《导数与微分》PPT课件.ppt

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1、第四节： 高阶导数 一、高阶导数的定义 问题 :变速直线运动的加速度 . ),( tfs 设 )()( tftv 则瞬时速度为 的变化率对时间是速度加速度 tva .)()()( tftvta 定义 .)()(, )()( lim)( ,)()( 0 处的二阶导数在点为函数则称存在 即处可导在点的导数如果函数 xxfxf x xfxxf xf xxfxf x 记作 .)(,),( 2 2 2 2 dx xfd dx ydyxf 或 记作阶导数的函数 阶导数的导数称为的函数一般地 ,)( 1)(, nxf nxf .)(,),( )()( n n n n nn dx xfd dx ydyxf 或

2、 三阶导数的导数称为四阶导数 , 二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数 . .)(;)(, 称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf .,),( 3 3 dx ydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数 , .,),( 4 4 )4()4( dx ydyxf 二、 高阶导数求法举例 例 1 ).0(),0(,a r c t a n ffxy 求设 解 21 1xy )1 1( 2 xy 22 )1( 2xx )1( 2( 22 x xy 32 2 )1( )13(2 x x 022 )1( 2)0( xx xf 032 2 )1( )13(2)0( xx xf;0 .2 1.直接法 : 由高阶导数

3、的定义逐步求高阶导数 . 例 2 .),( )( nyRxy 求设 解 1 xy )( 1 xy 2)1( x 3)2)(1( x)1( 2 xy )1()1()1()( nxny nn 则为自然数若 ,n )()( )( nnn xy ,!n )!()1( ny n .0 例 3 .),1l n ( )( nyxy 求设 解 注意 : xy 1 1 2)1( 1 xy 3)1( !2 xy 4 )4( )1( !3 xy )1!0,1()1( )!1()1( 1)( nxny nnn 求 n阶导数时 ,求出 1-3或 4阶后 ,不要急于合并 , 分析结果的规律性 ,写出 n阶导数 .(数学归

4、纳法证明 ) 例 4 .,s i n )( nyxy 求设 解 xy c o s )2s in ( x )2c o s ( xy )22s i n( x )22s i n( x )22c o s ( xy ) 23s i n( x )2s i n ()( nxy n )2c o s ()( c o s )( nxx n同理可得 例 5 .),(s i n )( nax ybabxey 求为常数设 解 bxbebxaey axax c o ss i n )c o ss i n( bxbbxae ax )a r c t a n()s i n(22 abbxbae ax )c o s ()s i n

5、 (22 bxbebxaebay axax )2s i n(2222 bxbaeba ax )s i n()( 222)( nbxebay axnn )a r c t a n( ab 2. 高阶导数的运算法则 : 则阶导数具有和设函数 ,nvu )()()()()1( nnn vuvu )()()()2( nn CuCu )()( 0 )()()( )2()1()()( ! )1()1( !2 )1( )()3( kkn n k k n nkkn nnnn vuC uvvu k knnn vu nn vnuvuvu 莱布尼兹公式 例 6 ., )20(22 yexy x 求设 解 则由莱布尼兹

6、公式知设 , 22 xveu x 0)()( !2 )120(20 )()(20)( 2)18(2 2)19(22)20(2)20( xe xexey x xx 22 !2 1920 22202 218 2192220 x xx e xexe )9520(2 2220 xxe x 3.间接法 : 常用高阶导数公式 nn xnx )1()1()()4( )( n nn x nx )!1()1()( l n)5( 1)( )2s i n()( s i n)2( )( nkxkkx nn )2c o s ()( c o s)3( )( nkxkkx nn )0(ln)()1( )( aaaa nxn

7、x xnx ee )()( 利用已知的高阶导数公式 , 通过四则 1 )( !)1()1( n nn x n x 运算 , 变量代换等方法 , 求出 n阶导数 . 例 7 ., 1 1 )5( 2 yxy 求设 解 )1111(21112 xxxy )1( !5)1( !521 66)5( xxy )1( 1)1( 160 66 xx 例 8 .,c o ss in )(66 nyxxy 求设 解 3232 )( c o s)( s i n xxy )c o sc o ss i n) ( s i nc o s( s i n 422422 xxxxxx xxxx 22222 c o ss i n

8、3)c o s( s i n x2s in431 2 2 4c o s1431 x x4co s8385 ).24c o s (483)( nxy nn 三、小结 高阶导数的定义及物理意义 ; 高阶导数的运算法则 (莱布尼兹公式 ); n阶导数的求法 ; 1.直接法 ; 2.间接法 . 思考题 设 连续，且 ， )(xg )()()( 2 xgaxxf 求 . )(af 思考题解答 )(xg 可导 )()()()(2)( 2 xgaxxgaxxf )( xg 不一定存在 故用定义求 )(af )(af ax afxfax )()(li m 0)( af ax xf ax )(lim )()()

9、(2l i m xgaxxgax )(2 ag 一、 填空题： 1 、 设 t e t y s in 则 y =_ _ _ _ _ _ . 2 、 设 xy t a n , 则 y = _ _ _ _ _ _. 3 、 设 xxy a rct a n)1( 2 ，则 y = _ _ _ _ _ . 4 、 设 2 x xey , 则 y = _ _ _ _ _ _. 5 、 设 )( 2 xfy , )( xf 存在，则 y = _ _ _ _ _ . 6 、 设 6 )10()( xxf , 则 )2(f =_ _ _ _ _ _. 7 、 设 nn nnn axaxaxax 1 2 2 1

10、 1 ( n aaa , 21 都是常数 ) ，则 )( n y = _ _ _ _ _ _ . 8 、设 )()2)(1()( nxxxxxf , 则 )( )1( xf n = _ _ _ _ _ _ _ . 练 习 题 二、 求下列函数的二阶导数： 1 、 x xx y 42 3 ； 2 、 xxy lnc o s 2 ； 3 、 )1ln( 2 xxy . 三、 试从 ydy dx 1 ，导出： 1 、 32 2 )( y y dy xd ； 2 、 5 2 3 3 )( )(3 y yyy dy xd . 四、验证函数 xx ececy 21 ( , 1c , 2c 是常数） 满足关

11、系式 02 yy . 五、 下列函数的 n 阶导数： 1 、 xey x c o s ； 2 、 x x y 1 1 ； 3 、 23 2 3 xx x y ; 4 、 xxxy 3s i n2s i ns i n . 一、 1 、 te t c os2 ； 2 、 xx t ans e c2 2 ； 3 、 2 1 2 a rc t a n2 x x x ； 4 、 )23(2 2 2 xxe x ； 5 、 )(4)(2 222 xfxxf ； 6 、 20 736 0 ； 7 、 !n ； 8 、 )!1( n . 二、 1 、 3 2 5 8 4 3 4 xx ； 2 、 2 2 co

12、s2s i n2 ln2cos2 x x x x xx ； 3 、 2 3 2 )1( x x . 练习题答案 五 、 1 、 ) 4 c os ()2( nxe xn ； 2 、 1 )1( !2 )1( n n x n ； 3 、 )2(, )1( 1 )2( 8 !)1( 11 n xx n nn n ； 4 、 ) 2 2si n (2 4 1 n x n + ) 2 6si n (6) 2 4si n (4 n x n x nn . 7 、 22 )( ar c c os12 xx ； 8 、 )1(2)1( 1 xxx . 三、 )()( )()()()( 22 xgxf xgxg

13、xfxf . 第五节： 隐函数及参数方程求导 一、隐函数的导数 定义 : .)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy .)( 形式称为显函数xfy 0),( yxF )( xfy 隐函数的显化 问题 :隐函数不易显化或不能显化如何求导 ? 隐函数求导法则 : 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 . 例 1 ., 0 0 x yx dx dy dx dy y eexy 的导数 所确定的隐函数求由方程 解 ,求导方程两边对 x 0 dxdyeedxdyxy yx 解得 ,y x ex ye dx dy ,0,0 yx由原方程知 0 00 y xy x x ex ye dx dy .1 例 2

14、. ,) 2 3 , 2 3 ( ,3 33 线通过原点 在该点的法并证明曲线的切线方程点 上求过的方程为设曲线 C CxyyxC 解 ,求导方程两边对 x yxyyyx 3333 22 )23,23(2 2 )23,23( xy xyy .1 所求切线方程为 )23(23 xy .03 yx即 2 3 2 3 xy法线方程为 ,xy 即 显然通过原点 . 例 3 .)1,0(,144 处的值在点求设 yyxyx 解 求导得方程两边对 x )1(044 33 yyyxyx 得代入 1,0 yx ;4110 yxy 求导得两边再对将方程 x)1( 04)(12212 3222 yyyyyxyx

15、得41 10 yx y ,1,0 yx代入 .161 10 yx y 二、对数求导法 观察函数 .,)4( 1)1( s i n2 3 x x xyex xxy 方法 : 先在方程两边取对数 , 然后利用隐函数的求导 方法求出导数 . -对数求导法 适用范围 : .)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu 例 4 解 142)1(3 111)4( 1)1( 2 3 xxxex xxy x 等式两边取对数得 xxxxy )4l n(2)1l n(31)1l n(ln 求导得上式两边对 x 142)1(3 111 xxxyy .,)4( 1)1( 2 3 yex xxy x 求设 例 5

16、 解 .),0(s i n yxxy x 求设 等式两边取对数得 xxy lns i nln 求导得上式两边对 x xxxxyy 1s i nlnc o s1 )1s i nln( c o s xxxxyy )s i nln( c o ss i n x xxxx x 一般地 )0)()()( )( xuxuxf xv )()(1)(ln xfdxdxfxfdxd 又 )(ln)()( xfdxdxfxf )( )()()(ln)()()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv )(ln)()(ln xuxvxf 三、由参数方程所确定的函数的导数 . , )( )( 定的函数称此为由参数方

17、程所确 间的函数关系与确定若参数方程 xy ty tx 例如 , ,2 2ty tx 2 xt 22 ) 2( xty 4 2x xy 21 消去参数 问题 : 消参困难或无法消参如何求导 ? t ),()( 1 xttx 具有单调连续的反函数设函数 )( 1 xy ,0)(,)(),( ttytx 且都可导再设函数 由复合函数及反函数的求导法则得 dx dt dt dy dx dy dt dxdt dy 1 )( )( t t dt dx dt dy dx dy 即 ,)( )( 中在方程 ty tx ,)( )( 二阶可导若函数 ty tx )(2 2 dx dy dx d dx yd d

18、x dt t t dt d ) )( )( )( 1 )( )()()()( 2 tt tttt .)( )()()()( 32 2 t tttt dx yd 即 例 6 解 dt dx dt dy dx dy t t c o s1 s in taa ta c o s s in 2 c o s1 2 s i n 2 tdx dy .1 .方程 处的切线在求摆线 2)c o s1( )s i n( t tay ttax .),12(,2 ayaxt 时当 所求切线方程为 )12( axay )22( axy即 例 8 解 . s i n c o s 3 3 表示的函数的二阶导数求由方程 tay

19、tax dt dx dt dy dx dy )s i n(c o s3 c o ss i n3 2 2 tta tta tta n )(2 2 dx dy dx d dx yd )c o s( )t a n( 3 ta t tta t s i nc o s3 s e c 2 2 ta t s in3 s e c 4 四、相关变化率 . , , ,)()( 变化率称为相关变化率 这样两个相互依赖的之间也存在一定关系 与从而它们的变化率之间存在某种关系 与而变量都是可导函数及设 dt dy dt dx y xtyytxx 相关变化率问题 : 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率 ? 五、小结

20、隐函数求导法则 : 直接对方程两边求导 ; 对数求导法 : 对方程两边取对数 ,按隐函数的求 导法则求导 ; 参数方程求导 : 实质上是利用复合函数求导法则 ; 相关变化率 : 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率 ; 解法 : 通过建立两者之间的关系 , 用链 式求导法求解 . 思考题 设 )( )( ty tx ，由 )( )( t t y x )0)( t 可知 )( )( t t y x ，对吗？ 思考题解答 不对 xx ydxdy dxdtdtyd x )(1)( )( ttt t 一、 填空题： 1 、 设 01552 223 yxyyxx 确定了 y 是 x 的函 数，则 )1

21、,1( dx dy =_ _ ， 2 2 dx yd _ _ _. 2 、 曲线 7 33 xyyx 在点 （ 1 ， 2 ）处的切线方程 是 _ _. 3 、 曲线 tty ttx s i n c os 在 2 t 处的法线方程 _ _ _. 4 、 已知 tey tex t t s i n c os , 则 dx dy =_ ； 3 t dx dy =_ _ _ . 5 、 设 yx exy , 则 dx dy =_ _ _ _ . 练 习 题 二、 求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数 2 2 dx yd ： 1 、 yxey 1 ； 2 、 )ta n ( yxy ； 3 、 yx

22、 xy )00( yx ， . 三、 用对数求导法则求下列函数的导数： 1 、 2xxy ； 2 、 5 4 )1( )3(2 x xx y ； 3 、 xexxy 1s in. 四、 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 2 2 dx yd ： 1 、 tby tax s i n c os ； 2 、 )()( )( tftfty tfx 设 )( tf 存在且不为零 . 五、 求由参数方程 tty tx ar c t an )1l n ( 2 所确定的函数的 三阶导数 3 3 dx yd . 六、设 )( xf 满足 xx fxf 3 ) 1 (2)( ，求 )( xf . 一、 1 、

23、3 4 , 5210 )(1020846 2 2 xxy yxyyyxxyx ； 2 、 02311 yx 3 、 0 22 yx ； 4 、 32, s i nc os c oss i n tt tt ； 5 、 yx yx ex ye . 二、 1 、 3 2 )2( )3( y ye y ； 2 、 - )(t a n)(cs c2 32 yxcyx ； 3 、 3 22 )1( l n )1( l n)1( l n yxy xxyy . 练习题答案 三、 1 、 )1ln2( 1 2 xx x ； 2 、 1 5 3 4 )2(2 1 )1( )3(2 5 4 xxxx xx ； 3

24、、 )1(2 c ot 1 1s in 2 1 x x x e e x x exx . 四、 1 、 ta b 32 s in ； 2 、 )( 1 tf . 五、 3 4 8 1 t t . 六、 2 1 2 x . 第七节： 函数的微分 一、问题的提出 实例 :正方形金属薄片受热后面积的改变量 . 20 xA 0 x 0 x ,00 xxx 变到设边长由 ,20 xA 正方形面积 2020 )( xxxA .)(2 20 xxx )1( )2( ;, 的主要部分且为的线性函数 Ax ., 很小时可忽略当的高阶无穷小 xx :)1( :)2( x x 2)( x xx 0 xx 0 再例如

25、, ., 0 3 yx xxy 求函数的改变量时为 处的改变量在点设函数 3030 )( xxxy .)()(33 32020 xxxxx )1( )2( ,很小时当 x .3 20 xxy ),()2( xox 的高阶无穷小是 既容易计算又是较好的近似值 问题 :这个线性函数 (改变量的主要部分 )是否 所有函数的改变量都有 ?它是什么 ?如何求 ? 二、微分的定义 定义 .),( ,)( ,)( ),( )()()( , ,)( 00 0 0 0 00 00 xAdyxdfdy xxxfy xAxxfy xA xoxAxfxxfy xxx xfy xxxx 即或记作 的微分相应于自变量增量

26、在点 为函数并且称可微在点 则称函数无关的常数是与其中成立 如果在这区间内及 在某区间内有定义设函数 .的线性主部叫做函数增量微分 ydy (微分的实质 ) 由定义知 : ;)1( 的线性函数是自变量的改变量 xdy ;)()2( 高阶无穷小是比 xxodyy ;,0)3( 是等价无穷小与时当 ydyA dy y xA xo )(1 ).0(1 x ;)(,)4( 0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA ).(,)5( 线性主部很小时当 dyyx 三、可微的条件 ).(,)( )( 00 0 xfAxxf xxf 且处可导在点数 可微的充要条件是函在点函数定理 证 (1) 必要性 ,)( 0

27、 可微在点 xxf ),( xoxAy ,)( xxoAxy x xoA x y xx )(limlim 00则 .A ).(,)( 00 xfAxxf 且可导在点即函数 (2) 充分性 ),()( 0 xxxfy 从而 ,)( 0 xfxy即 ,)( 0 可导在点函数 xxf ),(lim 00 xfxyx ),0(0 x ),()( 0 xoxxf .)(,)( 00 Axfxxf 且可微在点函数 ).(. 0 xfA 可微可导 .)(),(, ,)( xxfdyxdfdy xxfy 即或记作微分 称为函数的的微分在任意点函数 例 1 解 .02.0,23 时的微分当求函数 xxxy xx

28、dy )( 3 .3 2 x 02.0 2 2 02.0 2 3 x x x x xxdy .24.0 ., , xdxdx xx 即记作 称为自变量的微分的增量通常把自变量 .)( dxxfdy ).( xfdxdy . 微商导数也叫该函数的导数 之商等于与自变量的微分即函数的微分 dxdy 四、微分的几何意义 )(xfy 0 x M N T dy y )( xo ） x y o x 几何意义 :(如图 ) . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 是曲线的纵当 dy y xx 0 P . , MNMP Mx 可近似代替曲线段切线段 的附近在点很小时当 五、微分的求法 dxxfdy )

29、( 求法 : 计算函数的导数 , 乘以自变量的微分 . 1.基本初等函数的微分公式 xdxxxdxdxxxd xdxxdxdxxd xdxxdxdxxd dxxxdCd c o tc s c)( c s ct a nsec)( s e c c s c)( c o tsec)( t a n s i n)( c o sc o s)( s i n )(0)( 22 1 dx x xddx x xd dx x xddx x xd dx x xddx ax xd dxeeda d xaad a xxxx 22 22 1 1 )c o t( 1 1 )( a r c t a n 1 1 )( a r c

30、c o s 1 1 )( a r c s i n 1 )( l n ln 1 )( l o g )(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则 2)()( )()( v ud vv d u v u dud vv d uuvd C d uCuddvduvud arc 例 2 解 .),l n ( 2 dyexy x 求设 ,21 2 2 x x ex xey .21 2 2 dx ex xedy x x 例 3 解 .,c o s31 dyxey x 求设 )( c o s)(c o s 3131 xdeedxdy xx .s i n)( c o s,3)( 3131 xxee xx dxxe

31、dxexdy xx )s i n()3(c o s 3131 .)s i nc o s3(31 dxxxe x 例 4 解 .,s i n dybxey ax 求设 )(s i n)(c o s axdebxbxb x dedy axax dxaebxb d xbxe axax )(s i nc o s .)s i nc o s( dxbxabxbe ax 例 3 解 .),12s i n ( dyxy 求设 .12,s i n xuuy u d udy c o s )12()12c o s ( xdx dxx 2)12c o s ( .)12c o s (2 dxx 例 5 解 在下列等式左

32、端的括号中填入适当的函数 ,使 等式成立 . ).()()( s i n)2(;c o s)()1( 2 xdxdt d td ,c o s)( s i n)1( td ttd )( s i n1c o s tdtd t .c o s)s i n1( td tCtd );s i n1( td dx x dxxx xd xd 2 1 c o s2 )( )( s i n)2( 22 ,co s4 2xxx ).()c o s4()( s i n 22 xdxxxxd 小结 微分学所要解决的两类问题 : 函数的变化率问题 函数的增量问题 微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法 ,叫做 微分法

33、. 研究微分法与导数理论及其应用的科学 ,叫 做 微分学 . 导数与微分的联系 : .可微可导 导数与微分的区别 : ., ,)( ),()(.1 000 00 它是无穷小实际上的定义域是 它的线性函数是而微分 处的导数是一个定数在点函数 R xxxxxfdy xfxxf )(l i ml i m 00 00 xxxfdy xxxx .0 . )(,()()( )(,)(,( )()(,.2 0 000 000 0 的纵坐标增量线方程在点 处的切在点是曲线 而微分处切线的斜率点 在是曲线从几何意义上来看 x xfxxfyxx xfdyxfx xfyxf 思考题 因为一元函数 )( xfy 在

34、0 x 的可微性与 可导性是等价的，所以有人说 “微分就是导 数，导数就是微分”，这说法对吗？ 思考题解答 说法不对 . 从概念上讲，微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的，导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限，它们是完全不同的概念 . 一、 填空题： 1 、 已知函数 2 )( xxf 在点 x 处的自变量的增量 为 0.2 ，对应的函数增量的线性全部是 dy =0.8 ，那么 自变量 x 的始值为 _. 2 、 微分的几何意义是 _. 3 、 若 )( xfy 是可微函数，则当 0 x 时， dyy 是关于 x 的 _ 无穷小 . 4 、 xdxd s in_

35、_ _ _ . 5 、 dxed x2 _ . 6 、 x d xd 3s e c_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 . 7 、 x exy 22 , _ 22 dxdedy x . 8 、 _ _ _ _ _ _) 2 ( ar c t an 2 x e d dxde x _ . 练 习 题 二、 求下列函数的微分： 1 、 1 2 x x y ； 2 、 2 )1 ln ( xy ； 3 、 2 1a r c s in xy ； 4 、 2 2 1 1 ar c t a n x x y ； 5 、 xey x 3co s 3 ，求 3 x dy ； 6 、求由方程 22 )c o

36、s ( yxxy 所确定的 y 微分 . 一、 1 、 - 2 ； 2 、曲线的切线上点的纵坐标的相应增量； 3 、高阶； 4 、 Cx c os 1 ； 5 、 Ce x 2 2 1 ； 6 、 Cx 3t an 3 1 ； 7 、 x ex 22 , ； 8 、 x x x x e e e e 4 2 4 2 22 , 2 22 . 二、 1 、 dxx 2 3 2 )1( ； 2 、 dx x x 1 )1l n (2 ； 练习题答案 3 、 10, 1 01, 1 2 2 x x dx x x dx dy ； 4 、 dx x x 4 1 2 ； 5 、 dx3 ； 6 、 dx x

37、y . 六、微分在近似计算中的应用 一、计算函数增量的近似值 , ,0)()( 00 很小时 且处的导数在点若 x xfxxfy 例 1 ?,05.0 ,10 问面积增大了多少厘米 半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径 解 ,2rA 设 .05.0,10 厘米厘米 rr rrdAA 2 05.0102 ).( 2厘米 .)( 0 xxf 00 xxxx dyy 二、计算函数的近似值 ;)(.1 0 附近的近似值在点求 xxxf )()( 00 xfxxfy .)( 0 xxf .)()()( 000 xxfxfxxf )( 很小时x 例 1 .0360c o s o 的近似值计算 解 ,c o

38、s)( xxf 设 )(,s in)( 为弧度xxxf ,3 6 0,30 xx .2 3)3(,21)3( ff )3 6 03c o s (0360c o s o 3603s i n3c o s 3602 3 2 1 .4924.0 ;0)(.2 附近的近似值在点求 xxf .)0()0()( xffxf ,)()()( 000 xxfxfxxf .,00 xxx 令 常用近似公式 )( 很小时x .)1l n ()5( ;1)4();(ta n)3( );(s in)2(; 1 11)1( xx xexxx xxxx n x x n 为弧度 为弧度 证明 ,1)()1( n xxf 设 ,)1(1)( 11 nx nxf .1)0(,1)0( nff xffxf )0()0()( .1 nx 例 2 .计算下列各数的近似值 解 .)2(;5.998)1( 03.03 e 33 5.110005.998)1( 3 ) 1 0 0 0 5.11(1 0 0 0 3 0015.0110 )0015.0311(10 .995.9 03.01)2( 03.0 e .97.0 小结 近似计算的基本公式 .)0()0()( xffxf 00 xxxx dyy .)( 0 xxf ),()()()( 000 xxxfxfxf ,很小时当 x ,0时当 x