多目标最优的相关概念 公式 2

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1、多目标优化问题可以表述为下面的形式(遗传多目标优化的研究中国地质大学)1多目标优化问题ming (x) f (x*)jj其中F是满足式(1-4)和式(1-5)的可行解集3个体间支配关系:设Pop为一个集合，Pop中个体数为N,其中Pop中每个个体均有r个属性，人()是每个个体的评价函数(k=1,2,r) ,Pop中个体间的关系定义为:(1)支配关系：Vi, j e p,若 f (i) f (j)(k二 1,2,r)(1-6)kk且 3l e,2,r使f (i) 为支配关系。(1-6) 说明：对所有子目标i不比j差；(1-7)说明：至少存在一个子目标使i比j好。(2 )不相关：若i和j不存在支配

2、关系，则i和j不相关。4最有边界对于1.1.1节中定义的多目标优化问题，设它的Pareto最优解集为PS,则Pareto最优边界定义为：PF * = f (X) = (f (X), f (X ) f (X) I X e X *12r最优解是目标函数的切点，它总是落在搜索区域的边界线(面)上。如图所示，粗线 段表示二个优化目标的最优边界(Pareto Front)。三个优化目标的最优边界构成一个曲面， 三个以上的最优边界则构成超曲面。图中，实心点A、B、C、D、E、F均处在最优边界上, 它们都是最优解(Pareto points)，是非支配的(non-dominated)；空心点G、H、I、J、

3、K、 L落在搜索区域内，但不在最优边界上，不是最优解，是被支配的(dominated)，它们直接 或间接受最优边界上的最优解支配。5.非支配解的构造方法：设种群Pop的规模大小为N,将群体Pop按照某种策略进行分类排序为m个子集P1，P2,，Pm，且满足下列性质： U 二 Pop ；Pe h,p2,Pm Vi, j e2,且 i 主 j, P U P =0 ；i j PPP，即P中的个体直接受P中个体的支配(k=1,2, .,m-1)12mk+1k对Pop种群进行分类排序的目的是为了将其划分为满足上述3个性质的互不相交的子 群体，分类排序依据个体之间的支配关系进行。设两个向量力和s ，其中i

4、G Pop，n记录支配个体i的个体数，s记录被个体iiiii支配个体的集合，既有：首先通过二重循环计算每个个体的n和s : 对种群中的每个个体i,初始化n =0,s =0 ； 对种群中的每个个体j,若j，则将j加入到s中3 = s U j，若ji，则为n加上1，n = n +1若n =0,则没有个体支配i,即i是非支配个体，将其加入第一个非支配类匚，并更新第一个非支 i1配类P = P U ，同时将其个体的次序置为i= 1。11rank若第m个非支配类非空时，即P鼻0。对于P中的每个个体i,其相应的s中的每个个体j的n值应减1,即n = n -1。若n =0,则此时子群中没有个体支配j,将j的次序置为 j j j jj = m +1，同时将j加入到第m+l个非支配类P , P = P+ j以此类推，直到整个种rankm+1 m+1m+1群被划分完为止。5拥挤距离： 在一般情况下，当有r个子目标的个体i的拥挤距离为：d =丫 (pi + 1f -pL 1f) i = 2,3,N 1i k kk=1其中pUf为个体i在子目标k上的函数值,d = d二g。 k1 N