弹性力学大纲

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1、弹性力学及有限单元法复习提纲1. 材料力学和弹性力学在所研究的内容上有哪些共同点和哪些不同点？求解问题的方法上 有何主要区别？研究对象的不同：材料力学，基本上只研究杆状构件，也就是长度远远大于高度和宽度的构 件。非杆状结构则在弹性力学里研究研究方法的不同：材料力学大都引用一些关于构件的 形变状态或应力分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性力学研究杆状结构一般不必引 用那些假定，得到的结果比较精确。2. 什么是弹性，什么是塑性？弹性力学有哪几条基本假设？弹性：指物体在外力作用下发生变形，当外力撤出后变形能够恢复的性质。塑性：指物体 在外力作用下发生变形，当外力撤出后变形不能够完全恢复的性质。基

2、本假设：（1）连 续性，（2）完全弹性，（3）均匀性，（4）各向同性，（5）假定位移和形变是微小的3. 弹性力学的平衡微分方程是根据什么条件推导出来的？其物理意义是什么？由材料连续性和各向同性的假定，根据平衡条件可导出；表示区域内任一点的微分体的平 衡条件。4. 为什么要引入弹性力学的几何方程？几何方程是如何推导出来的？其物理意义是什么？ 因为平衡微分方程有两个方程，三个未知量，这就确定了应力分量问题是超静定的，要考虑 几何学和物理学的条件（边界条件）来解答；它是假定弹性体受力后，弹性体的点发生移动 而推导出来的；表示弹性体受力后的线应变和切应变。5. 什么是物理方程？其表达式如何？物理意义是

3、什么？平面应力问题的物理方程：（在平面应力问题中的物理方程中将E换为，换为就得到平面 应变问题的物理方程）表示理想弹性体中形变分量与应力，应变分量之间的关系6. 什么是平面应力？平面应变？平面应力和平面应变的差别在哪些地方？所需要求解的 问题，差别又在何处？如何推导出相应的物理方程？平面应力问题:设所研究的物体为等厚度的薄板，在z方向不受力，外力沿z方向无变化， 可以认为在整个薄板里任何一点都有：=0 ,=0,=0,注意到剪应力互等关系，可知=0,=0,这样只 剩下平行于xy面的三个应力分量，即，它们是x和y的函数，不随z而变化平面应变 问题：设有很长的柱形体，以任一横截面为xy面，任一纵线为

4、z轴，所受的荷载都垂直 于z轴且沿z方向没有变化，则所有一切应力分量，变形分量和位移分量都不沿z方向 变化，而只是x和y的函数，如果近似的认为柱形体的两端受到平面的约束，使之在z方 向无位移，则任何一个横截面在z方向都没有位移，所有变形都发生在xy面里。两问题 正好相反；由理想弹性体中形变分量与应力、应变分量之间的关系可推导出平面应力问题 的物理方程；把平面应力问题的物理方程中E换为7. 弹性力学问题的基本方程有哪几组？平面问题的平衡微分方程：平面问题的几何方程：平面应力问题的物理方程：（在平面 应力问题中的物理方程中将E换为（2）空间问题的平衡微分方程；空间问题的几何方程； 空间问题的物理方

5、程：，换为就得到平面应变问题的物理方程），换为则可得平面应变的 物理方程。8. 什么是应力边界条件？位移边界条件？混合边界条件？结构体表面上可能全部地给定应力，称应力边界条件；或全部地给定位移，称为位移边界条 件；或部分给定应力，部分给定位移，称为混合边界条件。9. 什么是按照应力求解和按照位移求解？求解方法和过程有哪些区别？（1）位移法是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量， 导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，解出位移分量，然后再求形变分量和应力分量。 要使得位移分量在区域里满足微分方程，并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件。（2）应力法是以应力分量为

6、基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移分量和形变分量， 导出只含应力分量的方程和边界条件，解出应力分量，然后再求出形变分量和位移分量。满 足区域里的平衡微分方程，区域里的相容方程，在边界上的应力边界条件，其中假设只求解 全部为应力边界条件的问题。10. 什么是相容方程？相容方程的物理意义是什么？意义：应力不能任取，不满足相容方程，则解答不正确，及弹性力学不解决破坏问题。11. 什么是应力函数？双谐方程？如何推导出双谐方程？试写出双谐方程的数学表达式。 称为平面问题的应力函数。力函数应满足的条件推导得出。是用应力函数表示的相容方程， 也称双谐方程；12. 应力函数与应力分量间有什么样的关系？如

7、何求解双谐方程？；逆解法和半逆解法。 的具体表达式；在按式）由应力函数求的应力分量；并考察这些应力分量能否满足全部应力 边界条件。13. 什么是圣文南原理？在弹性力学中有何意义？圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主 矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所 受的影响可以不计。意义：简化局部边界上的应力边界条件（作用：1，将次要边界上复杂 的面力作分布的面力代替；2,将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。）14. 什么是主要边界？次要边界？为什么主要边界上的边界条件必须完全满足，次要边界条 件才能使用圣文南

8、原理？主要边界：占弹性体边界的大部分的边界；次要边界:占弹性体很小部分的边界;若主要边 界上应用圣维南原理，则会对结果有很大影响，所以必须完全满足，而次要边界条件使用圣 维南原理可以简化问题。15. 什么是逆解法？半逆解法？逆解法：就是先设定各种形式的，满足相容方程的应力函数的，并由式求的应力分量；然 后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力， 从而得知所选取的应力函数可以解决的问题。半逆解法：就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全 部应力分量的函数形式;并从而推出应力函数的形式;然后代入相容方程，求出应力函数件； 也可能在部

9、分边界上给定应力，部分边界上给定位移，称混合边界条件。16. 由直角坐标下的多项式解可以获得哪些有意义的弹性力学解？如何计算应力、应变和位移？ 17.由弹性力学所获得的受分布荷载的简支梁以及受纯弯曲的简支梁的解答，与材料 力学所得 到的解答有哪些共同之处和哪些不同之处？由此可以说明哪些问题？在弯应力 的表达式中，第一项是主要项，和材料力学的解答相同，第二项则是弹性力学提出的修正 项，对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计，对于较深的梁，则必须注意修正项。弹性 力学和材料力学解答的差别，是由于各自的解法不同。简而言之，弹性力学的解答是严格 考虑区域内的平衡微分方程，几何方程，物理方程，以及在边界上

10、的边界条件而求解的，因 而得出的解答是较精确的。而在材料力学的解法中，没严格考虑上述条件，因而得出的解 答时近似的。一般来说，材料力学的解法只适用解决杆状构件的问题，这时他它的解答具 有足够的精度，对于非杆状构件的问题，不能用材料力学的解法来求解，只能用弹性力学 的解法来求解。18.如何推导出极坐标下弹性力学的平衡微分方程，几何方程和双谐方程？ 极坐标下弹性力学的 基本方程与直角坐标下的方程有哪些区别？只需将角码x和y分 别换成为。区别：在直角坐标系中，xy都是直线，有固定的方向，xy坐标的量纲都是L， 在极坐标中在不同的点有不同的方向，坐标线是直线，量纲是L，是圆弧曲线，坐标为 量纲一的量，

11、这些都引起弹性力学基本方程的差异。19.为什么可以求出极坐标下弹性力学 方程的轴对称问题的通解？如何求出？可以解答哪些问 题？在弹性力学问题的极坐标解 答中,经常会遇到一类可转化为欧拉方程的常微分方程。在现有的教材中，均采用先将此类方 程转化为欧拉方程，然后再求解的讲授思路，但由于转化过程过于繁杂,以至学生在学习此部 分内容时普遍感到困难。利用幂函数做试探解，可非常简便地确定此类方程的特征根,并由此 确定出方程的通解。解答圆环，圆筒，受均布压力。20.带圆孔的无限大板、半平面体在 边界上受集中力、对径受压的圆盘等问题的解答，是如何获得的？这些解答各可以解决哪 些工程问题？半平面体边界上受集中力

12、：用半逆解法求解，首先按量纲分析法来假设应力 分布的函数形式，将函数代入相容方程求的应力，此外还须考虑在点O有集中力F的作 用。带圆孔的无限大板：首先设有矩形薄板在离开边界较远处有半径为r的小圆孔，在四 边受均布拉力，集度为q，坐标原点取在圆孔的中心，坐标轴平行于边界，其次该矩形薄 板在左右两边受有均布拉力q而在上下两边受有均布压力q。22.使用三角形3节点单 元时，单元划分时有哪些注意事项？（1）任意三角形单元的顶点，必须也是相邻三角形单元 的顶点，而不能是其内点；（2）每个三角形单元的后三条变长和三个顶角均不要相差太 大，否则会发生较大的误差；（3）为了既保证计算精度又节约计算工作量，计算

13、前应对 应力分布情况做一个大体上的估计；（4）一个单元内部职能具有一种单元厚度和一个材 料弹性常数，因此，材料厚度和弹性常数有变化的地方，必须作为单元的界限。23 .什么 是位移插值函数？为什么要引入位移插值函数？通过一直点的位移构造一个插值多项式来 逼近单元体内部各点的位移这个多项式称为位移插值函数。在按位移求解的有限元法中， 基本未知量是节点位移，但在计算出节点位移后，还不能直接利用弹性力学的公式计算单 元内部各点的位移，因而不能计算出单元内各点上的应变和应力。24.什么是形函数？如 何推导形函数？将各节点位移和节点坐标代入位移插值函数中并求解，将代入位移插值函数，整理后可得 形函数。25

14、.什么是应变矩阵？应力矩阵？节点位移列阵？应力矩阵：即单元应变矩阵与 弹性矩阵只积；单元应变矩阵：由位移插值函数变化后求的的矩阵B；节点位移矩阵：? e与什么有关？ K ? ? R总刚度矩阵的大小与节点数目、单元厚度、单位面积有关。30. 与三角形单元相比，矩形单元有什么优点和缺点？矩形四节点单元应变矩阵中的元素不再 是常数，计算出的单元应变和应力也不再是常数，即单元的内部应变和应力都是坐标的线 性函数，英雌，其计算精度比常应变单元明显提高，可用较少的单元取得常应变单元较多 单元的计算结果。但是，不同单元边界上的应变和应力式的线性位移插值函数的三角形单 元仍有突变或者说应力和应变在结构体内仍不

15、连续。31为什么要引入任意四边形4节点 单元？与矩形四节点单元相比，任意四边形四节点单元有什么优点和缺点？为什么在任意 四边形4节点单元中要引入坐标变换？由于单元内的应力和应变不再是常量，矩形四点节 点单元的计算精度较三角形常应变单元明显提高。为解决矩形单元所带来的困难，可使用 任意四边形单元，优点：单元边不与坐标轴平行，适应结构体复杂的边界条件，缺点：两 相邻单元手里变形后，其公共边不再唯一，单元的位移不能满足相容方程。坐标变换是解 决单元形状不能收敛的问题。32.与三角形3节点单元相比，三角形6节点单元有什么 优点和缺点？三角形6接点单元优点是精度高于三角形三节点;缺点是在实际计算机自动

16、数据准备方面较为困难。33.与任意四边形4节点单元相比，曲边四边形8节点单元有 哪些优点和缺点？曲边四边形8节点单元边可为曲先边，可大大减小对几何边界的逼近误 差具有很高计算精度，可通过较疏的网格划分单元格；缺点：当单元为曲线边是，两相对 边凹向不同方向是，计算精度会大大降低。34.使用任意四边形4节点单元和曲边四边 形8节点单元时，单元划分时有哪些注意事项？ ？ ui vi u j v j vm vm T 26.什么是常应变单 元？常应力单元？为什么三角形3节点单元是常应变单元和常应力单元？常应变单元:具 有u ? u( x, y) ? ?1 ? ? 2 x ? ?3 y v ? v( x,

17、 y) ? ? 4 ? ?5 x ? ?6 y常应力单元：单元体内部的各应力 是为常数的单元称为常应变单元也是常应力单元；应变矩阵的所有元素都只与单元节点坐 标有关。对于每一个单元，节点坐标都是常数，于是结算出单元内部各点的应变分量都具 有相同的数值，即应变分量在单元各点的应变分量都具有相同的数值，即应 变分量在单 元内部是常数，由于弹性矩阵至于材料的弹性常数有关，其所有元素均为常数，因此应力 矩阵的各元素也是常数，于是每一个内部的多应力分量也都是常数。这就是说，常应变单元 也是常应力单元。27 .什么是弹性变形比能？单元刚度矩阵是如何推导出的？总刚度矩阵 如何得出？弹性变形比能：弹性体单位体

18、积内存储的弹性变形时能由变形比能变形为线性 代数式秋季，可得单元刚度矩阵，总刚度矩阵由单元刚度矩阵按行列相加而得。28.什么 是最小势能原理？如何根据最小势能原理推导出有限单元法的基本方程？最小势能原理： 在所有满足边界条件的位移中，使结构体总是能为最小的位移，就是满足平衡条件的真实 位移。根据上述原理，把节点位移视为自变量，按照求极值的法则可得到有线单元法的基 本方程。29.有限单元法的基本方程是一个什么样的方程？如何求解？此方程的大小(总 刚度矩阵的大小)(1)鞭长不要相差太大，角度尽可能接近90 (2)当结构体便捷为曲线时需要在边界画多 段折线来逼近曲线；(3)个节点还应尽可能位于边的中

19、点。35.三角形3节点单元、三 角形6节点单元、任意四边形4节点单元、曲边四边形8节点单元，应变矩阵和单元刚 度矩阵各为多大？三角形三节点单元：3X3,6X6；三角形6接点单元，3X12,12X12任 意四边形4节点：3 X8, 8X8；曲变形8节点单元，3X16,16X16 36.试写出有限单元 法平面问题中，计算单元刚度矩阵的积分表达式，以及对应于各种单元时，此积分表达式 中各矩阵以及单元刚度矩阵的大小。40说明将有限单元法应用于地下岩土工程问题时的计 算模型、边界条件以及单元划分等方面应采取的措施和方法。深埋巷道与浅埋巷道的边界 条件应该有什么差别？计算模型外边界的尺寸应该取多大？应该取

20、何种形式的边界条件？ 41.什么是等值线图？云图？矢量图？这些图件在有限单元法计算结果的处理中有何用处？ 等值线图：是以相等数值点的连线表示连续分部且逐渐变化的数量特征的一种图形；矢量 图：一系列由线连接的点。42 .什么是各向同性体？横观各向同性体？正交各向异性体？ 极端各向异性体？他们各有多少弹性常数？各项同性体：指物理、化学等方面的性质不会 因方向的不同而有所改变；横观各向同性体：在某一平面内，所有方向上具有相同弹性性 质；正交各向异性体：一种材料具有三个相互正交的弹性对称面，这种材料成为正交各向 异性体；极端各向异性体：在弹性体中，任意一点，每一个应力分量都是应变分量的线性 函数，具有这种性质的材料称为极端各向异性体。37什么是单元的参数？什么是等参数 单元？等参单元是对单元几何形状和单元几何形状和单元的参变函数采用相同节点参数和 相同的形函数进行变换而设计出的一种新型单元。38.为什么要把体积力以及分布力这两 类外载荷向节点移植？在有限单元法中，单元的边与边之间在变形后必须保持连续，不能 出现相互脱离或重叠的情况，当外载荷是分布力或体积力时，必须按照经历等效的法则， 将载移植到节点上，变换成等效节点载荷。