ABDBEF9,由ABDE可得B=AE,而ACE+B

18、F90,问题就得到解决了.第7题解图解:延长交C于点F,如解图,（1分)在和ACE中，A(SA)，CE，AB=ACE,(分)在RtAEC中,AE9，ABD+BEF=90,E18090，BDCE.(分)(2)【思路分析】结论仍然成立,要证BDCE，还是先证ABAE;要证三角形全等，可先证BEAC,然后仍用SAS证全等;要证BD,可先延长BD交CE于点F,证=90;而要证BFC9只需证出CBF+BCF90即可第题解图解：(1)的结论仍成立.延长交CE于点F，如解图,(5分)B+AD=0，AC+CAD90,BD=CAE,(6分)在DAB和EA中,DAAC(SAS),BDE，ABAE,(8分)C+AC

19、B=0,B+F=ACAD+AC+AC90，BF180-C-BC=18-90=,CD.(分)8 如图，已知抛物线与x轴交于（-1,),B两点，与y轴交于点C(,3),点D为抛物线的顶点且对称轴为x=1.（1)求抛物线的解析式；()直线CD与x轴交于点,过线段的中点N作N轴,交直线CD于点F,求EF的长;(3)在第(2)问的条件下,直线F上与否存在点M,使得以点M为圆心，为半径的圆与直线CD相切?若存在,求出点M的坐标；若不存在，请阐明理由 第8题图 解析 （)【思路分析】设抛物线解析式为y=ax+(），把点（1,0)，点（，)分别代入式中，再由对称轴公式x1,列出三元一次方程组求解解:设抛物线解

20、析式为y=x2+xc,由题意可得:,解得,(分)抛物线的解析式为y=-2+3.(3分）()【思路分析】规定EF的长,可放到RE中，用勾股定理求解,这就需要懂得、F的长;而规定N、FN的长,需懂得点E、F的坐标，这就需要先求出直线C的解析式;设直线CD解析式为ykb,将、D两点代入，用待定系数法求出直线D的解析式.解:点D为抛物线的顶点,D(，4)，设CD的解析式为kxb,把C(0，）,D（,4)代入,得，解得=1,=3，直线CD解析式为yx+3,（4分)E(-3，0)，E=OC=3,AEC=45，令抛物线=-x2+2+3中y=0,解得x1=1,x23，OB，(5分）点N是OB的中点，ON=,E

21、=，（分)Fx轴,EC=EFN=5，EN=N，F=.(分)(3)【思路分析】假设存在符合条件的点M,设(，y),过点作MQ于点Q，根据题意得M=O,再证出RtFM RNE,根据相似三角形相应边成比例列出有关的方程求解.解:直线F上存在点.过点作MQCD于点Q,如解图,(分)第8题解图M与C相切,M=M，设M(，y)，MQ=O2=+y2,（分)MFQNF，QMNE90，FME,=，=,即,整顿得:4y2+3y-630,解得:1=,y2=-(1分）点M的坐标为：1（,)、M2（,-).(1分)9如图，边长为4的正方形ABC的边ADy轴,点（，-1)是CD的中点,以P为顶点的抛物线通过点B，连接BD

22、.(1)求抛物线和直线D的解析式；（2）如图，若点M是抛物线上一动点(点M不与点A、B重叠），过点作y轴的平行线FM与直线B交于点F，与直线交于点E，当线段ME=2F时,求点的坐标;()如图,平移抛物线,使平移后的抛物线顶点在直线PB上,抛物线与直线的另一种交点为Q，点H在y轴正半轴上，当以H、N、三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时,求出所有符合条件的H点的坐标.第9题图解析(1）【思路分析】由点P(0,1)是抛物线的顶点，可设抛物线的解析式为y=x,抛物线通过点B，故可求出值,进而得抛物线的解析式;设直线BD解析式为：yxb,用待定系数法即可求出直线解析式.解:由正方形ABC边长为4及点P

23、(,1)可得，(,3)、D（-2,-1）,设抛物线的解析式为x2-,把B（2,3)代入得,3a，解得a=1,抛物线的解析式为y=x2 -1;(2分）设直线B的解析式为=kxb，把B（2,)、D(-，-1）代入得,解得k，b=1,(分)直线BD的解析式为yx.（4分）(2)【思路分析】设点M(,2-1）,进而表达出,点坐标,再根据ME=2F列方程,便可求出M点坐标.解：设点M(x，x21),则（x，x）,F(x，3)，MEx+-(x-）-2+x2,E=3-(x+1）=2-x,(分)当 E2F时,可列方程22(2-x）,（6分)解得x=2或=,(7分)点M不与点A、B重叠,=1，M（,）（分）(3

24、)【思路分析】由平移性质可知:NQPB,设PB与y轴的夹角为,由正方形可得sn ；以点、N、Q为顶点的三角形如果是等腰直角三角形,可分三种状况解答，即Q90、HNQ=或N90三种状况.解：由平移性质可知,NQ=B=，设P与y轴的夹角为,由正方形可得si=.当QN0时，如解图,HQQ=2,在RtPH中,si，解得H=0,H(0，9)(9分)第9题解图 第题解图当HN=0时,如解图,NQ=2，在tPH中,sin=，解得P0，H(0,9).(10分）当HQ=9时，如解图，Q=2，过点作HGPB于点G,由等腰三角形三线合一的性质及直角三角形性质可得，G=Q=,在HG中，sn=,解得H5,H(,4）(11分)综上,所有符合条件的H点的坐标为:（0,)和（0，）.(12分）第题解图