代数式求值方法

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1、点击代数式求值措施运用已知条件，求代数式的值是数学学习的重要内容之一。它除了按常规代入求值法,还要根据题目的特点,灵活运用恰当的措施和技巧，才干达到预期的目的。下面举数例简介常用的几种措施和技巧。一、常值代换求值法常值代换法是指将待求的代数式中的常数用已知条件中的代数式来代换，然后通过计算或化简，求得代数式的值。例1 已知a=1,求的值解 把a=代入,得 = =评注 将待求的代数式中的常数1，用a代入是解决该问题的技巧。而运用分式的基本性质及运用法则，对代入后所得的代数式进行化简是解决该问题的保证。二、运用“非负数的性质”求值法该法是指运用“若几种非负数的和为零,则每一种非负数应为零”来拟定代

2、数式中的字母的值,从而达到求代数式的值的一种措施。例2 若实数、b满足2b2+a2+b2a=,求之值。解 a2b+2b24b(a2b2-2b+1）（a2-2bb2)=（ab-1）2+(-b)则有（b1)2(-b）2=解得 当a=1，=时，=1+1=2当a=-,b=-时,=1+1= 评注 根据已知条件提供的有价信息,对其进行恰当的分组分解,达到变形为几种非负数的和为零,这一新的“式构造”是解决本题的有效方略,解决本题要注意分类讨论的措施的运用。三、整体代入求值法整体代入法是将已条件不作任何变换变形,把它作为一种整体,代入到通过变形的待求的代数式中去求值的一种措施。例 若x2+x+1=0,试求4+

3、2+x+的值。解 4+x2+x+= x-x+xx+1(x1）(x2+x+1)(x2+）+又x2+x=0x4+x2=1评注 +x+1=0 x不是实数，那么通过求出的值，再求代数式x4+x2+x+之值,显然枉然无望。对求值的代数式进行合适的变形,将已知条件整体代入到求值的代数式中去，是解决本题的措施又是解决本题的技巧。四、因式分解求值法因式分解法求代数式的值是指将已知条件和求值的代数式之一或所有进行因式分解,达到求出代数式的值的一种措施。例4 已知|b|=|+1， 求ab之值解 |a|+b|b|+1a|b-|a|-|b|1=(|-1)（|b|-1)=0|=1 |=11或b=1.则当a=1,=1时,

4、a+b2当a=1，b-1时，ab=0当a=1,b=1时，a+b=0当=-1，b-1时,+评注 运用该法一般有两种途径求值,一是将已知条件变形为一边为0，另一边能分解成几种因式的积的形式，运用“若AB=0,则A0或=0”的思想来解决问题。另一种途径是看待求的代数式进行因式分解，分解成具有已知条件的代数式,然后再将已知条件代入求值。五、运用倒数求值法倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形,从而达到求出代数式的值的一种措施。例5 已知，求的值。解 由已知，得 因此,则评注采用此法要注意先对已知部分和求值的代数式进行化简变形，后再作选择。像本题先看待求的代数式进行化简得到成果为,根据这样一种“式

5、构造”，再观测已知条件的“式构造”，显然想到，将已知条件采用倒数变形,用“化部分商”的措施,求出的值代入。六、分解质因数求值法此法是将有关信息进行分解重组,运用质因数的特有的性质，求出代数式中所含字母的值,从而达到求出代数式的值的一种措施。例6 已知m、n为正整数,且2+92+2+m2n,求2mn的值。解 n=m2+167(n-)(+m)=1167又m、n为正整数,16是质数 当m=83，n=84时,m-n83-8482评注 m、n为正整数，6是质数，是由“（-m）(m）=167得到nm且m+167”这一结论的重要保证,离开了这一条件,则m、n之值难以拟定，那么代数式2m的值就无法求出。七、比

6、值求值法比值求值法是指已知条件中档式的个数少于所含字母的个数时,通过方程(组)将已知条件中所含字母的比值求出,从而求出代数式的值。例7 设ac0,2a-3b+4c=0（c),求的值。解 把已知等式看作有关a，的方程组c0 ：:c=:2：1设ak，则b=2k , c=k.=-评注 该法适合于求值的分式中的分子和分母的都具有相似的次数（齐次）的多项式。否则即是将求值的代数式中的字母的比值求出来,也不能达到求出代数式的值的目的。八、用字母表达数求值法字母表达 数求代数式就是将已知条件或求值的代数式中某些较复杂的部分用字母来表达，再通过计算或化简,从而求出代数式的值。例8 设a= -求a-1之值解 设

7、A则 =A(1)=-1=-1=0评注 我们用字母A来替代已知条件中的这种思想称之为“用字母表达数”的思想,它是一种重要的数学思想措施，是我们学习好数学的灵魂。对于遇到既复杂又反复浮现的较大块模(指数或式),可考虑使用该种措施来解决问题。九、“”求值法“”法是指将已知条件中的某一参数作为变量,其他参数作为常量,构出一种一元二次方程，由二次方程必有实根得出，从而求出代数式的值。例9 设a、b、d都是不为零的实数,且满足(a2b)d2+b+c=(a+c)d，求-a的值。解 将已知等式整顿成有关d的二次方程(a+2）d-2b(a+c)d(b+c）=0=4b2(ac)2-(a2b2) （b+c） -4(

8、2-ac)2d是实数,即(bac)20 则bac=0 评析解决该题的绝妙之处是通过构造浮现-(b2a）20这样一种数学式子，运用该法一定要浮现“若一种非正数不小于0，则这个非正数必为零”这样一种结论,否则，不能运用该法拟定有关参数的数值。十、运用韦达定理逆定理求值法运用韦达定理求代数式的值是将已知条件中式构造转化为两数之和,两数积的形式，根据它构造出一元二次方程，求出代数式的值。例0 已知、b、c为实数且a+b=5c2bb-，求a+b之值。解 a+b=5 c2=ab-9则，a+为t26t+c2+90两根,b为实数 b,a1为实数,则t-6c9=0有实根=36-4（c2+9)= 4c20 c=0

9、则abc5=5 评注 运用该法一定要注意将已知条件转化成两数之积及二数之和这一形式,从而达到构造一元二次方程的目的。思考:若a27a-50,b-b-=0，求之值,思考如何构造。十一、配偶求值法配偶法是指将一种不是轮换对称式的式子通过配对变形，将之变换成轮换对称式，从而达到求值的目的的一种措施。例11 已知2-x-0的两根为a、b，求之值。 解 根据题意有 设y=,则有y，即y2+3y+=，=评注 本题若将x的值通过解一元二次方程求出来,再求的值，实在较复杂麻烦。但规定的代数式是有关两根的非轮换对称式的值,由于根据根与系数的关系，只能求出有关两根的轮换对称式的值,因此，想到必须将两根的“非轮换对

10、称式”通过配偶成“轮换对称式”来解决问题。显然采用这种措施有相称大的技巧性,我们在解题过程中要注意体会积累,内化为数学素养。 十二、数形结合求值法 数形结合求值是指根据题目中的数或形的意义,运用“式构造”和“形构造”的特性及互相转化,达到求值的一种措施。 例12 如图,数轴上表达1、的相应点分别为A、B，点B有关点A的对称点为C,设点C所示的数为x，求x+的值。 C A B -1 0 x 1 解 根据题意,得A=-1,=B AC=1 则-(1)=2- 故x+=2-评注 运用数形结合的思想求代数式的值,核心的是要根据“图形”或“代数式”所提供的信息，揭示“数”与“形”之间的规律,架设“数”与“形”之间的桥梁，谋求“数”与“形”的辩证统一。十三、赋值求值法赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己拟定，从而，求出所提供的代数式的值的一种措施。例3 自取一组a、b的值，求代数式的值。解 a+b当2,b=1时原代数式的值=12=3 评注 解此类问题的措施一般是先化简所求值的代数式，然后给化简后的代数式中字母赋值，求出代数式的值,所要注意的是字母的取值，一定要使原代数式故意义，例如本例中要注意a、b的取值满足a且a-b的条件,还要注意字母所取的值便于计算。