平面向量的加减法.ppt

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1、2.2 平面向量的运算 2.2.1 平面向量的加法 问题 1:向量能进行运算吗?请举例说明 提示:能,如力的合成 问题 2:如果两个力 F1, F2作用于同一个物体上, 当物体静止时,说明了什么? 提示: F1 F2 0. 新课讲解 问题 3:做斜上抛运动的物体在水平方向上有速度 吗?在竖直方向上有速度吗? 提示:有 问题 4:在问题 3中,物体为什么没沿水平或垂直方 向运动? 提示:力的合力不在这两个方向上 1向量加法的定义 求 的运算,叫做向量的加法 2求向量和的方法 两个向量和 ( 1) 三角形法则: 已知非零向量 a 、 b ,在平面上任取一点 A , 作 AB a , BC b ,则

2、向量 叫做 a 与 b 的和 或和向量 ,记作 a b ,即 a b AB BC . 上述求两个向量和的方法,称为向量加法的三角 形法则 AC AC 一、向量加法的定义和法则 ( 2) 平行四边形法则: 已知两个不共线向量 a , b ,作 OA a OB b ,以 a , b 为邻边作 OACB ,则 的对角线 OC 就是 a 与 b 的和,如图这种作两个向量 和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 对于零向量与任一向量 a ,规定: a 0 . 以 O为 起点 0 a a 问题 1:数的加法满足交换律和结合律,向量的加法 是否也满足交换律和结合律? 提示:满足 问题 2:你能验证向量也满足结

3、合律吗? 提示:如图, a b c (a b) c a (b c) 二、向量加法的运算律 (1)向量加法的交换律: a b ; (2)向量加法的结合律: (a b) c . b a a (b c) 1 对两种求向量和的方法的理解 (1) 两个法则的使用条件不同 三角形法则适用于任意两个非零向量求和,平行四边形法 则只适用于两个不共线的向量求和 (2) 当两个向量不共线时,两个法则是一致的 如图所示: AC = AB AD ( 平行四边形法则 , AC AB BC ( 三角形法则 ) 深化理解 ( 3) 在使用三角形法则时,应注意 “ 首尾连接 ” ;在使用平 行四边形法则时应注意两向量起点相同

4、 ( 4) 三角形法则可以推广为多边形法则,即对于几个向量, 有 0 1 1 2 2 3 1 0n n n A A A A A A A A A A ,这可以称为向量加法 的多边形法则 2 在向量加法的三角形法则中,可得 | a | | b | | a b |. 其 中, “ ” 在有一者为零向量或两个向量共线且方向相 同时取 得 例 1 如图所示, 已知向量 a , b , c 试作出向量 a b c . 例题讲解 精解详析 法一: 如图 1 所示, 首先在平面内任取一点 O ,作向量 OA a ,再作向量 AB b ,则得向量 OB a b ; 然后作向量 BC c ,则向量 OC ( a

5、b ) c a b c 即为所求 法二: 如图 2 所示,首先在平面内任取一点 O ,作向量 OA a , OB b , OC c ,以 OA 、 OB 为邻边作 OAD B ,连接 OD ,则 OD OA OB a b . 再以 OD 、 OC 为邻边作 OD EC ,连接 OE ,则 OE OD OC a b c 即为所 求 1 如图,已知平行向量 a 、 b ,求作 a b . 解: 作 OA a , AB b ,则 OB a b 就是求作的向量 跟踪练习 2 小船向正东方向行驶了 10 km ,又沿北偏东 30 方向行驶 了 15 km ,作出小船两次的合位移 解: 用 AB 表示向正

6、东行驶 10 km 的位移, BC 表示沿北偏东 30 方向行驶了 15 km 的位移,则 AC 表示小船两次的合位移 ( 如 图 ) 例 2 化简或计算: ( 1) CD BC AB ; ( 2) AB DF CD BC FA . 例题讲解 精解详析 ( 1) CD BC AB ( AB BC ) CD AC CD AD . ( 2) AB DF CD BC FA ( AB BC ) ( CD DF ) FA AC CF FA AF FA 0. 1 正方形 ABCD 的边长为 1 ,则 | AB AD | 为 ( ) A 1 B. 2 C 3 D 2 2 解析: 正方形 AB CD 中, A

7、B AD AC | AB AD | | AC | 2 . 答案: B 跟踪练习 2 化简下列各式: ( 1) PB + OP OB 2 AB MB BO OM 解: 1 PB OP OB ( OP PB ) OB OB BO 0. 2 AB MB BO OM AB BO OM MB AO OB AB . 例 3 船在静水中的速度为 20 m /m in ,水流的速度为 10 m/ m in ,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船 行进的方向 例题讲解 精解详析 作 AB 水 , AD 船 ,以 AB , AD 为 邻边作 ABCD , 则 AC 实际 ,如图 由题意可知 C A B

8、 90 ,在 Rt ABC 中, | AB | | 水 | 10 m / m in , | BC | | AD | | 船 | 20 m / m in , c os A B C | AB | | BC | 10 20 1 2 , ABC 60 ,从而船与水流方向成 120 的角 故船行进的方向与水流的方向成 120 的角 1 一艘船以 8 km /h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,由于水 流的原因,船的实际航行速度的大小为 4 5 km / h ,则水流 速度的大小为 _ 解析: 由题意可知,水流速度的大小为 4 5 2 8 2 4 ( km /h ) 答案: 4 km/h 跟踪练习 2 如图

9、,一架飞机从 A 地按北偏西 30 的方向飞行 300 km 后 到达 B 地, 然后向 C 地飞行已知 C 地在 A 地北偏 东 60 的方向处,且 A , C 两地相距 300 km ,求飞机从 B 地向 C 地飞行的方 向及 B 、 C 两地的距离 解: 根据题意可知 B A C 90 , | AB | | AC | 300 k m ,则可得 | BC | 300 2 k m . 又由于 ABC 45 , A 地在 B 地东偏南 60 的方向处,可知 C 地在 B 地东偏南 15 的方向处 即飞机从 B 地向 C 地飞行的方向是东偏南 1 5 , B 、 C 两地的距 离为 300 2

10、k m . 2.2.2 平面向量的减法 问题 1:一个数 a的相反数是什么? 提示: a. 问题 2:一个向量有相反向量吗? 提示: 有,向量 a的相反向量是 a. 新课讲解 相反向量 与 a 的向量,叫做 a的相反向量, 记作 a. (1)规定:零向量的相反向量 ; (2) ( a) ; (3)a ( a) 0; (4)若 a与 b互为相反向量,则 a , b , a b . 长度相等,方向相反 仍是零向量 ( a) a b a 0 a 问题 1:两个相反数的和为零,那么两个相反向量的 和也为零吗? 提示: 是零向量 问题 2:根据向量加法,如何求作 a b? 提示: 先作出 b;再按三角形

11、或平行四边形法 则进行 向量减法的定义和法则 向量的减法 ( 1) 定义: a b a ,即减去一个向 量相当于加上这个向量的 ( 2) 几何意义:以 O 为起点,作向量 OA a , OB b ,则 a b ,如图所示,即 a b 可表示从 指向 的向量 ( b) 相反向量 BA 向量 b的终点 向量 a的终点 1 向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算, 可以相互转化,减去一个向量等于加上这个向量的相反 向量 2 两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法 则求得:用平行四边形法则时,两个向量也是共起点, 深化理解 和向量是起点与它们的起点重合的那条 对角线所对应的向量 ( AC ) ,

12、而差向量是 另一条对角线所对应的向量 ( DB ) ,方向是从减向量的终点指 向被减向量的终点;用三角形法则时,把减向量与被减向量的 起点相重合,则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终 点 例 1 化简: ( AB CD ) ( AC BD ) 例题讲解 精解详析 法一: ( AB CD ) ( AC BD ) AB CD AC BD AB DC CA BD ( AB BD ) ( DC CA ) AD DA 0. 法二: ( AB CD ) ( AC BD ) AB CD AC BD AB DC AC DB ( AB AC ) ( DC DB ) CB BC 0. 法三: ( AB CD

13、) ( AC BD ) AB CD AC BD ( OB OA ) ( OD OC ) ( OC OA ) ( OD OB ) OB OA OD OC OC OA OD OB 0. 1 在平行四边形 AB C D 中, AB CB DC ( ) A BC B AC C DA D BD 解析: 如图 CB DA , AB CB DC AB DA DC AB CA CA AB CB DA . 答案: C 跟踪练习 2 如图,在四边形 A B C D 中,根据图示填空: a b _ _ _ _ , b c _ _ _ _ , c d _ _ _ _ , a b c d _ _ _ _ . 解析: a

14、 b AB BC AC f ; b c BC CD BD e ; c d CD AD DA DC CA f ; a b c d AB BC CD AD AD AD 0. 答案: f e f 0 3 化简: ( AB PC ) ( BA QC ) 解: 法一: 原式 ( AB BA ) ( PC CQ ) 0 PQ PQ . 法二: 原式 AB PC BA QC ( OB OA ) ( OC OP ) ( OA OB ) ( OC OQ ) OQ OP PQ . 例 2 如图所示, O 是四边形 A B C D 内任一点,试根据图中 给出的向量,确定 a 、 b 、 c 、 d 的方向 ( 用箭

15、头表示 ) ,使 a b BA , c d DC ,并画出 b c 和 a d . 例题讲解 精解详析 因为 a b BA , c d DC , 所以 a OA , b BO , c OC , d OD ;如图所示,作 平行四边形 O B E C ,平行四边形 O D F A ,根据平行四边形法则 可得: b c EO , a d OF . 1 如图,已知正方形 ABCD 的边长等于 1 , AB a , BC b , AC c ,试作以下 向量并分别求模 ( 1) a b c ; ( 2) a b c . 跟踪练习 解: (1) 如图,由已知得: a b AB BC AC ,又 AC c ,

16、 延长 AC 到 E , 使 | CE | | AC |. 则 a b c AE ,且 | AE | 2 2 . (2) 作 BF AC ,连接 CF , 则 D 、 C 、 F 共线, 则 DB BF DF , 而 DB AB AD a BC a b , a b c DB BF DF 且 | DF | 2. 2 如图所示, O 为 A BC 内一点, OA a , OB b , OC c . 求作 b c a . 解: 法一: 如图 以 OB 、 OC 为邻边作 OBDC ,连接 OD 、 AD , 则 OD OB OC b c , AD OD OA b c a . 法二: 如图 作 CD

17、OB b ,连接 AD ,则 AC OC OA c a , AD AC AC c a b b c a . 例 3 已 知任意四边形 AB CD , E 是 AD 的中点, F 是 BC 的中点,求证: AB EF EF DC , 例题讲解 精解详析 如图, 在四边形 C DEF 中, EF FC DC DE 0 , EF DC CF ED , 在四边形 A B F E 中, AB BF FE EA 0 , AB BF FB AE , 又 E 、 F 分别是 AD , BC 的中点 CF FB , ED AE ,从而 CF ED FB AE . EF DC AB EF 1 如图所示,在平行四边形

18、 AB CD 的对角线 BD 的延长线上取点 E , F ,使 BE DF , 求证:四边形 AE CF 是平行四边形 跟踪练习 证明: AE AB BE , FC FD DC , 又 AB DC , BE FD . AE FC ,即 AE 与 FC 平行且相等, 四边形 AE C F 是平行四边形 2 如图,已知点 O 到平行四边形 A BC D 的 三个顶点 A 、 B 、 C 的向量分别为 a 、 b 、 c ,试用 a 、 b 、 c 表示 OD . 解: 因为 OA a , OB b , OC c ,则 BC OC OB c b ,又 AD BC ,所以 OD OA AD OA BC

19、 a c b . 2.2.3 平面向量的 数乘运算 问题 1:按照向量的加法法则,若 a为非零向量,则 a a 的长度与 |a|的关系怎样? 提示: 按三角形法则, |a a| 2|a|. 问题 2:我们知道, x x x 3x,那么 a a a能否写 成 3a呢? 提示: 可以 问题 3: 3a与 a的方向为什么关系? 3a与 a的方向呢? 提示: 3a与 a方向相同, 3a与 a方向相反 问题引入 向量数乘运算 一般地,规定实数 与向量 a 的积是一个 ,这种 运算叫做向量的数乘,记作 a ,其长度与方向规定如下: ( 1) |a | ; ( 2) a ( a 0) 的方向 当 0 时,与

20、 a 方向 , 当 0 时,与 a 方向 . 特别地,当 0 或 a 0 时, 0 a 或 0 . 向量 |a| 相同 相反 0 0 新课讲解 一、向量的数乘运算定义和法则 根据向量加法的三角形法则、平行四边形法则以及数乘 的定义,回答下列问题: 问题 1: 3(2a)与 2(3a)是否等于 6a? 提示: 是的 问题 2: (3 2)a 3a 2a成立吗? 提示: 成立 问题 3: 2(a b)与 2a 2b是否相等? 提示: 相等 二、向量数乘运算的运算律 若设 , 为实数,则 (1)( a) ; (2)( )a ; (3)(a b) . 特别地, ( )a , (a b) . ()a a

21、 a a b (a) ( a) a b 问题 1:如果两个向量共线,这两个向量具有哪几种 情况? 提示: 方向相同或方向相反或其中一者为零向量 问题 2:根据向量的数乘运算, a与 a(0, a0)的方 向有何关系 提示: 相同或相反 问题 3:向量 a与 a(为常数 )共线吗? 提示: 共线 三、向量共线定理 1共线向量定理 向量 a(a0)与 b共线,当且仅当有 实数 , 使 b a. 2向量的线性运算 向量的 , , 运算统称为向量的线性运 算对于任意向量 a, b,以及任意实数 、 1、 2,恒有 (1a 2b) 1a 2b. 唯一一个 加 减 数乘 1若 a 0,则 0对吗? 提示:

22、 不对当 a 0时, 0或 a 0. 2共线向量定理中 b a, a若为 0如何? 提示: 当 a 0时,则 不存在 (b0时 )或者不唯一 (b 0 时 ) 3已知向量 a, b不共线,则 m a 3b与 n 2a 6b 共线吗? 提示: n 2m,故 m与 n共线 4与非零向量 a共线的单位向量是什么? 提示: 由于单位向量的长度总等于 1 ,所以与非零向量 a 共线的单位向量应为 a | a | . 分析思考 1 实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运 算,如 a , a 无法进行 a 0 的条件是 0 或 a 0. 2 从几何的角度来看,对于向量的长度而言, 当 | | 1 时,

23、有 |a | | a | ,这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向 ( 0) 或反方向 ( 0) 上伸长到 | | 倍; 当 0 | | 1 时,有 |a | | a | ,这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向 (0 1) 或反方 向 ( 1 0) 上缩短到 | | 倍; 利用向量的数乘运算可解决平 面几何中的平行、相似等问题 深化理解 3 共线向量定理的理解 ( 1) 定理本身包含了正反两个方面:若存在一个实数 ,使 b a ( a 0) ,则 a 与 b 共线;反之,若 a 与 b 共线 ( a 0) ,则必存在 一个实数 ,使 b a . ( 2) 该定理中之所以规定 a 0 ,是

24、因为:当 a 0 时,若 b 0 ,这时 不唯一;若 b 0 ,则不存在 值使 b a . ( 3) 该定理的作用主要是论证两条直线平行或三点共线问 题 例 1 计算: ( 1) 6( 3 a 2 b ) 9( 2 a b ) ; ( 2) 1 2 (3 a 2 b ) 2 3 a b 7 6 1 2 a 3 7 ( b 1 2 a ) ; ( 3) 6( a b c ) 4( a 2 b c ) 2( 2 a c ) 例题讲解 精解详析 ( 1) 原式 18 a 12 b 18 a 9 b ( 18 18) a ( 12 9) b 3 b . ( 2) 原式 3 2 a b 1 3 a 1

25、2 b 7 12 a 1 2 b 7 12 a ( 3 2 1 3 7 12 7 12 ) a (1 1 2 1 2 ) b 0. ( 3) 原式 6 a 6 b 6 c 4 a 8 b 4 c 4 a 2 c (6 4 4) a ( 6 8) b (6 4 2) c 6 a 2 b . 1. 1 3 1 2 (2 a 8 b ) (4 a 2 b ) 等于 ( ) A 2 a b B 2 b a C b a D a b 解析: 原式 1 6 (2 a 8 b ) 1 3 (4 a 2 b ) 1 3 a 4 3 b 4 3 a 2 3 b a 2 b 2 b a . 答案: B 跟踪练习 2

26、 计算下列各题: ( 1) 3( 3 a b ) 4( b 2 a ) ; ( 2) 1 4 ( a 2 b ) 3 a 1 3 (6 a 12 b ) 解: 原式 3( 3 a ) 3( b ) 4 b 4( 2 a ) 9 a 3 b 4 b 8 a a b . ( 2) 原式 1 4 a 1 2 b 3 4 a 1 2 a b 1 2 a 3 2 b . 3 已知 5( x a ) 3( x b ) 0 ,求 x . 解: 原方程可化为 5 x 5 a 3 x 3 b 0. 8 x 3 b 5 a . 两边同除以 5 ,得 x 3 8 b 5 8 a . 例 2 (1) 已知 e 1 ,

27、 e 2 是不共线向量, a 3 e 1 4 e 2 , b 6 e 1 8 e 2 ,则 a 与 b 是否共线? (2) 已知 e 1 , e 2 是共线向量, a 3 e 1 4 e 2 , b 6 e 1 8 e 2 ,则 a 与 b 是否共线? 例题讲解 精解详析 ( 1) 若 a 与 b 共线,则存在 R , 使 a b ,即 3 e 1 4 e 2 (6 e 1 8 e 2 ) (3 6 ) e 1 (4 8 ) e 2 0. e 1 , e 2 不共线, 3 6 0 , 4 8 0 , 不存在, a 与 b 不共线 ( 2) e 1 , e 2 共线, 存在 R ,使 e 1 e

28、 2 , a 3 e 1 4 e 2 ( 3 4) e 2 , b 6 e 1 8 e 2 (6 8) e 2 , 当 4 3 时, a 3 4 6 8 b , a , b 共线 当 4 3 时, b 0 , a , b 也共线 综上所述, e 1 与 e 2 共线时, a , b 也共线 1 设两非零向量 e 1 、 e 2 不共线,且 ( ke 1 e 2 ) ( e 1 ke 2 ) ,则 实数 k 的值为 ( ) A 1 B 1 C 1 D 0 解析: ( ke 1 e 2 ) ( e 1 ke 2 ) , 可设 ke 1 e 2 ( e 1 ke 2 ) ,即 ke 1 e 2 e

29、1 ke 2 , 又 e 1 , e 2 不共线, k , k 1. 解得 k 1. 答案: C 跟踪练习 2 设 e 1 、 e 2 是两个不共线的向量若 AB 2 e 1 10 e 2 , BC 2 e 1 8 e 2 , CD 3( e 1 e 2 ) ,试证: A , B , D 三点共线 解: AB BC CD 2 e 1 8 e 2 3( e 1 e 2 ) e 1 5 e 2 , AB 2 e 1 10 e 2 ,所以 AB 2 BD , 即 AB 与 BD 为共线向量 又 AB 与 BD 过公共点 B , A 、 B 、 D 三点共线 . 解: a 与 b 是共线向量, a b

30、 , 2 e 1 e 2 ( ke 1 e 2 ) ke 1 e 2 , k 2 , 1 , k 2 , 1 , k 2. 3已知 e1, e2是两个不共线的向量, a 2e1 e2, b ke1 e2.若 a与 b是共线向量,求实数 k的值 精解详析 法一: 设 BC x ,则 BK 1 2 x , AB e 1 1 2 x , DL 1 2 e 1 1 4 x , 又 AD x , 由 AD DL AL 得 x 1 2 e 1 1 4 x e 2 ,解方程,得 x 4 3 e 2 2 3 e 1 , 即 BC 4 3 e 2 2 3 e 1 , 例 3 如图所示,已知 AB CD 的边 B

31、C 、 CD 的中点分别为 K 、 L ,且 AK e 1 , AL e 2 ,试用 e 1 , e 2 表示 BC , CD . 由 CD AB , AB e 1 12 x ,得 CD 43 e 1 23 e 2 . 例题讲解 法二: 设 BC x , CD y ,则 BK 1 2 x , DL 1 2 y . 由 AB BK AK , AD DL AL 得 y 1 2 x e 1 , x 1 2 y e 2 . 2 得 1 2 x 2 x e 1 2 e 2 ,解得 x 2 3 (2 e 2 e 1 ) ,即 BC 2 3 (2 e 2 e 1 ) 4 3 e 2 2 3 e 1 , 同法

32、得 y 2 3 ( 2 e 1 e 2 ) ,即 CD 4 3 e 1 2 3 e 2 . 法三: 如图所示, BC 与 AL 的 延长线相交于点 E . 则 DLA C LE , 从而 AE 2 AL , CE AD , KE 3 2 BC ,由 KE AE AK ,得 3 2 BC 2 e 2 e 1 ,即 BC 2 3 (2 e 2 e 1 ) 4 3 e 2 2 3 e 1 . 同理可得 CD 2 3 ( 2 e 1 e 2 ) 4 3 e 1 2 3 e 2 . 1 点 C 在线段 AB 上,且 AC 3 5 AB ,则 AC 等于 ( ) A. 2 3 BC B. 3 2 BC C

33、 2 3 BC D 3 2 BC 跟踪练习 解析: AC 3 5 AB ,且 AC AB BC . AC 5 3 AC BC , 2 3 AC BC , 即 AC 3 2 BC . 答案: D 2 . 如图所示,四边形 OADB 是以 向量 OA a , OB b 为邻边的平行四边形 又 BM 1 3 BC , CN 1 3 CD ,试用 a , b 表示 OM , ON , MN . 解析: BM 1 3 BC 1 6 BA 1 6 ( OA OB ) 1 6 ( a b ) , OM OB BM b 1 6 a 1 6 b 1 6 a 5 6 b . CN 1 3 CD 1 6 OD ,

34、ON OC CN 1 2 OD 1 6 OD 2 3 OD 2 3 ( OA OB ) 2 3 ( a b ) , MN ON OM 2 3 ( a b ) 1 6 a 5 6 b 1 2 a 1 6 b . 3 设 D 、 E 、 F 分别是 ABC 的三边 BC 、 CA 、 AB 上的点, 且 DC 2 BD , CE 2 EA , AF 2 FB , 则 AD BE CF 与 BC ( ) A 反向平行 B 同向平行 C 互相垂直 D 既不平行也不垂直 解析: AD BE CF ( AB BD ) ( BA AE ) ( CB BF ) 1 3 BC 1 3 AC ( CB 1 3 BA ) 1 3 BA 1 3 BC 1 3 AC CB 1 3 BC , ( AD BE CF ) 与 BC 平行且方向相反 答案: A

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