-高中数学第1讲不等式和绝对值不等式1.3三个正数的算术几何平均不等式学案

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1、3三个正数的算术几何平均不等式1.摸索并理解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程.2会用平均不等式求某些特定函数的最大(小)值.(重点)3会建立函数不等式模型，运用其解决实际生活中的最值问题（难点)基本初探教材整顿三个正数的算术几何平均不等式阅读教材8P9定理3,完毕下列问题1.如果,b，c+，那么a3bc33ac,当且仅当a=bc时，等号成立2定理3：如果a,b,cR+,那么，当且仅当a=bc时，等号成立即三个正数的算术平均不不不小于它们的几何平均已知a,b,为正数，则+有( ).最小值为3B.最大值为最小值为.最大值为2【解析】 =,当且仅当=,即a时,取等号.【答案】 教材整顿2 基本

2、不等式的推广阅读教材P9P“例”以上部分，完毕下列问题.对于n个正数，2,，an，它们的算术平均不不不小于它们的几何平均，即，当且仅当a1=a2=an时，等号成立.教材整顿3 运用基本不等式求最值阅读教材P9P9“习题1.”以上部分，完毕下列问题若a,b,c均为正数,如果b+是定值，那么bc时,积abc有最大值；如果积abc是定值P,那么当ab=c时,和ab有最小值.设0,则y=+的最小值为（ )【导学号:2750012】2 B2C3D3【解析】 yx+3=3，当且仅当时取“=”号.【答案】D质疑手记预习完毕后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑： 疑问： 解惑： 疑问

3、3： 解惑： 小组合伙型证明简朴的不等式 设a，b，为正数，求证:(a+b+c)22【精彩点拨】根据不等式的构造特点,运用+,结合不等式的性质证明【自主解答】 a0，b0,c0,ab+c30，从而（+c）290.又+30,(+b+c)2=27,当且仅当a=bc时,等号成立.1（1）在应用平均不等式时，一定要注意与否满足条件，即a0,0.(2)若问题中一端浮现“和式”而另一端浮现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”,不妨运用平均不等式试试看.2.持续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件与否一致再练一题.设，b，c为正数,求证：（a+c)381. 【导学号:32750013】

4、【证明】由于a，b,c为正数，因此有0.又(a+c）（3)=2abc，（ac）31，当且仅当c时，等号成立.用平均不等式求解实际问题如图112所示，在一张半径是米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.人们懂得,灯挂得太高了，桌子边沿处的亮度就小;挂得太低,桌子的边沿处仍然是不亮的由物理学知识，桌子边沿一点处的照亮度E和电灯射到桌子边沿的光线与桌子的夹角的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E=.这里k是一种和灯光强度有关的常数那么究竟应当如何选择灯的高度h，才干使桌子边沿处最亮？图112【精彩点拨】根据题设条件建立r与的关系式，将它代入E=k，得到以为自变量，E为因变量的函数关系式,再

5、用平均不等式求函数的最值【自主解答】r=，Ek.2in2cos4=（2sin2)cos2os23，当且仅当i2=cos2时取等号,即ta=，tan =时，等号成立.h=2tan ,即h时，E最大.因此选择灯的高度为米时,才干使桌子边沿处最亮.1.本题的核心是在获得了E后,对E的函数关系式进行变形求得E的最大值解应用题时必须先读懂题意,建立合适的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解再练一题2.制造容积为立方米的无盖圆柱形桶,用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米0元,要使

6、用料成本最低,则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米?【解】设圆柱形桶的底面半径为米，高为米，则底面积为r平方米，侧面积为2rh平方米.设用料成本为y元，则y3r2rh.桶的容积为,h，rh.y30r2+01，当且仅当3r=时，即=时等号成立,此时.故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为米，高为米.探究共研型运用平均不等式求最值探究1 运用不等式求最值的条件是什么?【提示】 “一正、二定、三相等”,即(1)各项或各因式为正;(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取到相等的值.探究2如何求yx2的最小值？【提示】=+2=33,当且仅当，即x=时,等号成立，ymin=.其中把x拆成和两个数，这

7、样可满足不等式成立的条件若这样变形:y=+x=x2,虽然满足了乘积是定值这个规定，但“三相等”不能成立，由于=x2时x无解，不能求出y的最小值.已知xR+,求函数y=x（1-x)的最大值.【精彩点拨】为使数的“和”为定值,可以先平方，即y2x2(1x)22(x2)(1-x2)=2x(1-x)(2）,求出最值后再开方【自主解答】 y=x(1x2)，2=2（1x2）22x2（1-x2)(1-x2）.2x2（1-2)(-x2)2,y2.当且仅当2x1x2，即x时等号成立.，的最大值为.1.解答本题时，有的同窗会做出如下拼凑:y(x)x（1-x)(1）=x（x）(1+x）.虽然其中的拼凑过程保证了三个

8、数的和为定值，但忽视了取“=”号的条件,显然x=2-2x1x无解，即无法取“”号,也就是说，这种拼凑法是不对的的.2.解决此类问题时,要注意多积累某些拼凑措施的题型及数学构造，同步也要注意算术几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可再练一题3若a0，试求a的最小值.【导学号：27504】【解】a+=+3=3，当且仅当=,即a=2时取等号因此当a=b2时，a+有最小值为3构建体系平均不等式已知x2y+3=6，则2x+8z的最小值为（ )A.3 B. C2 D12【解析】+2y+3z=6,x+4z=2y23z312.当且仅当2x22=2z,即x2，z时，等号成立.【答案】 C若ab0，则a的最小值为

9、（ )A.0 .1 C. D.3【解析】a+=(ab)+3=3,当且仅当a2,b=1时取等号，a的最小值为3故选D.【答案】D3.函数y4sin2xco 的最大值为_，最小值为_.【解析】 y16sin2 xsin2xcsx8(sinin2xcs2x)8,y,当且仅当in2xco2x，即n x=时取等号.ymax=,ym=-.【答案】 -4.函数f（x)=x(x0)的最小值为_. 【导学号:320015】【解析】（x)=5x+x+315.当x=，即x=2时取等号【答案】 155已知0,y,证明：（+x+y2)(1+x+y)y.【证明】由于x,y0，因此1+x3,1+x230,故(1x2）（1x

10、2+y)3=9x.我尚有这些局限性:(1) () 我的课下提高方案：（） （2) 学业分层测评(三)（建议用时：45分钟）学业达标一、选择题1.已知正数x,y,z,且x+y+z6，则g xlylg z的取值范畴是( )(,lg 6B（-,g2C.lg ，+)D.lg2，+)【解析】 =y+z3,xyz8.lgx+l lg zl(xy)lg8g 2.【答案】B2.已知xR+，有不等式:x+=2，33，.启发我们也许推广结论为:xn1(nN+),则a的值为（ )Ann B.2n C.n2 D2n+1【解析】 x+,要使和式的积为定值,则必须na,故选A.【答案】 A3.设0x1，则(1-)2的最大

11、值为()A B C. .【解析】 0x1,1-3，则+的最小值为_.【解析】2，3,-，b30，则a+=（a-2)（-)+53+58.当且仅当a=b3=，即=，b4时等号成立【答案】88已知a0，0，0,且ab+c,对于下列不等式:c;2；+b+2其中对的的不等式序号是_【解析】a,b，c(,+），1a+b+c3,0b,7,从而对的,也对的又b+,ab2c2+2(bbca)=，因此13(a2b+c)，即2b2+c2,对的.【答案】三、解答题.已知a,c均为正数,证明：2b2+c2+(+)，并拟定a,b，为什么值时，等号成立【证明】 由于a,b,c均为正数,由算术几何平均不等式，得a22+(ab

12、c），+3(c).因此9（ac）.故a+c23(c）+(abc）.又3（abc)9(b)，因此原不等式成立.当且仅当a=b=c时,式和式等号成立.当且仅当（ab)9(c)时，式等号成立即当且仅当a=c时，原式等号成立10.已知，y,+，x+y+z3.（1)求+的最小值；(2)证明:x2y2z20,+，因此(x+y+)，即+3，当且仅当xy=1时,=取最小值3.(2)证明：x2+y223.又x2+yz29=x2y22-（y+)2=2(yz+zx)，因此x2+y2+z2，且y2,则yx2的最小值是( ）【导学号:201】A.1 B2 C3 D4【解析】 xy+2=xy+23=3=3=.【答案】 C3已知有关的不等式x在x(a，+）上恒成立,则实数a的最小值为_.【解析】 2x+=（a)+(a)+a.又x0,22a3+a，当且仅当xa=,即xa+时，取等号.+的最小值为+2a由题意可得3+2a7，得a2.【答案】24.如图13(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一种全等的四边形，再沿虚线折起,做成一种无盖的正六棱柱容器,如图13(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值.图113【解】 设正六棱柱容器底面边长为x(x1），高为h,由图可有2+x，h（1-x),S底=62h=x2（x)9（1x).当且仅当1,即x=时,等号成立.因此当底面边长为时，正六棱柱容器容积最大值为.