第10章数字信号的最佳接收

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1、 第8章 数字信号的最佳接收任课老师：温洪明任课老师：温洪明1为什么要讨论最佳接收问题？为什么要讨论最佳接收问题？因为一个通信系统的质量优劣在很大程度因为一个通信系统的质量优劣在很大程度上取决于接收系统的性能，影响信息可靠上取决于接收系统的性能，影响信息可靠传输的不利因素（信道特性不理想及信道传输的不利因素（信道特性不理想及信道中存在噪声等）将直接作用到接收端，对中存在噪声等）将直接作用到接收端，对信号接收产生影响。信号接收产生影响。210.1 数字信号接收的统计表述10.2 最佳接收准则10.3 确知信号的最佳接收10.4 匹配滤波器主主 要要 内内 容容310.110.1 数字信号接收的统

2、计表述数字信号接收的统计表述10.2 最佳接收准则10.3 确知信号的最佳接收10.4 匹配滤波器4接收端要无误判断接收信号有困难：u 哪一个信号被发送，对受信者来说是不哪一个信号被发送，对受信者来说是不 确定的；确定的；u 信号传输过程中可能发生各种畸变和混信号传输过程中可能发生各种畸变和混 入随机噪声。入随机噪声。从概率论的观点看，任何随机因素总是遵循某种统计规律性，因此可用统计方法统计方法获得满意的接收效果。带噪声的数字信号接收实质上是一个统计带噪声的数字信号接收实质上是一个统计判决的过程判决的过程。5xs+y判决 规则rn消息空间消息空间 信号空间信号空间噪声空间噪声空间观察空间观察空

3、间判决空间判决空间数字通信系统的统计模型统计模型如下图所示：消息x转化为信号s在信道中传输，受噪声n影响，接收端接收到的信号为y，通过判决规则判决出接收消息为r。6离散消息源可以用概率场来表述离散消息源可以用概率场来表述 x1 x2 xmP(x1)P(x2)P(xm)发送信号与消息之间通常是一一对应的发送信号与消息之间通常是一一对应的 s1 s2 smP(s1)P(s2)P(sm)7n 代表信道噪声的取值，假设n为零均值高斯零均值高斯型白噪声型白噪声，n的统计特性应该用多维联合概率多维联合概率密度函数密度函数f(n)来描述。n在k个不同时刻的取值为n1、n2 nk，则:8若限带信道的截止频率为

4、fH，理想抽样频率为2fH，则在（0，T）时间内共有2fHT个抽样值，这些抽样点的平均功率为令抽样间隔t=1/2fH，若tT,则上式可近似用积分代替：结合以上两式可得:代入f(n):910y(t)=si(t)+n(t)，i=1,2,m，当发送信号取值为s1,s2,sm 之一时,y也将服从高斯分布,方差仍为 ,均值为si所以当发送信号为si(t)时,y(t)的概率密度函数为：根据y(t)的统计特性,并遵循一定的准则,即可作出正确的判决,判决空间中可能出现的状态r1，r2，rm与y1，y2，ym一一对应。似然函数似然函数118.1 数字信号接收的统计表述8.2 8.2 最佳接收准则最佳接收准则8.

5、3 确知信号的最佳接收8.4 匹配滤波器12数字通信中最直观最合理的准则便是“最小差最小差错概率准则错概率准则”。以二进制为例，发送信号只有两个s1(t)和s2(t),则当发送信号为s1(t)或s2(t)时,y(t)的概率密度函数（似然函数似然函数）为:13从图中可看出，当抽样值为yi时将同时对应fs1(y)和fs2(y)，即yi可能是s1变来的，也可能是s2变来的，而fsi(y)反映了这种“变来的”可能性大小。需确定一个判决的最佳划分点最佳划分点y0，使总的错误概率最小。14当抽样值y落在 时判决为r1，当抽样值y落在 时判决为r2 在实际传输中，发送s1后可能因噪声影响使接收端抽样值y落在

6、 ，这时接收端误判为r2，其差错概率同理，发送为s2，接收端却误判为r1的差错概率为15每次判决总的平均差错概率为:一般认为P(s1)和P(s2)是已知的,故Pe是否达到最小由y0决定，即问题转化为找出使Pe最小的最佳划分点y0，可采用Pe对y0求导并使之为0的方法，即：16 最佳划分点y0需满足以下等式：按以下规则判决，可使总差错概率最小：称为似然比判决准则似然比判决准则结论：判为r1 判为r2 17若P(s1)=P(s2)，则上式变为：判为r1 判为r2 称为最大似然准则最大似然准则，此时，此时y0为为fs1(y)和和fs2(y)的交点的交点以上推论可推广到m进制的情况判为ri 根据以上规

7、则，数字信号的最佳接收在理论上就变为收到一个y值后，分别计算各个似然函数值，然后对它们进行比较，似然函数值最大的就判为谁，但要注意前提是前提是si等概出现等概出现。1810.1 数字信号接收的统计表述10.2 最佳接收准则10.310.3 确知信号的最佳接收确知信号的最佳接收10.4 匹配滤波器19确知信号确知信号是指信号的所有参数（幅度、相位、频率等）都是确知的，只是不知道信号是否出现，即接收机对所接收的几种信号波形是已知的，但不知道在某一码元内出现的是哪一个信号。工程上，常见的情况是各个信号的先验概率相同（即信号等概出现），因此本章主要对等概情况等概情况下的最佳接收机展开讨论。20一、二进

8、制确知信号最佳接收机的结构一、二进制确知信号最佳接收机的结构设到达接收机输入端的两个可能确知信号为s1(t)和s2(t)，它们的持续时间为（0，T），且有相等的能量，接收机输入端的噪声n(t)是高斯白噪声，且其均值为零，单边功率谱密度为n0根据似然比判决准则得：判为s1 判为s2其中似然函数：21将似然函数代入似然比判决准则，化简得：判为判为s s1 1判为判为s s2 2先化简第一式，在不等式两边同时取对数得：又s1(t)和s2(t)具有相同能量，即令22同理另一式为：判为判为s s2 2上两式即为化简后的判决准则，根据该准则可得最佳接收机实现框图如下所示：积分器积分器积分器积分器s2(t)

9、比较器比较器y(t)判决判决输出输出s1(t)U1U2等概情况下U1=U2，则上图中的相加器可省略。相关检测器相关检测器判为判为s s1 1则上式变为：23二、二进制确知信号最佳接收机的性能二、二进制确知信号最佳接收机的性能在8.2节里提到接收机误判的平均差错概率平均差错概率为：所以求Pe就归结为求Q1和Q2先求Q1，即发送发送s1却误判为却误判为s2的概率的概率，也就是发送为s1，却使以下判决规则成立的概率：判为判为s224时，接收的波形为发)t(s1)t(n)t(s)t(y1+=，代入上述判决规则得：上式中s1(t)、s2(t)是确知信号，P(s1)、P(s2)、n0都是确定值，仅n(t)

10、为随机信号令,则求Q1便成为求使随机变量 成立的概率。25n(t)是高斯过程，则 也是随机过程（随n(t)变化）。的概率密度函数为上式与 和 有关26s s1 1(t)(t)和和s s2 2(t)(t)都是确知信号都是确知信号前面假设前面假设n(tn(t)为零为零均值的高斯白噪声均值的高斯白噪声又 高斯白噪声27 Pe与n0、P(s1)、P(s2)以及信号差的能量有关，而与与s s1 1(t)(t)和和s s2 2(t)(t)本身的具体结构无关。本身的具体结构无关。将 和 的结果代入Q1中得：同理可得：其中与与n0、P(s1)、P(s2)、信号差的能量有关信号差的能量有关与与n0和信号差的能量

11、有关和信号差的能量有关与与n0、P(s1)、P(s2)、信号差的能量有关信号差的能量有关28结论结论Pe与P(s1)、P(s2)的关系：当 时，先验不等概情况下的Pe略小于先验等概情况下的 Pe，因此实际中常常选择先验等概的假设，并按 P(s1)=P(s2)的情况设计相关检测器的结构。先验等概时，Pe仅与信号差的能量及n0有关29三、几种二进制确知信号的性能三、几种二进制确知信号的性能在先验等概的情况下，极限性能Pe可化简为：上式中将将该式转化为互补误差函数该式转化为互补误差函数的形式，即令的形式，即令30现定义即两信号的互相关系数即两信号的互相关系数即：当当s s1 1(t)(t)与与s s

12、2 2(t)(t)具有相同能量，即具有相同能量，即E E1 1=E=E2 2=E Eb b时：时：实际使用中希望实际使用中希望P Pe e越小越越小越好，即好，即越小越好越小越好31当信号当信号s s1 1(t)(t)的能量的能量E E1 1=0=0，s s2 2(t)(t)的能量的能量E E2 2=E Eb b时：时：321、2ASK信号信号满足式满足式的条件的条件332、2FSK信号信号满足式满足式的条件的条件coscos=1/2cos(+)+cos(-)34选择选择 均为整数均为整数则：则：353、2PSK信号信号满足式满足式的条件的条件36对比各个二进制信号的对比各个二进制信号的P P

13、e e，显然，显然2PSK2PSK最佳，最佳，2FSK2FSK次之，次之，2ASK2ASK最差。最差。37例例 题题 10-1已知已知BPSKBPSK系统的两个信号波形的表达式分别为系统的两个信号波形的表达式分别为 和和 ，持续时间，持续时间是是0tT0tTb b，s s1 1(t)(t)和和s s2 2(t)(t)等概出现。等概出现。求平均比特能量求平均比特能量E Eb b及两信号波形的相关系及两信号波形的相关系 数数；画出最佳接收机方框图，并求其误码率。画出最佳接收机方框图，并求其误码率。3810.1 数字信号接收的统计表述10.2 最佳接收准则10.3 确知信号的最佳接收10.410.4

14、 匹配滤波器匹配滤波器39在数字通信系统中，滤波器是其中重要部件之一，滤波器特性的选择直接影响数字信号的恢复。在数字信号接收中，滤波器的作用有两个方面，第一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强使滤波器输出有用信号成分尽可能强；第二是抑制抑制信号带外噪声信号带外噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号判决的影响。通常对最佳线性滤波器的设计有两种准则：一种是使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的均方误差最小，由此而导出的最佳线性滤波器称为维纳滤波器；另一种是使滤滤波波器器输输出出信信噪噪比比在在某某一一特特定定时时刻刻达达到到最最大大，由此而导出的最佳线性滤波器称为匹配滤波器匹配滤波器

15、。40由数字信号的判决原理我们知道，抽样判决器输出数据正确与否，与滤波器输出信号波形和发送信号波形之间的相似程度无关，也即与滤波器输出信号波形的失真程度无关，而只只取取决决于于抽抽样样时时刻刻信信号号的的瞬瞬时时功功率率与与噪噪声声平平均均功功率率之之比比，即信噪比。信噪比越大，错误判决的概率就越小；反之，信噪比越小，错误判决概率就越大。在数字通信中，匹配滤波器具有更广泛的应用。41一、匹配滤波器的原理一、匹配滤波器的原理设线性滤波器的输入端加入信号与噪声的混合波形为：并假定噪声为高斯白噪声，其功率谱密度为n0/2，s(t)的频谱函数为S()，要求线性滤波器在某一时刻t0上有最大的信号瞬时功率

16、与噪声平均功率的比值，首先需确定在上述最大输出信噪比准则下的最佳线性滤波器的传输特性H()由于该滤波器是线性滤波器，满足叠加定理，因此滤波器输出y(t)也由输出信号和输出噪声两部分组成，即其中42输出噪声平均功率：线性滤波器在t0时刻的输出信号瞬时功率与噪声平 均功率之比为：则则寻寻求求最最大大r ro o的的线线性性滤滤波波器器就就是是求求使使上上式式达达到到最最大大值的值的H(H()43可用许瓦尔兹不等式解决：当 时上式取等号。令则：s(t)的总能量根据帕塞瓦尔定理有:模为144上式成立的条件是结论：结论：在高斯白噪声干扰背景下，按 设计的线性滤波器将能在给定时刻t0上获得最大输出信噪比2

17、E/n0由于它的传输特性与信号频谱的复共轭一致，故称为匹匹配滤波器配滤波器。45匹配滤波器的冲激响应：上式表明：匹配滤波器的冲激响应是信号s(t)的镜像信号s(-t)再平移t046对于因果系统，h(t)应满足：则要求s(t0-t)在t0的情况下需为零，即要求：这个条件说明，对于一个物理可实现的匹配滤波器，其输入信号s(t)必须在它输出最大信噪比的时刻t0之前结束。也就是说，若输入信号在T时刻结束，则对物理可实现的匹配滤波器，其输出最大信噪比时刻t0必须在输入信号结束之后，即t0T。对于接收机来说，t0是时间延迟，通常总是希望时间延迟尽可能小，因此一般情况下取t t0 0=T=T。47匹配滤波器

18、的输出信号令令s(t)的自相关函数由于ro与k无关，所以为了便于分析通常令k=1，则匹配滤波器的输出信号就是输入信号的自相关函数。因此常把匹配滤波器当作一个相关器。48二、匹配滤波器在最佳接收机中的应用二、匹配滤波器在最佳接收机中的应用以二进制确知信号最佳接收机为例。二进制确知信号s(t)的持续时间为（0，T），考虑到匹配滤波器的物理可实现条件，即t0=T，则y(t)通过匹配滤波器的输出波形为：抽样判决时刻选在t=T，则上式变为:与8.3节最佳接收机实现框图中的相关器的输出一致令令49重要结论：重要结论：由于匹配滤波器在t=T时刻的输出值恰好等于相关器的输出值，即匹配滤波器可代替相关器，因此8

19、.3节所示的最佳接收机实现框图可用下图代替：h(t)=s1(T-t)(0tT)h(t)=s2(T-t)(0tT)比较器比较器判决判决注注意意：无论是相关器形式还是匹配滤波器形式的最佳接收机结构，它们的比较器都是在t=T时刻才做出最后判决（即在每个数字信号码元的结束时刻才给出最佳判决结果），因此判判决决时时刻刻的的任任何何偏偏离离都都将将直直接接影影响响接收机的性能接收机的性能。50已知匹配滤波器的输入信号波形如下图所示，已知匹配滤波器的输入信号波形如下图所示，试求：试求：匹配滤波器的冲激响应；匹配滤波器的冲激响应；匹配滤波器的输出波形；匹配滤波器的输出波形；最大输出信噪比时刻和最大输出信噪比时刻和 最大输出信噪比。最大输出信噪比。51本 章 小 结 数字通信系统的统计模型及其过程说明；理解似然函数的推导过程。似然比判决准则与最大似然判决准则。似然比判决准则与最大似然判决准则。一、数字信号接收的统计表述二、最佳接收准则 理解总的差错概率Pe的推导过程；最佳划分点的条件；52 三种二进制确知信号的性能。三种二进制确知信号的性能。三、确知信号的最佳接收（二进制）二进制确知信号最佳接收机的结构（框图）；二进制确知信号最佳接收机的性能；四、匹配滤波器 匹配滤波器原理（定义、h(t)与s(t)的关系、最 大信噪比时刻、最大信噪比、输出）；匹配滤波器形式的最佳接收机框图。53