如何求异面直线的距离

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1、如何求异面直线的距离 求异面直线距离措施:（1）(直接法）当公垂线段直接能作出时，直接求。此时,作出并证明异面直线的公垂线段,是求异面直线距离的核心。 （2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a,距离,先作出过a且平行于b的平面， 则与距离就是，距离。(线面转化法)也可以转化为过a平行b的平面和过b且平行于a的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离。 （3）(体积桥法）运用线面距再转化为锥体的高用体积公式来求。 （4)(构造函数法）常常运用距离最短原理构造二次函数,运用求二次函数最值来解。两条异面直线间距离问题，教学大纲中规定不高（规定会计算已给出公垂线时的距离）,这方面的问

2、题的其他解法,要适度接触，以开阔思路。 典型题目分析 正方体CA1B1C1D1棱长为,求异面直线AC与1的距离。 解法1：(直接法)取BC的中点P,连结PD,1分别交AC,BC1于M,点, 易证：B1/M，DB1AC, DBC1, M为异面直线AC与BC1的公垂线段,易证:M=BD=a。（如图1所示） 小结:此法也称定义法,这种解法是作出异面直线的公垂线段来解。 解法2：（转化法)A/平面1CB， C与BC1的距离等于A与平面A1C的距离, 在R1中,作斜边上的高OE，则E长为所求距离,如图， OB=a, 1=a，O1B=,OE=。小结:这种解法是将线线距离转化为线面距离。 解法3:(转化法)

3、 平面ACD/平面1C1B， AC与B的距离等于平面CD1与平面1的距离,(如图所示）， DB1平面CD,且被平面CD1和平面A1C1B三等分；所求距离为B1D=a。 小结：这种解法是将线线距离转化为面面距离。 解法4:(构造函数法） 任取点QB1,作QRBC于R点，作RKAC于K点,如图4所示, 设C=x,则K2=x2+(a-x)2=（x-a)2+2a2, 故QK的最小值，即AC与BC的距离等于a。 小结:这种解法是恰当的选择未知量，构造一种目的函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离。 解法5:(体积桥法) 当求与的距离转化为求AC与平面AC1B的距离后，设C点到平面1C1的

4、距离为h,则 h(a）2=aa2， =a,即AC与B1的距离为a。 小结：本解法是将线线距离转化为线面距离,再将线面距离转化为锥体的高，然后体积公式求之。立体几何中几类问题 在平面几何中,我们研究了平面图形及其性质,对于空间图形的问题,基本上无所接触。立体几何是研究空间图形及其性质的学科。由于空间图形的抽象性,一种图形可以是许多实际物体的抽象形式，因而立体几何在生产实际、科学实验中有广泛的应用。 立体几何是在学习平面图形知识的基本上来研究空间图形。从平面到空间是观念上的一种奔腾,同窗要从平面跳入空间,困难诸多,如何完毕这个奔腾呢?要注意两点：（1）充足发挥教具或用品的作用,逐渐培养和训练同窗们

5、的空间想象能力,建立立体感。 （2)善于运用“转化”的思维措施空间图形转化为平面图形，平面图形转化为空间图形，不规则的空间图形转化为规则的空间图形，并注意掌握具体的转化措施。 一、平面问题 1对的理解公理及推论中的意义 公理及推论中的“有且只有一种”应理解为：“有”阐明图形是存在的,“只有一种”阐明图形是“唯一的”,“有且只有”和“拟定”是同义词。 2.用平面图形表达平面：平面常用平行四边形表达,也可用三角形、梯形及圆等平面图形表达。 3平面和截面：几何体被平面所截,平面与几何体的接触部分便是截面。避免把不共面的直线当作共面直线来解决，导致推理判断错误。 二、异面直线问题1、“不同在任何一种平

6、面内的两条直线”， 是指不也许同步在任何一种平面内，因此它们是既不平行也不相交的； (） (b) 2分别在两个平面、内的两条直线a、b，不一定是异面直线:如图在(a）中的两直线a、b虽分别在平面、内，但它们相交于两相交平面、的交线AB上一点P；又如图(b)中的两直线、b也虽分别在两平面、内,但它们均平行于两相交平面、的交线AB,像这样的两条直线、b是共面的。 3画异面直线时以辅助平面为烘托，可使两直线不能共面的特点显示得更清晰,如图,否则就会分不清是不是异面直线。 4.异面直线所成的角，是将它转化为两条相交直线所成的锐角（或直角）来拟定的。其措施是把两条异面直线中的一条平移到另一条所在的平面中

7、来，在同一平面中求相交直线所成的角。这种平移法是求异面直线所成角的常规法。将空间两条异面直线所成的角，转化成平面上相交直线的夹角，这是课本上第一次实现了空间问题到平面问题的转化,第一次展示了将空间问题转化为平面问题的一种重要手段平移。三、角和距离的问题1.求角（1)异面直线所成的角。求异面直线所成角的一般措施和环节；.作图:依定义和图形性质作出要计算的角；b.证明：通过平行或垂直关系证明是所求的角;c.计算：解含的三角形。 异面直线上的两点间距离的公式。 EF=(其中是异面直线所成的角,EF的长是异面直线上两点间的距离，公垂线段A的长为,AE=m,AFn）。 运用三垂线定理及其逆定理或者直线与

8、平面垂直的定义，对于两条异面直线成90角的状况可通过证明两线垂直,从而求得所成角为90。 （）二面角:解题根据：二面角的定义 找出或作出二面角的平面角。作平面角一般根据图形特点,有如下几种: a.通过二面角棱上的特殊点，分别在两个面内作垂直于棱的射线得出平面角。 b已知二面角内一点到二面角的面或棱的距离时,则通过表达距离的两条垂线段作平面与二面角的两面相交,证明交线所成的角是二面角的平面角。 .已知二面角一种面内一点到棱或到另一面的距离时,应用三垂线定理或其逆定理产生平面角。 d.由特殊图形性质产生平面角(例如,运用等腰三角形底边上的中线也是底边上高的性质等)。 公式法：设二面角为。 a.已知

9、二面角一种面内的图形面积为,这个图形在另一种面内射影的面积为S,则应用s=，求出。 b.如图在二面角-A-内，E,F， AAB,FBAB，Ad，EA=m,FBn,EF=，应用公式: l 即cos=(此处(0，）,90的二面角,还可应用鉴定两平面互相垂直的措施。 综合评述如何作异面直线所成的角呢?可通过如下三种措施平移产生: 直接平移法（运用图中已有的平行线)；中位线平移法（运用三角形中位线性质，作出中位线就相称于把底边平移到中位线）； 补形平移法(在已知图形外，补作一种同样大小的几何体，以便找出平行线） 2.求距离 解题根据：多种距离的定义点、直线、平面间的距离 一方面找到或作出表达距离的图形

10、。这种图形产生的措施:（1)点到直线的距离：运用平面图形的性质；直线与平面垂直的性质；此外，运用三垂线定理及其逆定理是不可忽视的重要措施。 （2）点到平面的距离：运用特殊图形的性质拟定垂足的位置；或运用平面互相垂直的性质,即如果已知点在已知平面的垂面上,则已知点到两平面的交线所作的垂线段长就是点到平面的距离。 （3）两条异面直线间的距离:运用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度。例如：当两条异面直线垂直时，过一条直线作出或找出另一条直线的垂面，在垂面内作出两异面直线的公垂线。 (4）平行的直线和平面、两平行平面间的距离:一般都转化为点到平面的距离。有些状况,可以不作出表达距离的

11、图形。如： 点到平面的距离：运用等积求高计算。 两条异面直线间的距离： 运用异面直线上两点间的距离公式; b.转化为求平行的直线和平面或两平行平面间的距离,即又转化为求点到平面的距离,从而应用等积求高计算； c.运用二次函数求最值等。 四、空间问题转化为平面问题的措施、辅助平面法 恰本地作辅助平面,是将空间问题转化为平面问题的一种重要手段,求证平行于两条异面直线a和b的平面,必与异面直线的公垂线AB垂直,只要过A和以及B和b分别作平面,与已知平面的交线a、b,由已知a/得a/a,由b得b/b，又A，b,因此,Ab。又b，则。作两个辅助平面,将AB与异面直线垂直（空间)转化为A与同一平面内两条相

12、交直线垂直,问题就迎刃而解了。 2.射影法平面的一条斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影所成的角。鉴定斜线与平面内某始终线垂直的问题，事实上就是鉴定斜线在平面内的射影与平面内始终线垂直的问题，因此通过射影可把空间问题转化为平面问题。三垂线定理及有关射影的概念和定理,为射影法提供了理论根据。已知四周体两组对棱互相垂直，求证第三组对棱互相垂直。通过一种顶点作其对面的垂线，得到三条侧棱在底面的射影,进而用三垂线定理及逆定理，将空间直线垂直的条件转化为平面内的直线互相垂直的关系，由此得知前面所作垂线的垂足就是（该面)三角形的垂心,再将平面内的垂直关系转向空间,证明第三组对棱垂直。 3平移法 由

13、于直线的平移不变化它与另始终线或平面所成角的大小；平面的平移不变化它与另一平面或直线所成角的大小，因此,通过平移可将空间图形问题转化为平面问题。 4.证题措施的转化 立体几何中,证明线与线、线与面、面与面之间的平行与垂直关系是学习本章的两条主线: 线线平行线面平行面面平行 线线垂直线面垂直面面垂直 就是说,要证明面平行(垂直），先证线面平行(垂直);要证线面平行(垂直)，先证线线平行(垂直)。这种转化思想,对证题思路及突破口的选择提供了明确的措施。值得注意的是,这个思想及转化的方向是可逆的,许多状况下，为了证线线垂直,先由某些条件证明线面垂直，然后由性质定理得以线线垂直。同样地,要证线面垂直，也可先证面面垂直。这就是说面面平行线面平行线线平行 面面垂直线面垂直线线垂直 这条线索代表了线线、线面、面面平行与垂直的性质定理及其关系。掌握好转化的思想和措施,对培养推理能力和提高解题应变能力十分有益。