高考一轮复习讲义第四讲(学生)---正弦、余弦定理

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1、第四讲 正余弦定理及其应用 本讲义重要内容:第一部分：【知识回忆】 知识点一 正弦定理和余弦定理 (1)正弦定理 在一种三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,这一结论就叫正弦定理。即 ()余弦定理 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其她两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即 余弦定理的变形式 （1) （2)， 知识点二 正、余弦定理解决的两类问题 运用正弦定理的式子构造特性可知，运用正弦定理可以解决如下两类问题： 1. 已知三角形的两角及任意一边,求此外的一角和两边。 根据三角形的内角和定理先求出此外一角，再由正弦定理就不难求出此外两边。据此得出的解是唯一的。2.已知两边和其中

2、一边的对角,求此外的两角和一边。 运用余弦定理可以解决如下两类解三角形的问题: (1）已知三边,求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其她两个角. 这两种类型问题在求解时都只有一种解，具体如下表: 形式 应用 已知两边及其夹角，求第三边 ()“知三求一”：已知三边求角; (2)某些需要进行边角转换的问题 (将内角的余弦转换为边）知识点三 三角形面积公式 的面等于底乘高除以,还可以用三角形的边与角表达为 注意：三角形面积公式的其她形式 （1）（分别为边上的高)； （2)（是内切圆的半径）； (3）； (4）(是外接圆的半径）; （)(是外接圆的半径）.第二部分:【典型例题】 考点一

3、正弦定理、余弦定理的简朴应用 【例题1】在中，则=（ ） A. B C. . 【例题2】在中，若,则=_. 【例题3】(1)在中，已知，求和. (2）已知在中,求三角形中的最大角及角的正弦值.【变式练习1】1.用正弦定理解下列题：（1）已知在中，求角,边 (1)已知，求角及边.； （)已知,求角及边.2. 用余弦定理解下列题： （1）已知在中,求各角的度数(2)在中，且是方程的两根，,求的长.(3）在中，已知，求角及边.考点二巧用三角形面积公式 【例题4】在中,已知,求的面积.【例题5】在中,求的面积.【变式练习2】已知的面积为1,，求的边长以及的外接圆的面积. 考点三 三角形形状的判断 【例

4、题6】在中,，试判断的形状.【例题】在中,若，试判断的形状.【变式练习3】已知方程的两根之积等于两根之和，且为的内角,为的对边,试判断的形状. 考点四 正余弦定理的实际应用DBCA 【例题8】某炮兵阵地位于地面A处,两观测所分别位于地面上点C和点D处，已知，,.目的浮现位于地面上点B处时,测得,如图所示,求炮兵阵地到目的的距离(精确到1m）.【例题9】如图所示,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前去救援，同步把消息告知在甲船的南偏西0，相距10海里C处的乙船. (1）求处在C处的乙船和遇险渔船间的距离;（2)设乙船沿直线B方向前去B处救援,其方

5、向与成角,求BC10A北的值域【变式练习4】某单位在抗震救灾中，需要在两地之间架设高压电线，测量人员在相距600的两地（在同一平面上），测得（如图所示),假设考虑到电线的自然下垂的施工损耗等因素,实际所需电线长度大概是距离的.2倍,问施工单位至少应当准备多长的电线?(参照数据:）DBCA 考点五 综合应用【例题0】已知向量,记函数,已知的最小正周期为. (1)求的值； (2)设的三边满足,且边所对的角为,求此函数的值域.【例题11】在中,内角的对边分别为,已知. (1)求的值;（2)若,求的面积. 【变式练习5】在中，内角的对边分别为，已知 (）求的值;（2)若,求边的值.第三部分：【实战演习

6、】【实战演习一】一、选择题1.在ABC中，a、b分别是角、B所对的边,条件“acos”成立的( )A.充足不必要条件 B必要不充足条件C.充要条件 .既不充足也不必要条件 2已知圆的半径为，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若6,则三角形的面积为( )A.2 B D.如果等腰三角形的周长是底边长的倍,那么它的顶角的余弦值为 （ ) A. B. . D.4满足A=45,c,2的AB的个数记为m，则am的值为 ( ) B. C.1 .不拟定5在AB中，a,b,分别是角A，C的对边，且cos2=，则BC是( )A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.正三角形 .等腰直角三角形.在不等边三角形

7、ABC中，角,B,C所对的边分别为a，b,，a为最大边,如果sn(C)sinBs2C，则角A的取值范畴为 ()A(0,) .(,) C.(,) D.(，)二、填空题7在AB中，已知nAsinB1，2=b+bc，则三内角A、B、C的度数依次是 .在ABC中,角、B、C所对的边分别为a、c.若(b-)s=acosC,则os 9.在AC中，已知(b+c)(+a）（a+)46，给出下列结论:由已知条件，这个三角形被唯一拟定;ABC一定是钝角三角形; insnBsi7；若c=,则AC的面积是.其中对的结论的序号是 .三、解答题10在ABC中,C-A=，sinB .（1)求sinA的值; ()设,求的面积

8、.在ABC中,a,b，c分别是,B,C的对边长，已知sn=.（1)若a2-c=b-mc，求实数m的值；(2)若a=，求ABC面积的最大值12.设C的内角A、B、的对边分别为a、,且A=60，=.求:(1)的值;()tB+tn的值.【实战演习二】一、选择题.已知如图所示两座灯塔A和B与海洋观测站的距离都等于 ,灯塔在观测站C的北偏东2,灯塔B在观测站C的南偏东40,则灯塔与的距离为 ( ）A.a km B.a k C. m D2a km.在AC中,角A，B均为锐角，且ossinB，则ABC的形状是 ( )A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形3.8月4日发生的第8号台风“

9、莫拉克”导致台湾省461人死亡，192人失踪，其台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成4角，树干也倾斜为与地面成75角,树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是 ().米 B.米 C.米 D.20米4.如图，四边形BCD中，BC10，AB,BCC=2,则该四边形的面积等于 （ )A. B.5 C. D.7.如果把直角三角形的三边都增长同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （）A锐角三角形 B直角三角形 C.钝角三角形 D.由增长的长度决定6某人在点测得某塔在南偏西80,塔顶仰角为45，此人沿南偏

10、东方向迈进10米到D，测得塔顶的仰角为30,则塔高为 ( ).15米 B5米 C.10米 D.12米二、填空题7已知如图所示，一船以每小时1k的速度向东航行,船在A处看到一种灯塔M在北偏东60方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东1方向，这时船与灯塔的距离为 .在A中，已知sisincosCsinAinCcBnBsinCcos,若、b、分别是角A、B、C所对的边，则的最大值为 9已知如图所示,线段B外有一点C，BC=60,AB0km，汽车以 km/的速度由A向B行驶,同步摩托车以50 m/h的速度由B向C行驶，则运动开始 h后，两车的距离最小.三、解答题 1如图,A、B、D都在同一种

11、与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为7,30,于水面C处 测得B点和点的仰角均为60，AC0km试探究图中B,D间距离与此外哪两点间距离相等,然后求,D的距离(计算成果精确到001 km，1414，2.449) 1在一种特定期段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一种雷达观测站A某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东5且与点A相距40海里的位置B,通过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东4+(其中sin,00)且与点A相距0 海里的位置C.（1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时);（）若该船不变化航行方向继续行驶,判断它与否会进入警戒水域，并阐明理由.