四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高三年级下册学期第二次联考文科数学试题【含答案】

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1、2023届高三第二次联考文科数学注意事项：1，答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名座位号和考籍号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【

2、分析】解一元二次不等式求得集合，再根据交集定义求解【详解】，所以，故选：C2. 已知复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及除法运算即可化简求解.【详解】由得， ，所以，故选：A3. 已知命题：若等比数列为单调递增数列，则其公比；命题：若直线与平面内的无数条直线都垂直，则直线平面则下列命题中为假命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别判断出命题p、q的真假，再对四个选项逐一判断即可【详解】若等比数列为单调递增数列，则公比且，或公比且，所以为假命题，若直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线平面，所以为假命题，对于A：为真

3、命题，故A错误；对于B：为假命题，故B正确；对于C：为真命题，故C错误；对于D：为真命题，故D错误；故选：B4. 已知向量、满足，且与夹角的余弦值为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用平面向量数量积的定义可求得，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】由平面向量数量积的定义可得，所以，.故选：B.5. 下列函数中，以为周期且在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】A. 由判断；B.由判断；C.作出 的图象判断；D. 作出的图象判断.【详解】A. 因为，则，由，得，所以 单调递增，故正确；B. ，则，由，得，所以不单调，故错误

4、；C. ，其图象如图所示：，由图象知：，由，得，因为不单调，故错误；D. ，其图象如图所示：由图象知：，由，得，因为不单调，故错误；故选：A6. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】根据等差数列性质可得，进而可求解.【详解】由得，所以，故选：A7. 按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度应小于等于经测定，刚下课时，某教室空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）A. 分钟B. 分钟C. 分钟D.

5、分钟【答案】C【解析】【分析】当时，可求得的值，然后解不等式，求出的范围，即可得解.【详解】由题意可知，当时，由，可得，所以，由可得，解得（分钟），因此，该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为分钟.故选：C.8. 已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得圆锥的底面半径，进而求得圆锥的表面积.【详解】依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径为，所以圆锥的表面积为.故选：B9. 在四棱锥中，若四边形为正方形，平面，则二面角的正切值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解

6、析】【分析】由图，取取BD中点为O，说明为二面角的平面角，后可得答案.【详解】因平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，则.又四边形为正方形，则，从而可得，即三角形PBD为等腰三角形.取BD中点为O，则，又平面PAO，平面PAO，则平面PAO，即为二面角的平面角.又平面ABCD，平面ABCD，则.又注意到，故.故选：D10. 设，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，研究其单调性，进而可以比较a，b，c大小.【详解】令，所以时，单调递增，时，单调递减，因为，所以.故选：D.11. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为（ ）A. B. C.

7、D. 【答案】C【解析】【分析】求导可得，令，其中且，利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，可得出实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，令，可得或，不满足等式，可得，其中且，令，其中且，则，当时，且，此时函数单调递减，当时，且，此时函数单调递减，当时，且，此时函数单调递增，所以，函数的极小值为，如下图所示：当时，直线与函数交点的横坐标设为，则，若时，此时，单调递增，若时，此时，单调递减，若时，此时，单调递增，若时，此时，单调递增.故当时，函数有两个极值点，合乎题意；当时，方程在的根为.若时，此时，单调递增，若时，此时，单调递增，当

8、时，此时，单调递增，此时函数无极值点；当时，直线与函数交点的横坐标设为，则，若时，此时，单调递增，若时，此时，单调递减，若时，此时，单调递增，若时，此时，单调递增，此时函数有两个极值点，合乎题意；当时，直线与函数的图象无交点，若时，此时，单调递减，若时，此时，单调递增，若时，此时，单调递增，此时函数只有一个极值点，不合乎题意；当时，直线与函数的图象的公共点的横坐标为，若时，此时，单调递减，若时，此时，单调递增，若时，此时，单调递增，此时函数只有一个极值点，不合乎题意；当时，直线与函数的图象有两个公共点，设这两个公共点的横坐标分别为、，设，则，若时，此时，单调递减，若时，此时，单调递增，若时，此

9、时，单调递增，若时，此时，单调递减，若时，此时，单调递增，此时函数有三个极值点，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数极值点的个数求参数，注意到，本题在考查方程时，要特别注意到时的取值，再求解时还应注意导数为零处的点时导数符号的变化，充分利用极值点的定义来求解.12. 设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，过点作直线的垂线，垂足为点，则点到直线距离的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线方程即可得，直线的方程恒过，再利用可求得点的轨迹是以为圆心，半径的圆，利用圆心到直线的距离即可求得点到直线距离的最大值.【详

10、解】根据题意可，设直线的方程为，；联立直线和抛物线可得；即，由可得，即，又；所以，解得或（舍）即直线的方程为；又，所以直线的方程为，设，则点在直线和上，消去可得，满足，即；所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆（不包括原点）；圆心到直线的距离为；所以点到直线距离的最大值为故选：B二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数是偶函数，则_【答案】-1【解析】【分析】由，列出方程，求出的值.【详解】定义域为R，由得：，因为，所以，故.故答案为：-114. 已知数列满足，则_.【答案】【解析】【分析】由，可得当，时，及.据此可写出数列前5项，继而可得答案.【详解】因.则当，时，与相减得：

11、.又由，则.故，则.故答案为：.15. 已知正四棱锥的侧棱，底面边长为2，则该正四棱锥外接球的表面积为_.【答案】.【解析】【分析】如图，正棱锥的外接球球心O在顶点P与底面对角线交点E的连线上，设外接球半径为R，则.【详解】正四棱锥底面ABCD为正方形，E为对角线交点，则.为正棱锥的高，则.因外接球球心在PE上，设为O，设外接球半径为R，则.则在三角形OEA中，解得.则外接球表面积为.故答案为：.16. 已知双曲线的两个焦点分别为，M是双曲线C渐近线上一点，点N满足，且，则该双曲线的离心率等于_.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，可得四边形为平行四边形，证明，即可求得，结合隐含条件即可求

12、得双曲线的离心率【详解】解：如图，由足，得，关于原点对称，又，关于原点对称，四边形为平行四边形，又，设，则，可得，则，则，即，得，解得：故答案为：【点睛】关键点点睛：求双曲线的离心率关键是找的齐次式，本题中利用平行四边形找出垂直关系，然后利用求得的齐次式，从而求得离心率.三解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（1）求角的大小；（2）若，且上的中线长为，求斜三角形的面积【答案】（1） （2）【解析】【分

13、析】（1）根据正弦定理将已知式子进行化简，再利用余弦定理即可求出角的大小；（2）根据为为上的中线得，结合余弦定理求出，进而求出面积.【小问1详解】因为，所以由正弦定理可得：，即，所以，又，所以，所以.【小问2详解】因为为上的中线，所以，即，所以，即，所以 ，由余弦定理可得：，所以 -得：，所以.18. 随着北京冬奥会的举办，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃.正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年，某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各100人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的，女生中有10人对滑雪运动没有兴趣.（1）完成下面列联表，并判断是否有的

14、把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？（2）按性别用分层抽样的方法从对滑雪运动有兴趣的学生中抽取5人，若从这5人中随机选出2人作为滑雪运动的宣传员，求选出的2人中恰有一位是女生的概率.有兴趣没有兴趣合计男女合计参考公式：，其中.【答案】（1）列联表见，有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关 （2）【解析】【分析】（1）根据已知条件，得出列联表，再根据独立性检验公式，即可求解；（2）根据已知条件，得出抽到的男女生数量，再根据古典概型的概率公式结合列举法或排列组合得出答案.【小问1详解】从某中学随机抽取男生和女生各100人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的，则共有人对滑雪运动有兴趣，

15、则没兴趣的共有人，女生中有10人对滑雪运动没有兴趣，则男生中对滑雪运动没有兴趣的有人，女生中对滑雪运动有兴趣的有人，男生中对滑雪运动没有兴趣的有人，则列联表如下：有兴趣没有兴趣合计男6040100女9010100合计15050200则，有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关.【小问2详解】根据题意，抽到的男生人数为人，女生人数为人，法一：记两名男同学为，三名女同学为，则若从这5人中随机选出2人作为滑雪运动的宣传员，共有：，10种情况，其中中恰有一位是女生的情况有：，6种情况，则其概率为；法二：若从这5人中随机选出2人作为滑雪运动的宣传员，求选出的2人中恰有一位是女生的概率为.19. 已知在

16、直三棱柱中，分别为棱和的中点，若.（1）若，求三棱锥的体积；（2）延长交于点，连接交于点，证明：平面平面；【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）作，证明平面，则；（2）由，可得相似，全等，则，后通过勾股定理逆定理可得，从而可得平面，结合平面NCE，可证得相关命题.【小问1详解】连接，因几何体为直三棱柱，则，又平面，平面，则平面，又，则E到平面距离即为B到平面距离.如图做，因平面ABC，平面ABC，则.又平面，平面，则平面，即BD为点B到平面距离.则，又.故；【小问2详解】由题有，则，得，则，又，由余弦定理，.因，则.又平面，平面，则，平面，平面，则平面，又平面NCE，则平面

17、平面.20. 已知椭圆的右焦点为，若过点的直线与椭圆交于两点，且的中点为.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的右顶点为，点在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，证明：直线经过定点.【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得直线AB斜率，设，则，两式相减后，结合斜率及中点坐标可得，后再结合焦点可得椭圆方程；（2）易知当斜率不存在时，不合题意；当直线MN斜率存在时，设直线为，将直线方程与椭圆方程联立后，结合韦达定理及直线与的斜率之积为，可得k与m间等量关系，后代入验证可得所过定点.【小问1详解】设，则，两式相减得：若，则的中点在坐标轴上，不满足题意，故，所以因，则，得.又，则.

18、故椭圆方程为：.【小问2详解】由（1）可知，.若直线MN与x轴垂直，则M，N关于x轴对称，则此时直线与的斜率互为相反数，与题意不符，故直线MN斜率存在；设直线MN方程为：，将其与椭圆方程联立，消去y得：，.设，则由韦达定理，.又，则，故，可得或.当，此时直线恒过定点，与题意不符；当，此时直线恒过定点，满足题意.综上所述，直线经过定点.【点睛】关键点点睛：本题涉及用点差法求椭圆方程及研究直线的定点，难度较大.对于圆锥曲线中涉及弦中点的题目，常可利用点差法；对于直线过定点问题，常将直线方程设为，后由题目条件及韦达定理得到k与m间等量关系，可求得直线所过定点，但要注意直线斜率不存在的情况.21. 已

19、知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）设函数，当时，若，证明：.【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数可得即切线斜率，又切线过点，据此可得答案；（2）由题，通过研究函数最值情况，可得在R上单调递增，又由，可设.则，故证明当时，即可.小问1详解】当时，则.因，得切线过点，斜率为1.则在处的切线方程为；【小问2详解】由题，当时，则.令，则.令，得在上单调递增；，得在上单调递减.则.则，当且仅当时取等号.得在R上单调递增，而，则不妨设.令，其中.则.令，.则，得上单调递增，则，得在上单调递增，有，即时，.因，则，又，则，又注意到在R上单调递增，则.【点睛】关键点点睛

20、：本题涉及求函数在一点上的切线及双变量问题，难度较大.（1）问较为基础；（2）双变量问题，关键在于消元，本题在得知单调性后，结合，将证明转化为证明:当时，.（二）选考题：共10分.请考生在第2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程为，若为曲线上的动点，将绕点顺时针旋转得到，动点的轨迹为曲线（1）求曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点，射线与曲线，分别交于异于极点的，两点，求的面积【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）假设曲线上的动点的极坐标为，设，即

21、可得到，再由点在上即可求出的轨迹方程；（2）首先求出及点到射线的距离，即可求出的面积.【小问1详解】解：假设曲线上的动点的极坐标为，设，由题意，因为，所以，所以曲线的极坐标方程为.【小问2详解】解：由题意可得，又因为到射线的距离，所以.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由绝对值不等式及一元二次不等式的解法即可求解；（2）分离参数，将原问题转化为恒成立，然后利用零点分段讨论法求出的最小值即可得答案.【小问1详解】不等式，即为不等式，所以，即，即，解得，所以不等式的解集为；【小问2详解】关于的不等式恒成立，即为关于的不等式恒成立，即恒成立，令，则，当时，当时，当时，当时，所以的最小值为2，所以，即，所以实数m的取值范围为